Линейная независимость

Линейно независимые векторы в $\mathbb {R} ^{3}$

Линейно зависимые векторы на плоскости в $\mathbb {R} ^{3}.$

теории пространств набор векторов В называется векторных линейно независимы , если не существует нетривиальной линейной комбинации векторов, равной нулевому вектору. Если такая линейная комбинация существует, то векторы называются линейно зависимая . Эти понятия являются центральными для определения измерения . ^[1]

Векторное пространство может иметь конечную или бесконечную размерность в зависимости от максимального количества линейно независимых векторов. Определение линейной зависимости и способность определять, является ли подмножество векторов в векторном пространстве линейно зависимым, имеют решающее значение для определения размерности векторного пространства.

Определение [ править ]

Последовательность векторов $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}$ из векторного пространства $V$ называется линейно зависимым , если существуют скаляры $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},$ не все нули, такие, что

a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,

где $\mathbf {0}$ обозначает нулевой вектор.

Это означает, что по крайней мере один из скаляров не равен нулю, скажем $a_{1}\neq 0$ , и приведенное выше уравнение можно записать как

\mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k},

если $k>1,$ и $\mathbf {v} _{1}=\mathbf {0}$ если $k=1.$

Таким образом, набор векторов линейно зависим тогда и только тогда, когда один из них равен нулю или является линейной комбинацией остальных.

Последовательность векторов $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ называется линейно независимым, если оно не является линейно зависимым, т. е. если уравнение

a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,

может быть удовлетворен только $a_{i}=0$ для $i=1,\dots ,n.$ Это означает, что ни один вектор в последовательности не может быть представлен как линейная комбинация остальных векторов последовательности. Другими словами, последовательность векторов линейно независима, если единственное представление $\mathbf {0}$ как линейная комбинация своих векторов — это тривиальное представление, в котором все скаляры ${\textstyle a_{i}}$ равны нулю. ^[2] Еще более кратко: последовательность векторов линейно независима тогда и только тогда, когда $\mathbf {0}$ может быть представлена как линейная комбинация его векторов единственным образом.

Если последовательность векторов дважды содержит один и тот же вектор, она обязательно зависима. Линейная зависимость последовательности векторов не зависит от порядка членов последовательности. Это позволяет определить линейную независимость для конечного набора векторов: конечный набор векторов является линейно независимым, если последовательность, полученная путем их упорядочивания, линейно независима. Другими словами, получаем следующий результат, который часто оказывается полезным.

Последовательность векторов линейно независима тогда и только тогда, когда она не содержит один и тот же вектор дважды и множество ее векторов линейно независимо.

Бесконечный случай [ править ]

Бесконечное множество векторов линейно независимо , если каждое непустое конечное подмножество линейно независимо. И наоборот, бесконечный набор векторов является линейно зависимым, если он содержит конечное подмножество, которое линейно зависимо, или, что то же самое, если некоторый вектор в наборе является линейной комбинацией других векторов в наборе.

Индексированное семейство векторов является линейно независимым, если оно не содержит один и тот же вектор дважды и если множество его векторов линейно независимо. В противном случае семейство называется линейно зависимым .

Набор векторов, который линейно независимый и охватывает некоторое векторное пространство, образует основу этого векторного пространства. Например, векторное пространство всех многочленов от $x$ над действительными числами имеет (бесконечное) подмножество ${1, x, x 2, ...}$ в качестве основы.

Геометрические примеры [ править ]

${\vec {u}}$ и ${\vec {v}}$ независимы и определяют плоскость P.
${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ и ${\vec {w}}$ зависимы, поскольку все три содержатся в одной плоскости.
${\vec {u}}$ и ${\vec {j}}$ являются зависимыми, поскольку они параллельны друг другу.
${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ и ${\vec {k}}$ независимы, потому что ${\vec {u}}$ и ${\vec {v}}$ независимы друг от друга и ${\vec {k}}$ не является их линейной комбинацией или, что то же самое, потому что они не принадлежат одной плоскости. Три вектора определяют трехмерное пространство.
Векторы ${\vec {o}}$ (нулевой вектор, компоненты которого равны нулю) и ${\vec {k}}$ зависимы, поскольку ${\vec {o}}=0{\vec {k}}$

Географическое положение [ править ]

Человек, описывающий местоположение определенного места, может сказать: «Оно находится в 3 милях к северу и в 4 милях к востоку отсюда». Этой информации достаточно для описания местоположения, поскольку географическую систему координат можно рассматривать как двумерное векторное пространство (без учета высоты и кривизны поверхности Земли). Человек может добавить: «Это место находится в 5 милях к северо-востоку отсюда». Последнее утверждение верно , но не обязательно находить местоположение.

В этом примере вектор «3 мили на север» и вектор «4 мили на восток» линейно независимы. То есть вектор севера нельзя описать через вектор востока, и наоборот. Третий вектор «5 миль к северо-востоку» представляет собой линейную комбинацию двух других векторов и делает набор векторов линейно зависимым , то есть один из трех векторов не нужен для определения конкретного местоположения на плоскости.

Также обратите внимание, что если высоту не игнорировать, возникает необходимость добавить третий вектор к линейно независимому набору. В общем, $n$ требуются $для описания всех мест в n$ -мерном пространстве линейно независимых векторов.

линейной Оценка независимости

Нулевой вектор [ править ]

Если один или несколько векторов из данной последовательности векторов $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$ нулевой вектор $\mathbf {0}$ тогда вектор $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$ обязательно линейно зависимы (и, следовательно, они не являются линейно независимыми). Чтобы понять почему, предположим, что $i$ является индексом (т.е. элементом $\{1,\ldots ,k\}$ ) такой, что $\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .$ Тогда пусть $a_{i}:=1$ (альтернативно, позволяя $a_{i}$ быть равным, любой другой ненулевой скаляр также будет работать), а затем пусть все остальные скаляры будут $0$ (явно это означает, что для любого индекса $j$ Кроме как $i$ (т.е. для $j\neq i$ ), позволять $a_{j}:=0$ так что, следовательно, $a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0}$ ). Упрощение $a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}$ дает:

a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .

Поскольку не все скаляры равны нулю (в частности, $a_{i}\neq 0$ ), это доказывает, что векторы $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$ линейно зависимы.

Как следствие, нулевой вектор не может принадлежать какому-либо набору векторов, который является линейно независимым .

Теперь рассмотрим частный случай, когда последовательность $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$ имеет длину $1$ (т.е. случай, когда $k=1$ ). Набор векторов, состоящий ровно из одного вектора, является линейно зависимым тогда и только тогда, когда этот вектор равен нулю. Явно, если $\mathbf {v} _{1}$ любой вектор, то последовательность $\mathbf {v} _{1}$ (который представляет собой последовательность длины $1$ ) линейно зависимо тогда и только тогда, когда $\mathbf {v} _{1}=\mathbf {0}$ ; альтернативно, коллекция $\mathbf {v} _{1}$ линейно независимо тогда и только тогда, когда $\mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .$

Линейная зависимость и независимость двух векторов [ править ]

В этом примере рассматривается особый случай, когда имеется ровно два вектора. $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ из некоторого реального или комплексного векторного пространства. Векторы $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда верно хотя бы одно из следующих условий:

$\mathbf {u}$ является скалярным кратным $\mathbf {v}$ (явно это означает, что существует скаляр $c$ такой, что $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$ ) или
$\mathbf {v}$ является скалярным кратным $\mathbf {u}$ (явно это означает, что существует скаляр $c$ такой, что $\mathbf {v} =c\mathbf {u}$ ).

Если $\mathbf {u} =\mathbf {0}$ затем, установив $c:=0$ у нас есть $c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u}$ (это равенство выполняется независимо от значения $\mathbf {v}$ есть), что показывает, что (1) верно в данном конкретном случае. Аналогично, если $\mathbf {v} =\mathbf {0}$ тогда (2) верно, потому что $\mathbf {v} =0\mathbf {u} .$ Если $\mathbf {u} =\mathbf {v}$ (например, если они оба равны нулевому вектору $\mathbf {0}$ ), то и (1), и (2) верны (при использовании $c:=1$ для обоих).

Если $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$ затем $\mathbf {u} \neq \mathbf {0}$ возможно только если $c\neq 0$ и $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ ; в этом случае можно обе части умножить на ${\textstyle {\frac {1}{c}}}$ заключить ${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$ Это показывает, что если $\mathbf {u} \neq \mathbf {0}$ и $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ тогда (1) истинно тогда и только тогда, когда (2) истинно; то есть в данном конкретном случае либо оба (1) и (2) истинны (и векторы линейно зависимы), либо оба (1) и (2) ложны (и векторы линейно независимы ) . Если $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$ но вместо $\mathbf {u} =\mathbf {0}$ тогда хотя бы один из $c$ и $\mathbf {v}$ должно быть равно нулю. Более того, если ровно один из $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ является $\mathbf {0}$ (в то время как другой не равен нулю), то ровно одно из (1) и (2) истинно (а другое ложно).

Векторы $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда $\mathbf {u}$ не является скалярным кратным $\mathbf {v}$ и $\mathbf {v}$ не является скалярным кратным $\mathbf {u}$ .

Векторы в R ²[ редактировать ]

Три вектора: рассмотрим набор векторов $\mathbf {v} _{1}=(1,1),$ $\mathbf {v} _{2}=(-3,2),$ и $\mathbf {v} _{3}=(2,4),$ тогда условие линейной зависимости ищет набор ненулевых скаляров, таких что

a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},

или

{\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.

Строка уменьшит это матричное уравнение, вычитая первую строку из второй, чтобы получить:

{\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.

Продолжайте сокращение строки, (i) разделив вторую строку на 5, а затем (ii) умножив на 3 и прибавив к первой строке, то есть

{\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.

Перестановка этого уравнения позволяет получить

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.

который показывает, что ненулевое a _i существует такое, что $\mathbf {v} _{3}=(2,4)$ можно определить с точки зрения $\mathbf {v} _{1}=(1,1)$ и $\mathbf {v} _{2}=(-3,2).$ Таким образом, три вектора линейно зависимы.

Два вектора. Теперь рассмотрим линейную зависимость двух векторов. $\mathbf {v} _{1}=(1,1)$ и $\mathbf {v} _{2}=(-3,2),$ и проверьте,

a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},

или

{\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.

То же сокращение строк, представленное выше, дает:

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.

Это показывает, что $a_{i}=0,$ это означает, что векторы $\mathbf {v} _{1}=(1,1)$ и $\mathbf {v} _{2}=(-3,2)$ линейно независимы.

Векторы в R ⁴[ редактировать ]

Чтобы определить, совпадают ли три вектора в $\mathbb {R} ^{4},$

\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.

линейно зависимы, образуют матричное уравнение,

{\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.

Строка сократит это уравнение, чтобы получить:

{\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.

Перестановим, чтобы решить для v ₃ , и получим:

{\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.

Это уравнение легко решить, чтобы определить ненулевое значение a _i ,

a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,

где $a_{3}$ можно выбирать произвольно. Таким образом, векторы $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},$ и $\mathbf {v} _{3}$ линейно зависимы.

Альтернативный метод с использованием определителей [ править ]

Альтернативный метод основан на том факте, что $n$ векторы в $\mathbb {R} ^{n}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда определитель , матрицы . образованной путем взятия векторов в качестве ее столбцов, отличен от нуля

В этом случае матрица, образованная векторами, имеет вид

A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.

Мы можем записать линейную комбинацию столбцов как

A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.

Нас интересует, является ли $A Λ = 0$ для некоторого ненулевого вектора Λ. Это зависит от определителя $A$ , который

\det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.

Поскольку определитель не равен нулю, векторы $(1,1)$ и $(-3,2)$ линейно независимы.

В противном случае предположим, что мы имеем $m$ векторы $n$ координаты, с $m<n.$ Тогда A — матрица размера n × m , а Λ — вектор-столбец с $m$ записей, и нас снова интересует A Λ = 0 . Как мы видели ранее, это эквивалентно списку $n$ уравнения. Рассмотрим первый $m$ ряды $A$ , первый $m$ уравнения; любое решение полного списка уравнений должно быть верным и для сокращенного списка. Фактически, если $⟨ i 1,..., i m ⟩$ — любой список $m$ строк, то уравнение должно быть верным для этих строк.

A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .

Более того, верно и обратное. То есть мы можем проверить, является ли $m$ векторы линейно зависимы путем проверки того, являются ли

\det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0

для всех возможных списков $m$ ряды. (В случае $m=n$ , для этого требуется только один определитель, как указано выше. Если $m>n$ , то это теорема, что векторы должны быть линейно зависимы.) Этот факт ценен для теории; в практических расчетах доступны более эффективные методы.

Больше векторов, чем измерений [ править ]

Если векторов больше, чем размерностей, векторы линейно зависимы. Это проиллюстрировано в приведенном выше примере трех векторов в $\mathbb {R} ^{2}.$

Естественные векторы базисные

Позволять $V=\mathbb {R} ^{n}$ и рассмотрите следующие элементы в $V$ , известные как естественные базисные векторы:

{\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}

Затем $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ линейно независимы.

Доказательство

Предположим, что $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ действительные числа такие, что

a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .

С

a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right),

затем $a_{i}=0$ для всех $i=1,\ldots ,n.$

Линейная независимость функций [ править ]

Позволять $V$ быть векторным пространством всех дифференцируемых функций действительной переменной $t$ . Тогда функции $e^{t}$ и $e^{2t}$ в $V$ линейно независимы.

Доказательство [ править ]

Предполагать $a$ и $b$ два действительных числа такие, что

ae^{t}+be^{2t}=0

Возьмите первую производную приведенного выше уравнения:

ae^{t}+2be^{2t}=0

для всех значений $t.$ Нам нужно это показать $a=0$ и $b=0.$ Для этого вычтем первое уравнение из второго, что даст $be^{2t}=0$ . С $e^{2t}$ не ноль для некоторых $t$ , $b=0.$ Следует, что $a=0$ слишком. Следовательно, согласно определению линейной независимости, $e^{t}$ и $e^{2t}$ линейно независимы.

Пространство линейных зависимостей [ править ]

Линейная зависимость или линейное отношение между векторами $v 1, ..., v n$ представляет собой кортеж $(a 1, ..., an что)$ с $n$ скалярными компонентами такой,

a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .

Если такая линейная зависимость существует хотя бы с ненулевой составляющей, то $n$ векторов линейно зависимы. Линейные зависимости между $v 1, ..., v n$ образуют векторное пространство.

Если векторы выражаются своими координатами, то линейные зависимости представляют собой решения однородной системы линейных уравнений с координатами векторов в качестве коэффициентов. векторного Таким образом , базис пространства линейных зависимостей может быть вычислен методом исключения Гаусса .

Обобщения [ править ]

Аффинная независимость [ править ]

Набор векторов называется аффинно зависимым, если хотя бы один из векторов в наборе может быть определен как аффинная комбинация других. В противном случае множество называется аффинно независимым . Любая аффинная комбинация является линейной; следовательно, каждое аффинно зависимое множество линейно зависимо. И наоборот, любое линейно независимое множество аффинно независимо.

Рассмотрим набор $m$ векторы $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ размера $n$ каждый, и рассмотрим множество $m$ дополненные векторы ${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$ размера $n+1$ каждый. Исходные векторы аффинно независимы тогда и только тогда, когда дополненные векторы линейно независимы. ^[3]^: 256

Линейно независимые векторные подпространства [ править ]

Два векторных подпространства $M$ и $N$ векторного пространства $X$ называются линейно независимыми , если $M\cap N=\{0\}.$ ^[4] В общем, коллекция $M_{1},\ldots ,M_{d}$ подпространств $X$ называются линейно независимыми , если ${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$ для каждого индекса $i,$ где ${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$ ^[4] Векторное пространство $X$ называется прямой суммой $M_{1},\ldots ,M_{d}$ если эти подпространства линейно независимы и $M_{1}+\cdots +M_{d}=X.$

См. также [ править ]

Матроид – абстракция линейной независимости векторов.

Ссылки [ править ]

^ Г. Е. Шилов, Линейная алгебра (пер. Р. А. Сильверман), Dover Publications, Нью-Йорк, 1977.
^ Фридберг, Стивен; Инсель, Арнольд; Спенс, Лоуренс (2003). Линейная алгебра Пирсон, 4-е издание. стр. 100-1 48–49. ISBN 0130084514 .
^ Ловас, Ласло ; Пламмер, доктор медицинских наук (1986), Теория соответствия , Анналы дискретной математики, том. 29, Северная Голландия, ISBN 0-444-87916-1 МР 0859549
^ Перейти обратно: ^а ^б Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (2000). Функциональный анализ (Второе изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0486402512 . OCLC 829157984 . стр. 3–7

Внешние ссылки [ править ]

«Линейная независимость» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Линейно зависимые функции в WolframMathWorld.
Учебник и интерактивная программа по линейной независимости.
Введение в линейную независимость в ХанАкадемии.

[1] Г. Е. Шилов, Линейная алгебра (пер. Р. А. Сильверман), Dover Publications, Нью-Йорк, 1977.

[2] Фридберг, Стивен; Инсель, Арнольд; Спенс, Лоуренс (2003). Линейная алгебра Пирсон, 4-е издание. стр. 100-1 48–49. ISBN 0130084514 .

[lp-3] Ловас, Ласло ; Пламмер, доктор медицинских наук (1986), Теория соответствия , Анналы дискретной математики, том. 29, Северная Голландия, ISBN 0-444-87916-1 МР 0859549

[BNFA-4] Перейти обратно: ^а ^б Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (2000). Функциональный анализ (Второе изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0486402512 . OCLC 829157984 . стр. 3–7

[1]

[2]

[3]

[4]

v т Это Линейная алгебра
Outline Glossary
Basic concepts	Scalar Vector Vector space Scalar multiplication Vector projection Linear span Linear map Linear projection Linear independence Linear combination Basis Change of basis Row and column vectors Row and column spaces Kernel Eigenvalues and eigenvectors Transpose Linear equations
Matrices	Block Decomposition Invertible Minor Multiplication Rank Transformation Cramer's rule Gaussian elimination
Bilinear	Orthogonality Dot product Hadamard product Inner product space Outer product Kronecker product Gram–Schmidt process
Multilinear algebra	Determinant Cross product Triple product Seven-dimensional cross product Geometric algebra Exterior algebra Bivector Multivector Tensor Outermorphism
Vector space constructions	Dual Direct sum Function space Quotient Subspace Tensor product
Numerical	Floating-point Numerical stability Basic Linear Algebra Subprograms Sparse matrix Comparison of linear algebra libraries
Category

v т Это Матричные классы
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
Mathematics portal List of matrices Category:Matrices