Матрица Якобиана и определитель

«Матрица Якобиана» перенаправляется сюда. Информацию об операторе см. в разделе «Матрица Якоби (оператор)» .

В векторном исчислении матрица Якоби ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i ə n / , / dʒ ɪ -, j ɪ -/ ) векторной функции нескольких переменных есть матрица всех ее частных производных первого порядка . Когда эта матрица является квадратной , то есть когда функция принимает на вход то же количество переменных, что и количество векторных компонентов ее выхода, ее определитель называется определителем Якобиана . часто называют просто якобианом . И матрицу, и (если применимо) определитель в литературе

Определение

Предположим, f : R ^н → Р ^м — функция такая, что каждая ее частная производная первого порядка существует на R ^н . Эта функция берет точку x ∈ R ^н в качестве входных данных и создает вектор f ( x ) ∈ R ^м в качестве вывода. Тогда матрица Якоби функции f определяется как матрица размера m × n , обозначаемая J , чья ( i , j ) -я запись равна ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$или явно

$$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$$

где $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ — транспонирование (вектор-строка градиента ) $i$-й компонент.

Матрица Якобиана, элементы которой являются функциями x , обозначается по-разному; общие обозначения включают D f , J _f , $\nabla \mathbf {f}$, и ${\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}$. Некоторые авторы определяют якобиан как транспонированную форму, приведенную выше.

Матрица Якобиана представляет собой дифференциал где f дифференцируемо в каждой точке, f . Подробно, если h — вектор смещения представленный матрицей -столбцом , матричное произведение J ( x ) ⋅ h — это другой вектор смещения, который является лучшим линейным приближением изменения f в окрестности x , , если f ( x ) дифференцируема точке в x . Это означает, что функция, которая отображает y в f ( x ) + J ( x ) ⋅ ( y – x ) является лучшим линейным приближением f , ( y ) для всех точек y, близких к x . Линейное отображение h → J ( x ) ⋅ h известно как производная или дифференциал f точке в x .

Когда m = n , матрица Якоби является квадратной, поэтому ее определитель является четко определенной функцией от x , известной как определитель Якобиана f . Он несет важную информацию о локальном поведении f . В частности, функция f имеет дифференцируемую обратную функцию в окрестности точки x тогда и только тогда, когда определитель Якобиана отличен от нуля в точке x (см. гипотезу Якобиана для связанной проблемы глобальной обратимости). Определитель Якобиана также появляется при замене переменных в кратных интегралах (см. правило замены для нескольких переменных ).

Когда m = 1 , то есть когда f : R ^н → R — скалярная функция , матрица Якоби сводится к вектору-строке $\nabla ^{\mathrm {T} }f$; строка всех частных производных первого порядка f является транспонированием градиента f , этот вектор - т.е. $\mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f$. Более того, когда m = n = 1 , то есть когда f : R → R является скалярной функцией одной переменной, матрица Якобиана имеет одну запись; эта запись является производной функции f .

Эти понятия названы в честь математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851).

Матрица Якоби

Якобиан вектор-функции нескольких переменных обобщает градиент скалярной функции нескольких переменных, которая , в свою очередь, обобщает производную скалярной функции одной переменной. Другими словами, матрица Якоби скалярной функции нескольких переменных представляет собой (транспонированную) ее градиент, а градиент скалярной функции одной переменной является ее производной.

В каждой точке, где функция дифференцируема, ее матрицу Якобиана также можно рассматривать как описывающую степень «растяжения», «вращения» или «преобразования», которое функция осуществляет локально вблизи этой точки. Например, если ( x ′, y ′) = f ( x , y ) используется для плавного преобразования изображения, матрица Якоби J _f ( x , y ) описывает, как изображение в окрестности ( x , y ) трансформируется.

Если функция дифференцируема в точке, ее дифференциал задается в координатах матрицей Якоби. Однако функция не обязательно должна быть дифференцируемой, чтобы ее матрица Якоби была определена, поскольку только ее частные производные должны существовать первого порядка.

Если f дифференцируема в точке p в R ^н , то его дифференциал представляется как J _f ( p ) . В этом случае линейное преобразование, представленное J _f ( p ), лучшим линейным приближением f является вблизи точки p в том смысле, что

$$\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),$$

где o (‖ x − p ‖) — величина , которая приближается к нулю гораздо быстрее, чем расстояние между x и p , когда x приближается к p . Это приближение специализируется на приближении скалярной функции одной переменной ее полиномом Тейлора первой степени, а именно

$$f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p).$$

В этом смысле якобиан можно рассматривать как своего рода « производную первого порядка » вектор-функции нескольких переменных. В частности, это означает, что градиент скалярной функции многих переменных тоже можно рассматривать как ее «производную первого порядка».

Составимые дифференцируемые функции f : R ^н → Р ^м и г : Р ^м → Р ^к удовлетворяют правилу цепочки , а именно $\mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )$ для x в R ^н .

Якобиан градиента скалярной функции нескольких переменных имеет специальное название: матрица Гессе , которая в некотором смысле является « второй производной » рассматриваемой функции.

Определитель Якобиана

Нелинейная карта $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$превращает небольшой квадрат (слева, красный) в искаженный параллелограмм (справа, красный). Якобиан в точке дает наилучшую линейную аппроксимацию искаженного параллелограмма вблизи этой точки (справа, полупрозрачный белый цвет), а определитель Якобиана дает отношение площади аппроксимирующего параллелограмма к площади исходного квадрата.

Если m = n , то f — функция из R ^н сама по себе, а матрица Якобиана является квадратной матрицей . Затем мы можем сформировать его определитель , известный как определитель Якобиана . Определитель якобиана иногда называют просто «якобианом».

Определитель Якобиана в данной точке дает важную информацию о поведении f вблизи этой точки. Например, непрерывно дифференцируемая функция f обратима вблизи точки p ∈ R ^н если определитель Якобиана в точке p отличен от нуля. Это теорема об обратной функции . Более того, если определитель Якобиана в точке положителен , p то f сохраняет ориентацию вблизи p ; если оно отрицательное , f меняет ориентацию. Абсолютное значение определителя Якобиана в точке p дает нам коэффициент, на который функция f расширяет или сжимает объемы вблизи p ; вот почему это происходит в общем правиле замены .

Определитель Якобиана используется при замене переменных при вычислении кратного интеграла функции по области в пределах ее области определения. Чтобы учесть изменение координат, величина определителя Якобиана возникает как мультипликативный множитель внутри интеграла. Это связано с тем, что n -мерный элемент dV, вообще говоря, представляет собой параллелепипед в новой системе координат, а n -объем параллелепипеда является определителем его векторов ребер.

Якобиан также можно использовать для определения устойчивости равновесия систем дифференциальных уравнений путем аппроксимации поведения вблизи точки равновесия.

Инверсия

Согласно теореме об обратной функции , матрица, обратная матрице Якоби обратимой функции, является матрицей Якоби обратной функции . То есть, если якобиан функции f : R ^н → Р ^н непрерывен и неособ в точке p в R ^н , то f обратима, если ограничиться некоторой окрестностью точки p и

$$\mathbf {J} _{f^{-1}}(x)={\frac {1}{\mathbf {J} _{f}(f^{-1}(x))}}.$$

Другими словами, если определитель Якобиана не равен нулю в точке, то функция локально обратима вблизи этой точки, т. е. существует окрестность этой точки, в которой функция обратима.

(Недоказанная) гипотеза о якобиане связана с глобальной обратимостью в случае полиномиальной функции, то есть функции, определяемой n полиномами от n переменных. Он утверждает, что если определитель Якобиана является ненулевой константой (или, что то же самое, что он не имеет комплексного нуля), то функция обратима, а ее обратная функция является полиномиальной функцией.

Критические точки

Основная статья: Критическая точка

Если ж : Р ^н → Р ^м — дифференцируемая функция , критическая точка f ранг — это точка, в которой матрицы Якоби не является максимальным. Это означает, что ранг в критической точке ниже ранга в некоторой соседней точке. Другими словами, пусть k — максимальная размерность открытых шаров , содержащихся в образе f ; тогда точка является критической, если все миноры ранга k функции f равны нулю.

В случае m = n = k точка является критической, если определитель Якобиана равен нулю.

Примеры

Пример 1

Рассмотрим функцию f : R ² → Р ² , где ( x , y ) ↦ ( f ₁ ( x , y ), f ₂ ( x , y )), заданное выражением

$$\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.$$

Тогда у нас есть

$$f_{1}(x,y)=x^{2}y$$

и

$$f_{2}(x,y)=5x+\sin y$$

и матрица Якобиана f равна

$$\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}$$

а определитель Якобиана равен

$$\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.$$

Пример 2: полярно-декартово преобразование

Преобразование полярных координат ( r , φ ) в декартовы координаты ( x , y ) задается функцией F : R ⁺ × [0, 2 π ) → R ² с компонентами:

$${\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}$$

$$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}$$

Определитель Якобиана равен r . Это можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат:

$$\iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$$

Пример 3: сферически-декартово преобразование

Преобразование из сферических координат ( ρ , φ , θ ) в декартовых координатах ( x , y , z ), задается функцией F : R ⁺ × [0, π ) × [0, 2 π ) → R ³ с компонентами:

$${\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}$$

Матрица Якобиана для этого изменения координат равна

$$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.$$

Определитель ​ равен ρ ² грех φ . Поскольку dV = dx dy dz — это объем прямоугольного элемента дифференциального объема (поскольку объем прямоугольной призмы является произведением ее сторон), мы можем интерпретировать dV = ρ ² sin φ dρ dφ dθ как объем сферического элемента дифференциального объема . В отличие от объема прямоугольного элемента дифференциального объема, объем этого элемента дифференциального объема не является константой и изменяется в зависимости от координат ( ρ и φ ). Его можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат:

$$\iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .$$

Пример 4

Матрица Якоби функции F : R ³ → Р ⁴ с компонентами

$${\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}$$

является

$$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.$$

Этот пример показывает, что матрица Якобиана не обязательно должна быть квадратной матрицей.

Пример 5

Определитель Якоби функции F : R ³ → Р ³ с компонентами

$${\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}$$

является

$${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.$$

Отсюда мы видим, что F меняет ориентацию вблизи тех точек, где x ₁ и x ₂ имеют один и тот же знак; функция локально обратима всюду, кроме точек, где x ₁ = 0 или x ₂ = 0 . Интуитивно понятно, что если начать с крошечного объекта вокруг точки (1, 2, 3) и применить F к этому объекту, то получится объект размером примерно в 40 × 1 × 2 = 80 раз больше исходного, с ориентация перевернута.

Другое использование

Динамические системы

Рассмотрим динамическую систему вида ${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )$, где ${\dot {\mathbf {x} }}$ является (покомпонентной) производной от $\mathbf {x}$ по параметру эволюции $t$ (время и $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$является дифференцируемым. Если $F(\mathbf {x} _{0})=0$, затем $\mathbf {x} _{0}$является стационарной точкой (также называемой устойчивым состоянием ). По теореме Хартмана–Гробмана поведение системы вблизи стационарной точки связано с собственными значениями $\mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)$, якобиан $F$ в стационарной точке. В частности, если все собственные значения имеют отрицательные вещественные части, то система устойчива вблизи стационарной точки. Если какое-либо собственное значение имеет положительную действительную часть, то точка неустойчива. Если наибольшая действительная часть собственных значений равна нулю, матрица Якоби не позволяет оценить устойчивость.

Метод Ньютона

Квадратная система связанных нелинейных уравнений может быть решена итерационным методом Ньютона . Этот метод использует матрицу Якоби системы уравнений.

квадратов

Якобиан служит линеаризованной матрицей плана в статистической регрессии и подборе кривой ; см. нелинейный метод наименьших квадратов . Якобиан также используется в случайных матрицах, моментах, локальной чувствительности и статистической диагностике.

См. также

• Центральный коллектор
• Матрица Гессе
• Толчок вперед (дифференциал)

Дальнейшее чтение

• Гандольфо, Джанкарло (1996). «Сравнительная статика и принцип соответствия» . Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 305–330. ISBN  3-540-60988-1 .
• Проттер, Мюррей Х .; Морри, Чарльз Б. младший (1985). «Преобразования и якобианы». Промежуточное исчисление (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 412–420. ISBN  0-387-96058-9 .

Внешние ссылки

• «Якобиан» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld Более техническое объяснение якобианов.