Лезвие (геометрия)

При изучении геометрических алгебр k $-$ лезвие или простой $k$ -вектор представляют собой обобщение понятия скаляров и векторов , включая простые бивекторы , тривекторы и т. д. В частности, $k$ -лопасть — это $k$ -вектор , который может быть выражается как внешнее произведение (неформально клиновое произведение ) 1-векторов и имеет степень $k$ .

Подробно: ^[1]

0-лезвие является скаляром .
1-лопастной — это вектор . Каждый вектор прост.
2-лопастной — это простой бивектор . Суммы 2-лопастей тоже являются бивекторами, но не всегда простыми. 2-лезвие можно выразить как произведение клина двух векторов $a$ и $b$ :
$a\wedge b.$
Трехлопастное лезвие — это простой тривектор, то есть его можно выразить как произведение клина трех векторов $a$ , $b$ и $c$ :
$a\wedge b\wedge c.$
В векторном пространстве размерности n $.$ лезвие степени $n - 1$ называется псевдовектором ^[2] или антивектор . ^[3]
Элемент высшего ранга в пространстве называется псевдоскаляром , а в пространстве размерности $n$ — $n$ -лопастью. ^[4]
В векторном пространстве размерности $n$ существует $k (n - k) + 1$ измерений свободы в выборе $k$ -лезвия для $0 \leq k \leq n$ , из которых одно измерение является общим масштабирующим множителем. ^[5]

Векторное подпространство конечной размерности $k$ может быть представлено $k$ -лопастью, образованной в виде клинового произведения всех элементов базиса этого подпространства. ^[6] Действительно, $k$ -лопасть естественно эквивалентна $k$ -подпространству с точностью до скалярного множителя. Когда пространство наделено объемной формой (попеременно $k$ -мультилинейной скалярнозначной функцией), такая $k$ -лопасть может быть нормализована до единичного значения, что делает соответствие уникальным с точностью до знака.

Примеры

В двумерном пространстве скаляры описываются как 0-лопасти, векторы — 1-лопасти, а элементы площади — 2-лопасти, в этом контексте известные как псевдоскаляры , поскольку они являются элементами одномерного пространства, которое отличается от обычного. скаляры.

В трехмерном пространстве 0-лопасти снова являются скалярами, 1-лопасти - трехмерными векторами, а 2-лопасти - элементами ориентированной площади. В этом случае 3-лопасти называются псевдоскалярами и представляют собой трехмерные элементы объема, образующие одномерное векторное пространство, подобное скалярам. В отличие от скаляров, 3-лопасти преобразуются в соответствии с определителем Якобиана функции изменения координат .

См. также

Примечания

^ Маркос А. Родригес (2000). «§1.2 Геометрическая алгебра: краткий обзор» . Инварианты для распознавания и классификации образов . Всемирная научная. п. 3 и далее . ISBN 981-02-4278-6 .
^ Уильям Э. Бэйлис (2004). «§4.2.3 Мультивекторы высшего уровня в Cℓ _n : Duals» . Лекции по клиффордовым (геометрическим) алгебрам и их приложениям . Биркхойзер. п. 100. ИСБН 0-8176-3257-3 .
^ Лендьел, Эрик (2016). Основы разработки игровых движков, Том 1: Математика . ООО «Тератон Софтвер». ISBN 978-0-9858117-4-7 .
^ Джон А. Винс (2008). Геометрическая алгебра для компьютерной графики . Спрингер. п. 85. ИСБН 978-1-84628-996-5 .
^ Для грассманианцев (включая результаты о размерности) хорошая книга: Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , МР 1288523 . Доказательство размерности на самом деле простое. Возьмите внешнее произведение $k$ векторов $v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$ и выполнять над ними элементарные операции со столбцами (вычитая опорные точки), пока верхний $блок k \times k$ не станет элементарными базисными векторами $\mathbb {F} ^{k}$ . Затем произведение клина параметризуется произведением опорных точек и нижнего $блока k \times (n - k)$ . с размерностью грассманиана k Сравните также $(n - k),$ в котором скалярный множитель исключен.
^ Дэвид Хестенс (1999). Новые основы классической механики: Фундаментальные теории физики . Спрингер. п. 54. ИСБН 0-7923-5302-1 .

Ссылки

Дэвид Хестенес ; Гаррет Собчик (1987). «Глава 1: Геометрическая алгебра». От алгебры Клиффорда до геометрического исчисления: единый язык математики и физики . Спрингер. п. 1 и далее . ISBN 90-277-2561-6 .
Крис Доран и Энтони Ласенби (2003). Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48022-1 .
А. Ласенби, Дж. Ласенби и Р. Уэрхэм (2004) ковариантного подхода к геометрии с использованием геометрической алгебры Технический отчет . Инженерный факультет Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания.
Р. Уэрхэм; Дж. Кэмерон и Дж. Ласенби (2005). «Применение конформной геометрической алгебры к компьютерному зрению и графике» . В Хунбо Ли; Питер Дж. Олвер и Джеральд Соммер (ред.). Компьютерная алгебра и геометрическая алгебра с приложениями . Спрингер. п. 329 и далее . ISBN 3-540-26296-2 .

Внешние ссылки

Букварь по геометрической алгебре , специально для специалистов по информатике.

[Rodrigues-1] Маркос А. Родригес (2000). «§1.2 Геометрическая алгебра: краткий обзор» . Инварианты для распознавания и классификации образов . Всемирная научная. п. 3 и далее . ISBN 981-02-4278-6 .

[Baylis01-2] Уильям Э. Бэйлис (2004). «§4.2.3 Мультивекторы высшего уровня в Cℓ _n : Duals» . Лекции по клиффордовым (геометрическим) алгебрам и их приложениям . Биркхойзер. п. 100. ИСБН 0-8176-3257-3 .

[3] Лендьел, Эрик (2016). Основы разработки игровых движков, Том 1: Математика . ООО «Тератон Софтвер». ISBN 978-0-9858117-4-7 .

[Vince-4] Джон А. Винс (2008). Геометрическая алгебра для компьютерной графики . Спрингер. п. 85. ИСБН 978-1-84628-996-5 .

[5] Для грассманианцев (включая результаты о размерности) хорошая книга: Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , МР 1288523 . Доказательство размерности на самом деле простое. Возьмите внешнее произведение $k$ векторов $v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$ и выполнять над ними элементарные операции со столбцами (вычитая опорные точки), пока верхний $блок k \times k$ не станет элементарными базисными векторами $\mathbb {F} ^{k}$ . Затем произведение клина параметризуется произведением опорных точек и нижнего $блока k \times (n - k)$ . с размерностью грассманиана k Сравните также $(n - k),$ в котором скалярный множитель исключен.

[Hestenes-6] Дэвид Хестенс (1999). Новые основы классической механики: Фундаментальные теории физики . Спрингер. п. 54. ИСБН 0-7923-5302-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]