Аутерморфизм

Эта статья о внешних морфизмах геометрической алгебры . Для понятия теории групп см. группу внешних автоморфизмов .

В геометрической алгебре внешний морфизм линейной функции между векторными пространствами является естественным расширением отображения на произвольные мультивекторы . Это единственный гомоморфизм внешних алгебр с единицей , ограничение которого на векторные пространства является исходной функцией.

Определение

Позволять $f$ быть $\mathbb {R}$-линейная карта из $V$ к $W$. Продление $f$ внешнему морфизму является единственным отображением $\textstyle {\underline {\mathsf {f}}}:\bigwedge (V)\to \bigwedge (W)$ удовлетворяющий

${\underline {\mathsf {f}}}(1)=1$

${\underline {\mathsf {f}}}(x)=f(x)$

${\underline {\mathsf {f}}}(A\wedge B)={\underline {\mathsf {f}}}(A)\wedge {\underline {\mathsf {f}}}(B)$

${\underline {\mathsf {f}}}(A+B)={\underline {\mathsf {f}}}(A)+{\underline {\mathsf {f}}}(B)$

для всех векторов $x$ и все мультивекторы $A$ и $B$, где $\textstyle \bigwedge (V)$ обозначает внешнюю алгебру над $V$. То есть внешний морфизм — это гомоморфизм алгебр с единицей между внешними алгебрами.

Внешний морфизм наследует свойства линейности исходного линейного отображения. Например, мы видим, что для скаляров $\alpha$, $\beta$ и векторы $x$, $y$, $z$внешний морфизм линеен над бивекторами:

${\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(\alpha x\wedge z+\beta y\wedge z)&={\underline {\mathsf {f}}}((\alpha x+\beta y)\wedge z)\\[6pt]&=f(\alpha x+\beta y)\wedge f(z)\\[6pt]&=(\alpha f(x)+\beta f(y))\wedge f(z)\\[6pt]&=\alpha (f(x)\wedge f(z))+\beta (f(y)\wedge f(z))\\[6pt]&=\alpha \,{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge z)+\beta \,{\underline {\mathsf {f}}}(y\wedge z),\end{aligned}}$

который расширяется через аксиому дистрибутивности по сложению, указанную выше, до линейности по всем мультивекторам.

Соседний

Позволять ${\underline {\mathsf {f}}}$быть внешним морфизмом. Определим сопряжение ​ ${\overline {\mathsf {f}}}$ быть внешним морфизмом, который удовлетворяет свойству

${\overline {\mathsf {f}}}(a)\cdot b=a\cdot {\underline {\mathsf {f}}}(b)$

для всех векторов $a$ и $b$, где $\cdot$ – невырожденная симметричная билинейная форма (скалярное произведение векторов).

В результате получается свойство,

${\overline {\mathsf {f}}}(A)*B=A*{\underline {\mathsf {f}}}(B)$

для всех мультивекторов $A$ и $B$, где $*$ является скалярным произведением мультивекторов .

Если доступно геометрическое исчисление , то сопряженное можно извлечь более напрямую:

${\overline {\mathsf {f}}}(a)=\nabla _{b}\left\langle a{\underline {\mathsf {f}}}(b)\right\rangle .$

Приведенное выше определение сопряженного аналогично определению транспонирования в теории матриц. Когда контекст ясен, подчеркивание под функцией часто опускается.

Свойства

Из определения, приведенного в начале, следует, что внешний морфизм мультивектора $A$ сохраняет оценку:

${\underline {\mathsf {f}}}(\left\langle A\right\rangle _{r})=\left\langle {\underline {\mathsf {f}}}(A)\right\rangle _{r}$

где обозначение $\langle ~\rangle _{r}$ указывает на $r$-векторная часть $A$.

Поскольку любой вектор $x$ может быть записано как $x=1\wedge x$, отсюда следует, что на скаляры не влияют ${\underline {\mathsf {f}}}(1)=1$. Аналогично, поскольку существует только один псевдоскаляр с точностью до скалярного множителя, мы должны иметь ${\underline {\mathsf {f}}}(I)\propto I$. Определяющим фактором является коэффициент пропорциональности:

$\det {\mathsf {f}}={\underline {\mathsf {f}}}(I)I^{-1}$

Подчеркивание в этом контексте не требуется, поскольку определитель функции совпадает с определителем ее сопряженного. Определителем состава функций является произведение определителей:

$\det({\mathsf {f}}\circ {\mathsf {g}})=\det {\mathsf {f}}\det {\mathsf {g}}$

Если определитель функции не равен нулю, то функция имеет обратную величину, определяемую формулой

${\underline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {{\overline {\mathsf {f}}}(XI)I^{-1}}{\det {\mathsf {f}}}}={\overline {\mathsf {f}}}(XI)[{\overline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1},$

и то же самое делает его сопряженный с

${\overline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {I^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX)}{\det {\mathsf {f}}}}=[{\underline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX).$

Понятия собственных значений и собственных векторов можно обобщить на внешние морфизмы. Позволять $\lambda$ быть действительным числом и пусть $B$ быть лезвием (ненулевого) класса $r$. Мы говорим, что $B$ является собственным лезвием функции с собственным значением $\lambda$ если

${\underline {\mathsf {f}}}(B)=\lambda B.$

Может показаться странным рассматривать только вещественные собственные значения, поскольку в линейной алгебре собственные значения матрицы со всеми вещественными элементами могут иметь комплексные собственные значения. Однако в геометрической алгебре лезвия разных классов могут иметь сложную структуру. Поскольку как векторы, так и псевдовекторы могут действовать как собственные лезвия, каждый из них может иметь набор собственных значений, соответствующих степеням свободы комплексных собственных значений, которые можно найти в обычной линейной алгебре.

Примеры

Простые карты

Тождественное отображение и оператор скалярного проектирования являются внешними морфизмами.

поставлять

Вращение вектора ротором $R$ дан кем-то

$f(x)=RxR^{-1}$

с внешним морфизмом

${\underline {\mathsf {f}}}(X)=RXR^{-1}.$

Проверяем, что это правильная форма внешнего морфизма. Поскольку вращения строятся из геометрического произведения, обладающего распределительным свойством, они должны быть линейными. Чтобы увидеть, что вращения также являются внешними морфизмами, напомним, что вращения сохраняют углы между векторами:

$x\cdot y=(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})$

Затем мы пытаемся ввести элемент более высокого класса и проверяем, соответствует ли он исходному вращению векторов:

${\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge y)&=R(x\wedge y)R^{-1}\\&=R(xy-x\cdot y)R^{-1}\\&=RxyR^{-1}-R(x\cdot y)R^{-1}\\&=RxR^{-1}RyR^{-1}-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+x\cdot y-x\cdot y\\&=f(x)\wedge f(y)\end{aligned}}$

Операторы ортогонального проектирования

Оператор ортогонального проектирования ${\mathcal {P}}_{B}$ на лезвие $B$ является внешним морфизмом:

${\mathcal {P}}_{B}(x\wedge y)={\mathcal {P}}_{B}(x)\wedge {\mathcal {P}}_{B}(y).$

Noneexample – оператор ортогонального отклонения

В отличие от оператора ортогонального проектирования, ортогональное отбрасывание ${\mathcal {P}}_{B}^{\perp }$ лезвием $B$ является линейным, но не является внешним морфизмом:

${\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(1)=1-{\mathcal {P}}_{B}(1)=0\neq 1.$

Noneexample – прогнозирования уклона оператор

Примером многовекторной функции мультивекторов, которая является линейной, но не является внешним морфизмом, является проекция оценок, где оценка не равна нулю, например, проекция на оценку 1:

$\langle x\wedge y\rangle _{1}=0$

$\langle x\rangle _{1}\wedge \langle y\rangle _{1}=x\wedge y$

Ссылки

• Хестенес, Д.; Собчик, Г. (1987), От алгебры Клиффорда до геометрического исчисления: единый язык математики и физики , Фундаментальные теории физики, том. 5, Спрингер, ISBN  90-277-2561-6
• Крумейролль, А.; Абламович Р.; Лунесто, П. (1995), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры: специальный том, посвященный памяти Альберта Крумейролля (1919–1992) , Математика и ее приложения, том. 321, Спрингер, с. 105, ISBN  0-7923-3366-7
• Бэйлис, WE (1996), Клиффордские (геометрические) алгебры: с приложениями в физике, математике и технике , Springer, p. 71, ISBN  0-8176-3868-7
• Дорст, Л.; Доран, CJL; Ласенби, Дж. (2001), Приложения геометрической алгебры в информатике и технике , Springer, стр. 61, ISBN  0-8176-4267-6
• Д'Оранжвилль, К.; Энтони, А.; Ласенби, Н. (2003), Геометрическая алгебра для физиков , издательство Кембриджского университета, стр. 343, ISBN  0-521-48022-1
• Первасс, К. (2008), Геометрическая алгебра с приложениями в технике , геометрии и вычислениях, том. 4, Спрингер, с. 23, ISBN  3-540-89067-Х
• Джут, П. (2014), Исследование физики с помощью геометрической алгебры , стр. 157