Ротор (математика)

Ротор — это объект в геометрической алгебре (также называемой алгеброй Клиффорда ) векторного пространства , который представляет вращение вокруг начала координат . ^[1] Термин возник у Уильяма Кингдона Клиффорда . ^[2] в показе того, что алгебра кватернионов является лишь частным случаем Германа Грассмана (Ausdehnungslehre). «теории расширения» ^[3] Лошади ^[4] определил ротор как любой элемент $R$ геометрической алгебры, которую можно записать как произведение четного числа единичных векторов и которая удовлетворяет условию $R{\tilde {R}}=1$ , где ${\tilde {R}}$ является «обратной стороной» $R$ — то есть произведение тех же векторов, но в обратном порядке.

Определение

В математике ротор в геометрической алгебре векторного пространства V — это то же самое, что элемент спиновой группы Spin( V ). Мы определим эту группу ниже.

Пусть V — векторное пространство, снабженное положительно определенной квадратичной формой q , и пусть Cl( V ) — геометрическая алгебра, ассоциированная V. с Алгебра Cl( V ) является фактор-фактором алгебры V тензорной по соотношениям $v\cdot v=q(v)$ для всех $v\in V$ . (Тензорное произведение в Cl( V ) — это то, что в геометрической алгебре называется геометрическим произведением и в этой статье обозначается через $\cdot$ .) Z -градуировка на тензорной алгебре V сводится к Z /2 Z -градуировке на Cl( V ), которую мы обозначаем через $\operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{\text{even}}(V)\oplus \operatorname {Cl} ^{\text{odd}}(V).$ Вот, Кл ^даже( V ) генерируется лопастями четной степени и Cl ^{странный}( V ) создается лопастями нечетной степени.

Существует единственный антиавтоморфизм Cl( V ), который ограничивается тождеством на V : это называется транспонированием, а транспонирование любого мультивектора a обозначается через ${\tilde {a}}$ . На лопасти (т. е. простом тензоре) порядок множителей просто меняется на обратный. Спиновая группа Spin( V ) определяется как подгруппа Cl ^даже( V ) состоящий из мультивекторов R таких, что $R{\tilde {R}}=1.$ То есть он состоит из мультивекторов, которые можно записать как произведение четного числа единичных векторов.

Действие как вращение в векторном пространстве

а > θ /2

α < θ /2

Поворот вектора a на угол θ как двойное отражение вдоль двух единичных векторов n и m , разделенных углом θ /2 (а не только θ ). Каждый штрих на букве a указывает на отражение. Плоскость диаграммы – это плоскость вращения.

Отражения вдоль вектора в геометрической алгебре могут быть представлены как (минус) размещение мультивектора M между ненулевым вектором v, перпендикулярным гиперплоскости отражения вектору , и обратным v. ⁻¹:

-vMv^{-1}

и имеют одинаковую степень. При вращении, генерируемом ротором R , общий мультивектор M будет двусторонне трансформироваться как

RMR^{-1}.

Это действие дает сюръективный гомоморфизм $\operatorname {Spin} (V)\to \operatorname {SO} (V)$ представляя Spin( V ) как двойное покрытие SO( V ). ( см. в группе «Вращение Подробнее ».)

Ограниченная альтернативная формулировка

Для евклидова пространства может быть удобно рассмотреть альтернативную формулировку, и некоторые авторы определяют операцию отражения как (минус) зажатие единичного ( т. е. нормализованного) мультивектора:

-vMv,\quad v^{2}=1,

формирование роторов, которые автоматически нормализуются:

R{\tilde {R}}={\tilde {R}}R=1.

Полученное действие ротора затем выражается в виде сэндвич-продукта с обратным:

RM{\tilde {R}}

Для отражения, для которого связанный вектор возводит в квадрат отрицательного скаляра, как это может быть в случае с псевдоевклидовым пространством , такой вектор может быть нормализован только до знака его квадрата, и дополнительный учет знака приложения ротор становится необходимым. Формулировка сэндвич-продукта с обратным, как указано выше, лишена такого недостатка.

Вращения мультивекторов и спиноров

Однако, хотя мультивекторы также трансформируются двусторонне, роторы могут объединяться и образовывать группу , и поэтому несколько роторов составляют одностороннюю структуру. Альтернативная формулировка, приведенная выше, не является самонормализующейся и мотивирует определение спинора в геометрической алгебре как объекта, который трансформируется односторонне, т. е. спиноры можно рассматривать как ненормализованные роторы, в которых в сэндвич-продукт.

Однородные алгебры представлений

В однородных алгебрах представлений, таких как конформная геометрическая алгебра , ротор в пространстве представления соответствует вращению вокруг произвольной точки , сдвигу или, возможно, другому преобразованию в базовом пространстве.

См. также

Ссылки

^ Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 592. ИСБН 9780521715959 .
^ Клиффорд, Уильям Кингдон (1878). «Приложения обширной алгебры Грассмана». Американский журнал математики . 1 (4): 353. дои : 10.2307/2369379 . JSTOR 2369379 .
^ Грассманн, Герман (1862). Теория расширения (второе изд.). Берлин: TCF Enslin. п. 400.
^ Хестенес, Дэвид; Собчик, Гаррет (1987). От алгебры Клиффорда до геометрического исчисления (изд. в мягкой обложке). Дордрехт, Голландия: Д. Рейдель. п. 105. Гестен использует обозначения $R^{\dagger }$ для обратного.

[1] Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 592. ИСБН 9780521715959 .

[2] Клиффорд, Уильям Кингдон (1878). «Приложения обширной алгебры Грассмана». Американский журнал математики . 1 (4): 353. дои : 10.2307/2369379 . JSTOR 2369379 .

[3] Грассманн, Герман (1862). Теория расширения (второе изд.). Берлин: TCF Enslin. п. 400.

[4] Хестенес, Дэвид; Собчик, Гаррет (1987). От алгебры Клиффорда до геометрического исчисления (изд. в мягкой обложке). Дордрехт, Голландия: Д. Рейдель. п. 105. Гестен использует обозначения $R^{\dagger }$ для обратного.

[1]

[2]

[3]

[4]