Центрирующая матрица

В математике и многомерной статистике центрирующая матрица — симметричная и идемпотентная матрица , которая при умножении на вектор имеет тот же эффект, что и вычитание среднего значения компонентов вектора из каждого компонента этого вектора.

Определение

Центрирующая матрица размера n определяется как n размером x n матрица

$C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}$

где $I_{n}\,$ - единичная матрица размера n и $J_{n}$ представляет собой n на n, матрицу размера состоящую из всех единиц .

Например

$C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}$,

$C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]$ ,

$C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]$

Характеристики

Учитывая вектор-столбец, $\mathbf {v} \,$ размера n , центрирующее свойство $C_{n}\,$ может быть выражено как

$C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}$

где $J_{n,1}$ вектор -столбец из единиц и ${\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v}$ является средним значением компонентов $\mathbf {v} \,$.

$C_{n}\,$ является симметричным положительно полуопределенным .

$C_{n}\,$ идемпотентен что , так $C_{n}^{k}=C_{n}$, для $k=1,2,\ldots$. После удаления среднего значения оно становится нулевым, и его повторное удаление не имеет никакого эффекта.

$C_{n}\,$ является единичным . Эффекты от применения трансформации $C_{n}\,\mathbf {v}$ не может быть обращено вспять.

$C_{n}\,$ имеет собственное значение 1 кратности n - 1 и собственное значение 0 кратности 1.

$C_{n}\,$ имеет нулевое пространство размерности 1 вдоль вектора $J_{n,1}$.

$C_{n}\,$ – ортогональная матрица проекции . То есть, $C_{n}\mathbf {v}$ является проекцией $\mathbf {v} \,$ на ( n - 1)-мерное подпространство , ортогональное нулевому пространству $J_{n,1}$. (Это подпространство всех n -векторов, сумма компонентов которых равна нулю.)

След $C_{n}$ является $n(n-1)/n=n-1$.

Приложение

Хотя умножение на центрирующую матрицу не является эффективным в вычислительном отношении способом удаления среднего значения из вектора, это удобный аналитический инструмент. Его можно использовать не только для удаления среднего значения одного вектора, но также и для нескольких векторов, хранящихся в строках или столбцах матрицы n m на . размером $X$.

Левое умножение на $C_{m}$ вычитает соответствующее среднее значение из каждого из n столбцов, так что каждый столбец произведения $C_{m}\,X$ имеет нулевое среднее. Аналогично, умножение на $C_{n}$ справа вычитает соответствующее среднее значение из каждой из m строк, и каждая строка произведения $X\,C_{n}$ имеет нулевое среднее.Умножение с обеих сторон создает дважды центрированную матрицу. $C_{m}\,X\,C_{n}$, чьи средние значения строки и столбца равны нулю.

Центрирующая матрица обеспечивает, в частности, краткий способ выражения матрицы рассеяния . $S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }$ выборки данных $X\,$, где $\mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}$ – это выборочное среднее . Центрирующая матрица позволяет более компактно выразить матрицу рассеяния как

$S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.$

$C_{n}$ — ковариационная матрица полиномиального распределения в особом случае, когда параметры этого распределения равны $k=n$, и $p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}$.