Тензорное поле

В математике и физике тензорное поле присваивает тензор каждой точке математического пространства (обычно евклидова пространства или многообразия ). Тензорные поля используются в дифференциальной геометрии , алгебраической геометрии , общей теории относительности , при анализе напряжений и деформаций в материалах, а также во многих приложениях в физических науках . Поскольку тензор является обобщением скаляра ( чистое число, представляющее значение, например скорость) и вектора (чистое число плюс направление, например скорость), тензорное поле является обобщением скалярного поля или векторного поля , которое присваивает соответственно скаляр или вектор каждой точке пространства. Если тензор $A$ определен на множестве векторных полей $X(M)$ над модулем $M$ , мы называем $A$ тензорным полем $M.$ на ^[1]

Многие математические структуры, называемые «тензорами», также являются тензорными полями. Например, тензор кривизны Римана является тензорным полем , поскольку он связывает тензор с каждой точкой риманова многообразия , которое является топологическим пространством .

Определение [ править ]

Пусть M — многообразие , например евклидова плоскость R ^н.

Определение. Тензорное поле типа ( p , q ) — это сечение
$T\ \in \ \Gamma (M,V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q})$

где V расслоение векторное на M , V ^* является его двойственным , а ⊗ — тензорным произведением векторных расслоений.

Эквивалентно, это набор элементов T _x ∈ V _x^⊗p ⊗ ( V _x^*) ^⊗q для всех точек x ∈ M , упорядочивая в гладкое отображение T: M → V ^⊗p ⊗ ( V ^*) ^⊗q. Элементы T _x называются тензорами .

Часто мы принимаем V = TM касательное расслоение к M .

Геометрическое введение [ править ]

Интуитивно векторное поле лучше всего представить в виде «стрелки», прикрепленной к каждой точке области, с переменной длиной и направлением. Одним из примеров векторного поля в искривленном пространстве является карта погоды, показывающая горизонтальную скорость ветра в каждой точке поверхности Земли.

Теперь рассмотрим более сложные поля. Например, если многообразие риманово, то оно имеет метрическое поле $g$ , такой, что для любых двух векторов $v,w$ в точку $x$ , их внутренний продукт $g_{x}(v,w)$ . Поле $g$ можно было бы задать в матричной форме, но это зависит от выбора координат. Вместо этого его можно было бы представить как эллипсоид радиуса 1 в каждой точке, который не имеет координат. Применительно к поверхности Земли это индикатриса Тиссо .

В общем, мы хотим задать тензорные поля независимым от координат образом: они должны существовать независимо от широты и долготы или какой-либо конкретной «картографической проекции», которую мы используем для введения числовых координат.

Через координатные переходы [ править ]

Следуя Схоутену (1951) и МакКоннеллу (1957) , концепция тензора опирается на концепцию системы отсчета (или системы координат ), которая может быть фиксированной (относительно некоторой фоновой системы отсчета), но в целом может быть разрешена изменяются в пределах некоторого класса преобразований этих систем координат. ^[2]

Например, координаты, принадлежащие n -мерному реальному координатному пространству $\mathbb {R} ^{n}$ может быть подвергнут произвольным аффинным преобразованиям :

x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}

(с n -мерными индексами, подразумевается суммирование ). Ковариантный вектор, или ковектор, — это система функций. $v_{k}$ который преобразуется при этом аффинном преобразовании по правилу

v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.

Список базисных векторов декартовых координат $\mathbf {e} _{k}$ преобразуется как ковектор, поскольку при аффинном преобразовании $\mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}$ . Контравариантный вектор — это система функций $v^{k}$ координат, которые при таком аффинном преобразовании претерпевают преобразование

v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.

Именно это требование необходимо для обеспечения того, чтобы количество $v^{k}\mathbf {e} _{k}$ — инвариантный объект, не зависящий от выбранной системы координат. В более общем смысле, тензор валентности ( p , q ) имеет индексы p внизу и индексы q вверху, при этом закон преобразования равен

{T_{i_{1}\cdots i_{p}}}^{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots A_{i_{p}}^{i'_{p}}{T_{i'_{1}\cdots i'_{p}}}^{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots (A^{-1})_{j'_{q}}^{j_{q}}.

Понятие тензорного поля можно получить, сделав разрешенные преобразования координат гладкими ( или дифференцируемыми , аналитическими и т. д.). Ковекторное поле — это функция $v_{k}$ координат, преобразующийся по якобиану функций перехода (в данном классе). Аналогично, контравариантное векторное поле $v^{k}$ преобразуется обратным якобианом.

Тензорные расслоения [ править ]

Тензорное расслоение — это расслоение , в котором слой является тензорным произведением любого количества копий касательного пространства и/или кокасательного пространства базового пространства, которое является многообразием. По сути, слой представляет собой векторное пространство , а тензорное расслоение — это особый вид векторного расслоения .

Векторное расслоение — это естественная идея «векторного пространства, непрерывно (или плавно) зависящего от параметров» — параметры являются точками многообразия M . Например, векторное пространство одного измерения, зависящее от угла, может выглядеть как лента Мёбиуса или, альтернативно, как цилиндр . Для векторного расслоения V над M соответствующее понятие поля называется секцией расслоения: для m , изменяющегося над M , выбор вектора

v _м в В _м ,

где V _m — векторное пространство «в» m .

Поскольку концепция тензорного произведения не зависит от выбора базиса, взятие тензорного произведения двух векторных расслоений на M является рутинной задачей. Начиная с касательного расслоения (расслоения касательных пространств ), весь аппарат, объясненный при бескомпонентной обработке тензоров, переносится рутинным образом – опять же независимо от координат, как упоминалось во введении.

Поэтому мы можем дать определение тензорного поля , а именно как сечения некоторого тензорного расслоения . (Существуют векторные расслоения, которые не являются тензорными расслоениями: например, лента Мёбиуса.) Тогда это гарантируется геометрическое содержание, поскольку все было сделано внутренним образом. Точнее, тензорное поле сопоставляет любой данной точке многообразия тензор в пространстве

V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},

где V — касательное пространство в этой точке, а V ^∗является котангенсным пространством . См. также касательное расслоение и коткасательное расслоение .

Учитывая два тензорных расслоения E → M и F → M , линейное отображение A : Γ( E ) → Γ( F ) из пространства сечений E в сечения F можно рассматривать как тензорное сечение $\scriptstyle E^{*}\otimes F$ тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию A ( fs ) = fA ( s ) для каждого сечения s в Γ( E ) и каждой гладкой функции f на M . Таким образом, тензорное сечение — это не только линейное отображение векторного пространства сечений, но и C ^∞( M )-линейное отображение по модулю сечений. Это свойство используется, например, для проверки того, что хотя производная Ли и ковариантная производная не являются тензорами, тензоры кручения и кривизны построенные на их основе являются таковыми.

Обозначения [ править ]

Обозначения тензорных полей иногда могут быть до степени смешения похожими на обозначения тензорных пространств. Таким образом, касательное расслоение TM = T ( M ) иногда можно записать как

T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM

чтобы подчеркнуть, что касательное расслоение является пространством значений (1,0) тензорных полей (т. е. векторных полей) на многообразии M . Это не следует путать с очень похожими обозначениями

T_{0}^{1}(V)

;

в последнем случае у нас есть только одно тензорное пространство, тогда как в первом случае у нас есть тензорное пространство, определенное для каждой точки многообразия M .

Фигурные буквы иногда используются для обозначения множества бесконечно дифференцируемых тензорных полей на M . Таким образом,

{\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)

— это сечения тензорного расслоения ( m , n ) на M , которые бесконечно дифференцируемы. Тензорное поле является элементом этого множества.

С ^∞( M ) объяснение модуля [ редактировать ]

Существует еще один, более абстрактный (но часто полезный) способ характеризовать тензорные поля на многообразии M , который превращает тензорные поля в честные тензоры (т.е. одиночные полилинейные отображения), хотя и другого типа (хотя обычно не поэтому часто говорят « тензор», когда на самом деле имеется в виду «тензорное поле»). Во-первых, мы можем рассмотреть множество всех гладких (C ^∞) векторные поля на M , ${\mathcal {T}}(M)$ (см. раздел об обозначениях выше) как единое пространство — модуль над кольцом гладких функций, C ^∞( M ) поточечным скалярным умножением. Понятия полилинейности и тензорных произведений легко распространяются на случай модулей над любым коммутативным кольцом .

В качестве мотивирующего примера рассмотрим пространство ${\mathcal {T}}^{*}(M)$ гладких ковекторных полей ( 1-форм ), также модуль над гладкими функциями. Они действуют на гладкие векторные поля, давая гладкие функции путем поточечной оценки, а именно, учитывая ковекторное поле ω и векторное поле X , мы определяем

( ω ( Икс ))( п ) знак равно ω ( п )( Икс ( п )).

Из-за точечной природы всего происходящего действие ω на X является C ^∞( M )-линейное отображение, т.е.

( ω ( fX ))( п ) знак равно ж ω ( п ) Икс ( п )( ( п ) ) знак равно ( fω )( п )( Икс ( п )) знак равно ( fω ( Икс ))( п )

для любого p в M и гладкой функции f . Таким образом, мы можем рассматривать ковекторные поля не только как сечения кокасательного расслоения, но и как линейные отображения векторных полей в функции. С помощью двойной двойственной конструкции векторные поля могут быть аналогичным образом выражены как отображения ковекторных полей в функции (а именно, мы могли бы начать «изначально» с ковекторных полей и продолжать работу оттуда).

Полной параллелью построению обычных одиночных тензоров (не тензорных полей!) на M как полилинейных отображений на векторах и ковекторах мы можем рассматривать общие ( k , l ) тензорные поля на M как C ^∞( M )-полилинейные отображения, заданные на l копиях ${\mathcal {T}}(M)$ и k копий ${\mathcal {T}}^{*}(M)$ в C ^∞( М ).

Теперь, учитывая любое произвольное отображение T из произведения k копий ${\mathcal {T}}^{*}(M)$ и l копии ${\mathcal {T}}(M)$ в C ^∞( M ), оказывается, что оно возникает из тензорного поля на M тогда и только тогда, когда оно полилинейно над C ^∞( М ). Таким образом, такого рода полилинейность неявно выражает тот факт, что мы на самом деле имеем дело с точечно определенным объектом, то есть с тензорным полем, а не с функцией, которая даже при вычислении в одной точке зависит от всех значений векторных полей. и 1-формирует одновременно.

Частый пример применения этого общего правила показывает, что связность Леви-Чивита , которая представляет собой отображение гладких векторных полей $(X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y$ преобразование пары векторных полей в векторное поле не определяет тензорное поле на M . Это потому, что он R -линейен только по Y (вместо полного C ^∞( M )-линейность, она удовлетворяет правилу Лейбница, $\nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y$ )). Тем не менее, следует подчеркнуть, что хотя это и не тензорное поле, оно все равно квалифицируется как геометрический объект с бескомпонентной интерпретацией.

Приложения [ править ]

Тензор кривизны обсуждается в дифференциальной геометрии, а тензор энергии-импульса важен в физике, и эти два тензора связаны общей теорией относительности Эйнштейна .

В электромагнетизме электрическое и магнитное поля объединяются в электромагнитное тензорное поле .

Стоит отметить, что дифференциальные формы , используемые при определении интегрирования на многообразиях, представляют собой разновидность тензорного поля.

Тензорное исчисление [ править ]

В теоретической физике и других областях дифференциальные уравнения , сформулированные в терминах тензорных полей, обеспечивают очень общий способ выражения отношений, которые имеют как геометрическую природу (гарантированную тензорной природой), так и традиционно связанные с дифференциальным исчислением . Даже для формулировки таких уравнений требуется новое понятие — ковариантная производная . Это обрабатывает формулировку изменения тензорного поля вдоль векторного поля . Первоначальное понятие абсолютного дифференциального исчисления , которое позже было названо тензорным исчислением , привело к выделению геометрического понятия связи .

Скручивание жгутом [ править ]

Расширение идеи тензорного поля включает дополнительное расслоение L на M. линейное Если W — расслоение тензорных произведений V с L , то W — расслоение векторных пространств той же размерности, что V. и Это позволяет определить понятие тензорной плотности , «перекрученного» типа тензорного поля. Тензорная плотность — это частный случай, когда L — расслоение плотностей на многообразии , а именно расслоение детерминанта кокасательного расслоения . (Чтобы быть строго точным, следует также применить абсолютное значение к функциям перехода — это не имеет большого значения для ориентируемого многообразия .) Более традиционное объяснение см. в статье о тензорной плотности .

Одной из особенностей расслоения плотностей (опять же в предположении ориентируемости) L является то, что L ^счетко определен для действительных числовых значений s ; это можно прочитать из функций перехода, которые принимают строго положительные действительные значения. Это означает, например, что мы можем взять половинную плотность , случай, когда s = ½. В общем, мы можем взять сечения W , тензорное произведение V с L ^си рассмотрим тензорные поля плотности с весом s .

Полуплотности применяются в таких областях, как определение интегральных операторов на многообразиях и геометрическое квантование .

Плоский корпус [ править ]

Когда M является евклидовым пространством и все поля считаются инвариантными посредством переносов векторами M , мы возвращаемся к ситуации, когда тензорное поле является синонимом тензора, «находящегося в начале координат». Это не приносит большого вреда и часто используется в приложениях. Применительно к тензорным плотностям это имеет значение. Связку плотностей нельзя серьезно определить «в точке»; и поэтому ограничением современной математической обработки тензоров является то, что плотности тензоров определяются окольным способом.

Коциклы и правила цепей [ править ]

В качестве расширенного объяснения концепции тензора можно интерпретировать цепное правило в случае многих переменных применительно к изменениям координат, а также как требование самосогласованных концепций тензора, порождающих тензорные поля.

Абстрактно мы можем идентифицировать цепное правило как 1- коцикл . Это обеспечивает согласованность, необходимую для внутреннего определения касательного расслоения. Другие векторные расслоения тензоров имеют сопоставимые коциклы, которые возникают в результате применения функториальных свойств тензорных конструкций к самому цепному правилу; вот почему они также являются внутренними (читай, «естественными») концепциями.

То, о чем обычно говорят как о «классическом» подходе к тензорам, пытается прочитать это наоборот – и, следовательно, является эвристическим, апостериорным подходом, а не действительно основополагающим. При определении тензоров по тому, как они трансформируются при изменении координат, неявно заложен вид самосогласованности, которую выражает коцикл. Построение тензорных плотностей представляет собой «подкручивание» на уровне коцикла. Геометры не сомневались в геометрической природе тензорных величин ; такого рода аргумент о происхождении абстрактно оправдывает всю теорию.

Обобщения [ править ]

Тензорные плотности

Понятие тензорного поля можно обобщить, рассматривая объекты, которые трансформируются по-разному. объект, который при преобразованиях координат преобразуется как обычное тензорное поле, за исключением того, что он умножается еще и на определитель якобиана обратного преобразования координат в w называется Тензорной плотностью с весом w -й степени . ^[3]Инвариантно, на языке полилинейной алгебры, можно думать о тензорных плотностях как о полилинейных отображениях , принимающих свои значения в расслоении плотности , таком как (1-мерное) пространство n -форм (где n - размерность пространства), как в отличие от принятия их значений только в R . Тогда более высокие «веса» просто соответствуют взятию дополнительных тензорных произведений с этим пространством в диапазоне.

Особым случаем являются скалярные плотности. Скалярные 1-плотности особенно важны, поскольку имеет смысл определить их интеграл по многообразию. Они появляются, например, в действии Эйнштейна–Гильберта в общей теории относительности. Наиболее распространенным примером скалярной 1-плотности является элемент объема , который при наличии метрического тензора g является квадратным корнем из его определителя в координатах, обозначаемого ${\sqrt {\det g}}$ . Метрический тензор является ковариантным тензором второго порядка, поэтому его определитель масштабируется на квадрат координатного перехода:

\det(g')=\left(\det {\frac {\partial x}{\partial x'}}\right)^{2}\det(g),

что является законом преобразования для скалярной плотности веса +2.

В более общем смысле любая тензорная плотность является произведением обычного тензора на скалярную плотность соответствующего веса. На языке векторных расслоений детерминант касательного расслоения представляет собой линейное расслоение , которое можно использовать для «скручивания» других расслоений w раз. Хотя на местном уровне для распознавания этих тензоров действительно можно использовать более общий закон преобразования, возникает глобальный вопрос, отражающий то, что в законе преобразования можно записать либо определитель Якобиана, либо его абсолютное значение. Нецелые степени (положительных) функций перехода пучка плотностей имеют смысл, так что вес плотности в этом смысле не ограничивается целыми значениями. Ограничение изменений координат с положительным определителем Якобиана возможно на ориентируемых многообразиях , поскольку существует последовательный глобальный способ устранения знаков минус; но в остальном линейное расслоение плотностей и линейное расслоение n -форм различны. Подробнее о внутреннем значении см. плотность на многообразии .

См. также [ править ]

Пучок реактивных волокон - пучок волокон, волокна которого представляют собой пространства струй секций пучка волокон.
Исчисление Риччи - обозначение тензорного индекса для вычислений на основе тензоров
Поле Spinor — геометрическая структура.

Примечания [ править ]

^ О'Нил, Барретт. Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности
^ Термин « аффинор », использованный в английском переводе Схоутена, больше не используется.
^ «Тензорная плотность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Ссылки [ править ]

О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности . Эльзевир Наука. ISBN 9780080570570 .
Франкель, Т. (2012), Геометрия физики (3-е издание) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60260-1 .
Ламбурн [Открытый университет], RJA (2010), Относительность, гравитация и космология , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-13138-4 .
Лернер, Р.Г. ; Тригг, Г.Л. (1991), Физическая энциклопедия (2-е издание) , VHC Publishers .
МакКоннелл, AJ (1957), Приложения тензорного анализа , Dover Publications, ISBN 9780486145020 .
МакМахон, Д. (2006), Раскрытие тайн относительности , МакГроу Хилл (США), ISBN 0-07-145545-0 .
К. Миснер, К.С. Торн, Дж. А. Уиллер (1973), Гравитация , WH Freeman & Co, ISBN 0-7167-0344-0 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) .
Паркер, CB (1994), Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е издание) , МакГроу Хилл, ISBN 0-07-051400-3 .
Схаутен, Ян Арнольдус (1951), Тензорный анализ для физиков , Oxford University Press .
Стинрод, Норман (5 апреля 1999 г.). Топология пучков волокон . Принстонская математическая серия. Том. 14. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00548-5 . OCLC 40734875 .

[1] О'Нил, Барретт. Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности

[2] Термин « аффинор », использованный в английском переводе Схоутена, больше не используется.

[3] «Тензорная плотность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1]

[2]

[3]