Дефектная матрица

В линейной алгебре дефектной матрицей называется квадратная матрица , не имеющая полного базиса из собственных векторов и, следовательно, недиагонализуемая . В частности, $n\times n$ матрица дефектна тогда и только тогда, когда она не имеет $n$ линейно независимые собственные векторы. Полный базис образуется путем дополнения собственных векторов обобщенными собственными векторами , необходимыми для решения дефектных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и других задач.

Ан $n\times n$ дефектная матрица всегда имеет менее $n$ различные собственные значения , поскольку различные собственные значения всегда имеют линейно независимые собственные векторы. В частности, дефектная матрица имеет одно или несколько собственных значений. $\lambda$ с алгебраической кратностью $m>1$ (т. е. являются кратными корнями характеристического многочлена ), но менее чем $m$ линейно независимые собственные векторы, связанные с $\lambda$. Если алгебраическая кратность $\lambda$ превышает его геометрическую кратность (т. е. количество линейно независимых собственных векторов, связанных с $\lambda$), затем $\lambda$ называется дефектным собственным значением . Однако каждое собственное значение алгебраической кратности $m$ всегда имел $m$ линейно независимые обобщенные собственные векторы.

и Действительная симметричная матрица , в более общем плане, эрмитова матрица и унитарная матрица никогда не являются дефектными; в более общем смысле, нормальная матрица (которая включает в себя эрмитовы и унитарные матрицы как особые случаи) никогда не является дефектной.

Иорданский блок

Любой нетривиальный жорданов блок размера $2\times 2$ или больше (то есть не полностью по диагонали) неисправен. (Диагональная матрица — это частный случай йордановой нормальной формы со всеми тривиальными йордановыми блоками размера $1\times 1$ и не является дефектным.) Например, $n\times n$ Иорданский блок

$J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},$

имеет собственное значение , $\lambda$ с алгебраической кратностью $n$ (или больше, если существуют другие жордановые блоки с тем же собственным значением), но только один отдельный собственный вектор $Jv_{1}=\lambda v_{1}$, где $v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.$ Другие канонические базисные векторы $v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}$ образуют цепочку обобщенных собственных векторов такую, что $Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}$ для $k=2,\ldots ,n$.

Любая дефектная матрица имеет нетривиальную жордановую нормальную форму , максимально близкую к диагонализации такой матрицы.

Пример

Простой пример дефектной матрицы:

${\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}},$

который имеет двойное собственное значение 3, но только один отдельный собственный вектор

${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$

(и постоянные кратные им).

См. также

• Жорданова нормальная форма - форма матрицы с указанием ее собственных значений и их алгебраических кратностей.

Ссылки

• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса , ISBN  978-0-8018-5414-9
• Стрэнг, Гилберт (1988). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Сан-Диего: Харкорт. ISBN  978-970-686-609-7 .