Многовекторный
В полилинейной алгебре мультивектор мультором иногда называемый числом Клиффорда или , , [1] является элементом внешней алгебры Λ( V ) векторного пространства V . Эта алгебра градуирована , ассоциативна и знакопеременна и состоит из линейных комбинаций простых . k -векторов [2] (также известные как разложимые k -векторы [3] или k -лопасти ) вида
где находятся В. в
k ( -вектором называется такая линейная комбинация, однородная степени k все члены являются k -лопастями для одного и того же k ). В зависимости от авторов «мультивектором» может быть либо k -вектор, либо любой элемент внешней алгебры (любая линейная комбинация k -лопастей с потенциально разными значениями k ). [4]
В дифференциальной геометрии - вектор k — это вектор внешней алгебры касательного векторного пространства ; то есть это антисимметричный тензор полученный путем взятия линейных комбинаций внешнего произведения k , касательных векторов для некоторого целого числа k ≥ 0 . Дифференциальная пространства k -форма — это k -вектор во внешней алгебре двойственного касательного , который также является двойственным к внешней алгебре касательного пространства.
Для k = 0, 1, 2 и 3 - векторы k часто называют соответственно скалярами , векторами , бивекторами и тривекторами ; они соответственно двойственны 0-формам, 1-формам, 2-формам и 3-формам . [5] [6]
Экстерьер продукта
[ редактировать ]Внешний продукт (также называемый продуктом-клином), используемый для построения мультивекторов, является полилинейным (линейным для каждого входа), ассоциативным и переменным. Это означает, что для векторов u , v и w в векторном пространстве V и для скаляров α , β внешнее произведение обладает свойствами:
- Линейный на входе:
- Ассоциативный:
- Чередование:
Внешний продукт k векторов или сумма таких произведений (для одного k ) называется мультивектором степени k или k -вектором. Максимальный класс мультивектора — это размерность векторного V. пространства
Линейность на любом входе вместе со свойством чередования подразумевает линейность на другом входе. Полилинейность внешнего произведения позволяет выразить мультивектор как линейную комбинацию внешних произведений базисных векторов V . Внешний продукт k базисных векторов V - это стандартный способ построения каждого базисного элемента для пространства k -векторов, которое имеет размерность ( н
k ) во внешней алгебре n -мерного векторного пространства. [2]
Площадь и объём
[ редактировать ]k -вектор , полученный из внешнего произведения k отдельных векторов в n -мерном пространстве, имеет компоненты, которые определяют спроецированные ( k - 1) -объемы k - параллелоэдра, натянутого на векторы. Квадратный корень из суммы квадратов этих компонент определяет объем k -параллелотопа. [2] [7]
Следующие примеры показывают, что бивектор в двух измерениях измеряет площадь параллелограмма, а величина бивектора в трех измерениях также измеряет площадь параллелограмма. Аналогично трехмерный вектор в трех измерениях измеряет объем параллелепипеда.
Легко проверить, что величина трехвектора в четырех измерениях измеряет объем параллелепипеда, натянутого на эти векторы.
Мультивекторы в R 2
[ редактировать ]Свойства мультивекторов можно увидеть, рассмотрев двумерное векторное пространство V = R 2 . Пусть базисными векторами будут e 1 и e 2 , поэтому u и v задаются выражениями
и мультивектор u ∧ v , также называемый бивектором, вычисляется как
Вертикальные полосы обозначают определитель матрицы, который представляет собой площадь параллелограмма, натянутого на векторы u и v . Величина u ∧ v — это площадь этого параллелограмма. Обратите внимание: поскольку V базисный бивектор e1 , ∧ e2 имеет размерность два является единственным мультивектором в Λ V .
Взаимосвязь между величиной мультивектора и площадью или объемом, охватываемым векторами, является важной особенностью во всех измерениях. Более того, линейная функциональная версия мультивектора, вычисляющая этот объем, известна как дифференциальная форма.
Мультивекторы в R 3
[ редактировать ]Дополнительные возможности мультивекторов можно увидеть, рассмотрев трехмерное векторное пространство V = R. 3 . В этом случае пусть базисными векторами будут e 1 , e 2 и e 3 , поэтому u , v и w задаются формулами
и бивектор u ∧ v вычисляется как
Компоненты этого бивектора такие же, как компоненты векторного произведения. Величина этого бивектора равна квадратному корню из суммы квадратов его составляющих.
Это показывает, что величина бивектора u ∧ v представляет собой площадь параллелограмма, натянутого на векторы u и v , лежащего в трехмерном пространстве V . Компонентами бивектора являются проекции площадей параллелограмма на каждую из трех координатных плоскостей.
Обратите внимание: поскольку V имеется один базисный трехвектор имеет размерность три, в Λ V . Вычислить трехвектор
Вывод тройного внешнего произведения |
|---|
Это показывает, что величина трехвектора u ∧ v ∧ w равна объему параллелепипеда, натянутого на три вектора u , v и w .
В многомерных пространствах составляющие трехвекторы представляют собой проекции объема параллелепипеда на координатные трехмерные пространства, а величина трехвектора - это объем параллелепипеда, находящегося в многомерном пространстве.
Координаты Грассмана
[ редактировать ]В этом разделе мы рассматриваем мультивекторы в проективном пространстве P н , которые предоставляют удобный набор координат для линий, плоскостей и гиперплоскостей, обладающих свойствами, аналогичными однородным координатам точек, называемым координатами Грассмана . [8]
Точки в реальном проективном пространстве P н определяются как линии, проходящие через начало векторного пространства R п +1 . Например, проективная плоскость P 2 представляет собой набор линий, проходящих через начало координат R 3 . Таким образом, мультивекторы, определенные на R п +1 можно рассматривать как мультивекторы на P н .
Удобный способ просмотра мультивектора на P н чтобы исследовать его в аффинной компоненте P состоит в том , н , который является пересечением линий, проходящих через начало координат R п +1 с выбранной гиперплоскостью, например H: x n +1 = 1 . Линии, проходящие через начало R 3 пересечь плоскость E: z = 1, чтобы определить аффинную версию проективной плоскости, в которой отсутствуют только точки, для которых z = 0 , называемые точками на бесконечности.
Мультивекторы на P 2
[ редактировать ]Точки аффинной компоненты E: z = 1 проективной плоскости имеют координаты x = ( x , y , 1) . Линейная комбинация двух точек p = ( p 1 , p 2 , 1) и q = ( q 1 , q 2 , 1) определяет плоскость в R 3 которая пересекает E по линии, соединяющей p и q . Мультивектор p ∧ q определяет параллелограмм в R 3 данный
Обратите внимание, что замена α p + β q на p умножает этот мультивектор на константу. Следовательно, компоненты p ∧ q являются однородными координатами плоскости, проходящей через начало координат R 3 .
Набор точек x = ( x , y , 1) на прямой, проходящей через p и q, является пересечением плоскости, определяемой p ∧ q, с плоскостью E: z = 1 . Эти точки удовлетворяют условию x ∧ p ∧ q = 0 , то есть
что упрощается до уравнения прямой
Этому уравнению удовлетворяют точки x = α p + β q для действительных значений α и β.
Три компонента p ∧ q , определяющие линию λ, называются грассмановыми координатами линии. Поскольку три однородные координаты определяют и точку, и линию, геометрия точек называется двойственной геометрии линий на проективной плоскости. Это называется принципом двойственности .
Мультивекторы на P 3
[ редактировать ]Трехмерное проективное пространство, P 3 состоит из всех линий, проходящих через начало координат R 4 . Пусть трехмерная гиперплоскость H: w = 1 — аффинная компонента проективного пространства, определяемая точками x = ( x , y , z , 1) . Мультивектор p ∧ q ∧ r определяет параллелепипед в R 4 данный
Обратите внимание, что замена α p + β q + γ r на p умножает этот мультивектор на константу. Следовательно, компоненты p ∧ q ∧ r являются однородными координатами трехмерного пространства, проходящего через начало координат R. 4 .
Плоскость в аффинной компоненте H: w = 1 — это набор точек x = ( x , y , z , 1) в пересечении H с 3-пространством, определяемым p ∧ q ∧ r . Эти точки удовлетворяют условию x ∧ p ∧ q ∧ r = 0 , то есть
которое упрощается до уравнения плоскости
Этому уравнению удовлетворяют точки x = α p + β q + γ r для действительных значений α , β и γ .
Четыре компонента p ∧ q ∧ r , определяющие плоскость λ, называются грассмановыми координатами плоскости. Поскольку четыре однородные координаты определяют и точку, и плоскость в проективном пространстве, геометрия точек двойственна геометрии плоскостей.
Линия как соединение двух точек: в проективном пространстве линию λ, проходящую через две точки p и q, можно рассматривать как пересечение аффинного пространства H: w = 1 с плоскостью x = α p + β q в R. 4 . Мультивектор p ∧ q обеспечивает однородные координаты прямой
Они известны как координаты Плюкера линии, хотя они также являются примером координат Грассмана.
Линия как пересечение двух плоскостей: Линия µ в проективном пространстве также может быть определена как набор точек x , которые образуют пересечение двух плоскостей π и ρ, определенных мультивекторами третьего уровня, поэтому точки x являются решениями задачи линейные уравнения
Чтобы получить координаты Плакера линии µ , отобразите мультивекторы π и ρ в координаты их двойственной точки, используя звездный оператор Ходжа : [2]
затем
Итак, координаты Плюккера линии μ имеют вид
Поскольку шесть однородных координат линии могут быть получены из соединения двух точек или пересечения двух плоскостей, линия называется самодвойственной в проективном пространстве.
Продукт Клиффорда
[ редактировать ]У.К.Клиффорд объединил мультивекторы со скалярным произведением, определенным в векторном пространстве, чтобы получить общую конструкцию для гиперкомплексных чисел, включающую обычные комплексные числа и кватернионы Гамильтона . [9] [10]
Произведение Клиффорда между двумя векторами u и v является билинейным и ассоциативным, как и внешнее произведение, и обладает дополнительным свойством: мультивектор uv связан с внутренним произведением u ⋅ v соотношением Клиффорда:
Отношение Клиффорда сохраняет свойство антикоммутации для перпендикулярных векторов. Это видно по взаимно ортогональным единичным векторам e i , i = 1, ..., n в R н : соотношение Клиффорда дает
который показывает, что базисные векторы взаимно антикоммутируют,
В отличие от внешнего произведения, произведение Клиффорда вектора на самого себя не равно нулю. Чтобы увидеть это, вычислите произведение
что дает
Набор мультивекторов, построенный с использованием произведения Клиффорда, дает ассоциативную алгебру, известную как алгебра Клиффорда . Внутренние произведения с разными свойствами можно использовать для построения разных алгебр Клиффорда. [11] [12]
Геометрическая алгебра
[ редактировать ]Термин k-лезвие использовался в книге Клиффорда от алгебры до геометрического исчисления (1984). [13]
Мультивекторы играют центральную роль в математической формулировке физики, известной как геометрическая алгебра. По словам Дэвида Хестенса ,
- [Нескалярные] k -векторы иногда называют k-лопастями или просто лезвиями , чтобы подчеркнуть тот факт, что, в отличие от 0-векторов (скаляров), они обладают «направленными свойствами». [14]
В 2003 году К. Доран и А. Ласенби использовали термин «лезвие» для обозначения мультивектора, который можно записать как внешнее произведение [скаляра и] набора векторов. Здесь, согласно утверждению «Любой мультивектор может быть выражен как сумма лопастей», скаляры неявно определяются как 0-лопасти. [15]
В геометрической алгебре мультивектор определяется как сумма k -лопастей разной степени , такая как сумма скаляра , вектора и 2-вектора. [16] Сумма только компонентов k -степени называется k -вектором. [17] или однородный многовектор. [18]
Элемент высшего класса в пространстве называется псевдоскаляром .
Если данный элемент однороден степени k , то это k -вектор, но не обязательно k -лопасть. Такой элемент является k -лопастью, если его можно выразить как внешнее произведение k векторов. Геометрическая алгебра, порожденная 4-мерным векторным пространством, иллюстрирует эту мысль на примере: сумма любых двух лопастей, одна из которых взята из плоскости XY, а другая — из плоскости ZW, образует 2-вектор, который не является 2-лопастной. В геометрической алгебре, порожденной векторным пространством размерности 2 или 3, все суммы 2-лопастей могут быть записаны как одно 2-лопасти.
Примеры
[ редактировать ]
- 0-векторы являются скалярами;
- 1-векторы являются векторами;
- 2-векторы — бивекторы ;
- ( n − 1)-векторы являются псевдовекторами ;
- n -векторы являются псевдоскалярами .
При наличии формы объема (например, при заданном скалярном произведении и ориентации) псевдовекторы и псевдоскаляры могут быть отождествлены с векторами и скалярами, что является обычным делом в векторном исчислении , но без формы объема это невозможно сделать без создания произвольной формы. выбор.
В алгебре физического пространства (геометрическая алгебра евклидова 3-пространства, используемая в качестве модели (3+1)-пространства-времени) сумма скаляра и вектора называется паравектором и представляет точку в пространстве-времени ( вектор — пространство, скаляр — время).
Бивекторы
[ редактировать ]Бивектор — это элемент антисимметричного тензорного произведения касательного пространства с самим собой.
В геометрической алгебре также бивектор является элементом степени 2 (2-вектор), полученным в результате клинового произведения двух векторов, и поэтому геометрически это ориентированная область , точно так же, как вектор представляет собой ориентированный отрезок прямой. Если a и b — два вектора, бивектор a ∧ b имеет
- норма , которая является его площадью, заданной выражением
- направление: плоскость, на которой лежит эта область, т. е. плоскость, определяемая a и b , если они линейно независимы;
- ориентация (из двух), определяемая порядком умножения исходных векторов.
Бивекторы связаны с псевдовекторами и используются для представления вращений в геометрической алгебре.
Поскольку бивекторы являются элементами векторного пространства Λ 2 V (где V — конечномерное векторное пространство с dim V = n ), имеет смысл определить скалярное произведение в этом векторном пространстве следующим образом. Сначала напишем любой элемент F ∈ Λ 2 V в терминах базиса ( e i ∧ e j ) 1 ≤ i < j ≤ n из Λ 2 В как
где соглашение Эйнштейна о суммировании используется .
Теперь определим отображение G : Λ 2 В × Д 2 V → R, настаивая на том, что
где представляют собой набор чисел.
Приложения
[ редактировать ]Бивекторы играют много важных ролей в физике, например, в классификации электромагнитных полей .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Джон Снигг (2012), Новый подход к дифференциальной геометрии с использованием геометрической алгебры Клиффорда , Биркхойзер, стр. 5 §2.12
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Харли Фландерс (1989) [1963] Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам , § 2.1 Пространство p -векторов, страницы 5–7, Dover Books
- ^ Венделл Флеминг (1977) [1965] Функции нескольких переменных , раздел 7.5 Мультивекторы, страница 295, ISBN 978-1-4684-9461-7
- ^ Эли Картан, Теория спиноров , с. 16 , рассматривает только однородные векторы, особенно простые, называя их «мультивекторами» (в совокупности) или p -векторами (конкретно).
- ^ Уильям М. Пеццалья младший (1992). «Вывод характеристических гиперповерхностей уравнений Максвелла из алгебры Клиффорда» . В Юлиане Лавриновиче (ред.). Деформации математических структур II . Спрингер. п. 131 и далее . ISBN 0-7923-2576-1 .
Следовательно, в 3D мы связываем альтернативные члены псевдовектора для бивектора и псевдоскаляра для тривектора.
- ^ Бэйлис (1994). Теоретические методы в физических науках: введение в решение задач с использованием Maple V. Биркхойзер. п. 234, см. сноску. ISBN 0-8176-3715-Х .
- ^ Г. Е. Шилов, Линейная алгебра , (перевод Р. А. Сильвермана), Dover Publications, 1977.
- ^ WVD Ходж и Д. Педо, Методы алгебраической геометрии, Vol. 1, Кембриджский университет. Пресс, 1947 год.
- ^ У.К. Клиффорд, «Предварительный набросок бикватернионов», Proc. Лондонская математика. Соц. Том. 4 (1873) стр. 381–395.
- ^ У. К. Клиффорд, Математические статьи (ред. Р. Такер), Лондон: Macmillan, 1882.
- ^ Дж. М. Маккарти, Введение в теоретическую кинематику , стр. 62–5, MIT Press 1990.
- ^ О. Боттема и Б. Рот, Теоретическая кинематика , North Holland Publ. Компания, 1979 г.
- ^ Дэвид Хестенс и Гаррет Собчик (1984) От алгебры Клиффорда до геометрического исчисления , стр. 4, Д. Рейдель ISBN 90-277-1673-0
- ^ Дэвид Хестенс (1999) [1986] Новые основы классической механики , стр. 34, Д. Рейдель ISBN 90-277-2090-8
- ^ К. Доран и А. Ласенби (2003) Геометрическая алгебра для физиков , стр. 87, Cambridge University Press ISBN 9780511807497
- ^ Маркос А. Родригес (2000). «§1.2 Геометрическая алгебра: краткий обзор» . Инварианты для распознавания и классификации образов . Всемирная научная. п. 3 и далее . ISBN 981-02-4278-6 .
- ^ Р. Уэрхэм, Дж. Кэмерон и Дж. Ласенби (2005). «Применение конформной геометрической алгебры в компьютерном зрении и графике» . В Хунбо Ли; Питер Дж. Олвер ; Джеральд Соммер (ред.). Компьютерная алгебра и геометрическая алгебра с приложениями . Спрингер. п. 330. ИСБН 3-540-26296-2 .
- ^ Эдуардо Байро-Коррошано (2004). «Геометрическая алгебра Клиффорда: многообещающая основа для компьютерного зрения, робототехники и обучения» . В Альберто Санфелиу; Хосе Франсиско Мартинес Тринидад; Хесус Ариэль Карраско Очоа (ред.). Прогресс в распознавании образов, анализе изображений и приложениях . Спрингер. п. 25. ISBN 3-540-23527-2 .
- ^ Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4 .
- ^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 83. ИСБН 0-7167-0344-0 .
