Паравектор

Название паравектор используется для комбинации скаляра и вектора в любой алгебре Клиффорда , известной среди физиков как геометрическая алгебра .

Это имя было дано Я. Г. Максом в докторской диссертации в Техническом университете Делфта, Нидерланды, в 1989 году.

Полная алгебра паравекторов вместе с соответствующими обобщениями более высокого уровня, все в контексте трехмерного евклидова пространства, представляет собой альтернативный подход к алгебре пространства-времени (STA), представленной Дэвидом Хестенсом . Эта альтернативная алгебра называется алгеброй физического пространства (АФП).

Фундаментальная аксиома

Для евклидовых пространств фундаментальная аксиома указывает, что произведение вектора на самого себя является скалярным значением квадрата длины (положительное).

$\mathbf {v} \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$

Письмо

$\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} ,$

и вводя это в выражение основной аксиомы

$(\mathbf {u} +\mathbf {w} )^{2}=\mathbf {u} \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \mathbf {w} ,$

мы получим следующее выражение после повторного обращения к фундаментальной аксиоме

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +2\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} ,$

что позволяетопределить скалярное произведение двух векторов как

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} \right).$

В качестве важного следствия мы заключаем, что два ортогональных вектора (с нулевым скалярным произведением) антикоммутируют.

$\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} =0$

Трехмерное евклидово пространство

Следующий список представляет собой пример полной основы для $C\ell _{3}$космос,

$\{1,\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\},\mathbf {e} _{123}\},$

который образует восьмимерное пространство, где множественные индексы указывают произведение соответствующих базисных векторов, например

$\mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.$

Уровень базового элемента определяется через векторную кратность, такую, что

Оценка	Тип	Базовый элемент/ы
0	Унитарный действительный скаляр	$1$
1	Вектор	$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$
2	Бивектор	$\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\}$
3	Элемент объема тривектора	$\mathbf {e} _{123}$

Согласно фундаментальной аксиоме, два разных базисных вектора антикоммутируют ,

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\delta _{ij}$

или другими словами,

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\,\,;i\neq j$

Это означает, что элемент объема $\mathbf {e} _{123}$ квадраты в $-1$

$\mathbf {e} _{123}^{2}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1.$

Кроме того, элемент объема $\mathbf {e} _{123}$ коммутирует с любым другим элементом $C\ell (3)$ алгебры, так что его можно отождествить с комплексным числом $i$, когда нет опасности путаницы. Фактически, элемент объема $\mathbf {e} _{123}$ вместе с действительным скаляром образует алгебру, изоморфную стандартной комплексной алгебре. Элемент тома можно использовать для перезаписи эквивалентной формыоснове как

Оценка	Тип	Базовый элемент/ы
0	Унитарный действительный скаляр	$1$
1	Вектор	$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$
2	Бивектор	$\{i\mathbf {e} _{1},i\mathbf {e} _{2},i\mathbf {e} _{3}\}$
3	Элемент объема тривектора	$i$

Паравекторы

Соответствующий паравекторный базис, объединяющий действительный скаляр и векторы, равен

$\{1,\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$,

которое образует четырехмерное линейное пространство. Паравекторное пространство в трехмерном евклидовом пространстве $C\ell _{3}$ может использоваться для представления пространства-времени специальной теории относительности , выраженного в алгебре физического пространства (APS).

Единичный скаляр удобно записать в виде $1=\mathbf {e} _{0}$, так чтополный базис можно записать в компактной форме как

$\{\mathbf {e} _{\mu }\},$

где греческие индексы, такие как $\mu$ бежать от $0$ к $3$.

Антиавтоморфизм

Реверсивное сопряжение

Реверсионный антиавтоморфизм обозначается через $\dagger$. Действие этого сопряжения заключается в изменении порядка геометрического произведения (в общем, произведения чисел Клиффорда).

$(AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$,

где векторы и действительные скалярные числа инвариантны относительно реверсивное сопряжение и называются действительными , например:

$\mathbf {a} ^{\dagger }=\mathbf {a}$

$1^{\dagger }=1$

С другой стороны, тривектор и бивекторы меняют знак при реверсии.сопряжения и называются чисто мнимыми . Приведено реверсивное сопряжение, примененное к каждому базисному элементу.ниже

Элемент	Реверсивное сопряжение
$1$	$1$
$\mathbf {e} _{1}$	$\mathbf {e} _{1}$
$\mathbf {e} _{2}$	$\mathbf {e} _{2}$
$\mathbf {e} _{3}$	$\mathbf {e} _{3}$
$\mathbf {e} _{12}$	$-\mathbf {e} _{12}$
$\mathbf {e} _{23}$	$-\mathbf {e} _{23}$
$\mathbf {e} _{31}$	$-\mathbf {e} _{31}$
$\mathbf {e} _{123}$	$-\mathbf {e} _{123}$

Сопряжение Клиффорда

Сопряжение Клиффорда обозначается чертой над объектом. ${\bar {}}$. Это сопряжение еще называют барным сопряжением .

Конъюгация Клиффорда представляет собой совместное действие инволюции и реверсии степени.

Действие сопряжения Клиффорда на паравектор заключается в изменении знакавекторы, сохраняющие знак действительных скалярных чисел, например

${\bar {\mathbf {a} }}=-\mathbf {a}$

${\bar {1}}=1$

Это связано с тем, что и скаляры, и векторы инвариантны к реверсии (невозможно изменить порядок одной вещи или ни одной вещи), а скаляры имеют нулевой порядок и, следовательно, имеют четная степень, в то время как векторы имеют нечетную степень и поэтому подвергаются смене знака при инволюции степени.

В качестве антиавтоморфизма сопряжение Клиффорда распространяется как

${\overline {AB}}={\overline {B}}\,\,{\overline {A}}$

Приведено сопряжение стержней, примененное к каждому базисному элементу.ниже

Элемент	Барное сопряжение
$1$	$1$
$\mathbf {e} _{1}$	$-\mathbf {e} _{1}$
$\mathbf {e} _{2}$	$-\mathbf {e} _{2}$
$\mathbf {e} _{3}$	$-\mathbf {e} _{3}$
$\mathbf {e} _{12}$	$-\mathbf {e} _{12}$
$\mathbf {e} _{23}$	$-\mathbf {e} _{23}$
$\mathbf {e} _{31}$	$-\mathbf {e} _{31}$
$\mathbf {e} _{123}$	$\mathbf {e} _{123}$

• Примечание.- Элемент объема инвариантен относительно сопряжения стержня.

Сортовой автоморфизм

Автоморфизм степени

${\overline {AB}}^{\dagger }={\overline {A}}^{\dagger }{\overline {B}}^{\dagger }$

определяется как составное действие как реверсивного сопряжения, так и сопряжения Клиффорда, и имеет эффект инвертирования знака мультивекторов нечетной степени, сохраняя при этом инвариант мультивекторов четной степени:

Элемент	Инволюция степени
$1$	$1$
$\mathbf {e} _{1}$	$-\mathbf {e} _{1}$
$\mathbf {e} _{2}$	$-\mathbf {e} _{2}$
$\mathbf {e} _{3}$	$-\mathbf {e} _{3}$
$\mathbf {e} _{12}$	$\mathbf {e} _{12}$
$\mathbf {e} _{23}$	$\mathbf {e} _{23}$
$\mathbf {e} _{31}$	$\mathbf {e} _{31}$
$\mathbf {e} _{123}$	$-\mathbf {e} _{123}$

Инвариантные подпространства согласно сопряжениям

Четыре специальных подпространства могут быть определены в $C\ell _{3}$ космосна основе их симметрии относительно реверсии и клиффордовского сопряжения

• Скалярное подпространство : инвариант относительно сопряжения Клиффорда.
• Векторное подпространство : меняет знак при сопряжении Клиффорда.
• Реальное подпространство : инвариант относительно реверсивного сопряжения.
• Воображаемое подпространство : меняет знак при реверсивном сопряжении.

Данный $p$ как общее число Клиффорда, дополнительные скалярная и векторная части $p$ даны симметричные и антисимметричные комбинации с сопряжением Клиффорда

$\langle p\rangle _{S}={\frac {1}{2}}(p+{\overline {p}}),$

$\langle p\rangle _{V}={\frac {1}{2}}(p-{\overline {p}})$.

Аналогично, дополняющие друг друга действительная и мнимая части $p$ данысимметричными и антисимметричными комбинациями с реверсивным сопряжением

$\langle p\rangle _{R}={\frac {1}{2}}(p+p^{\dagger }),$

$\langle p\rangle _{I}={\frac {1}{2}}(p-p^{\dagger })$.

Можно определить четыре пересечения, перечисленные ниже.

$\langle p\rangle _{RS}=\langle p\rangle _{SR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{S}$

$\langle p\rangle _{RV}=\langle p\rangle _{VR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{V}$

$\langle p\rangle _{IV}=\langle p\rangle _{VI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{V}$

$\langle p\rangle _{IS}=\langle p\rangle _{SI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{S}$

В следующей таблице приведены оценки соответствующих подпространств, где, например,оценку 0 можно рассматривать как пересечение действительного и скалярного подпространств.

	Настоящий	Воображаемый
Скаляр	0	3
Вектор	1	2

• Примечание: Термин «Воображаемый» используется в контексте $C\ell _{3}$ алгебры и не предполагает введения стандартных комплексных чисел в какой-либо форме.

Закрытые подпространства относительно произведения

Имеются два подпространства, замкнутые относительно произведения. Это скалярное пространство и четное пространство, которые изоморфны хорошо известным алгебрам комплексных чисел и кватернионов.

• Скалярное пространство, состоящее из классов 0 и 3, изоморфно стандартной алгебре комплексных чисел с отождествлением

  $\mathbf {e} _{123}=i.$

• Четное пространство, составленное из элементов рангов 0 и 2, изоморфно алгебре кватернионов с отождествлением

  $-\mathbf {e} _{23}=i$

  $-\mathbf {e} _{31}=j$

  $-\mathbf {e} _{12}=k.$

Скалярное произведение

Учитывая два паравектора $u$ и $v$, обобщение скалярного произведения есть

$\langle u{\bar {v}}\rangle _{S}.$

Квадрат величины паравектора $u$ является

$\langle u{\bar {u}}\rangle _{S},$

которая не является определенной билинейной формой и может быть равна нулю, даже если паравектор не равен нулю.

Очень показательно, что паравекторное пространство автоматически подчиняется метрике пространства Минковского. потому что

$\eta _{\mu \nu }=\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{S}$

и в частности:

$\eta _{00}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{0}\rangle =\langle 1(1)\rangle _{S}=1,$

$\eta _{11}=\langle \mathbf {e} _{1}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle \mathbf {e} _{1}(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=-1,$

$\eta _{01}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle 1(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=0.$

Бипаравекторы

Учитывая два паравектора $u$ и $v$, бипаравектор B естьопределяется как:

$B=\langle u{\bar {v}}\rangle _{V}$.

Бипаравекторный базис можно записать как

$\{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{V}\},$

который содержит шесть независимых элементов, включая действительные и мнимые члены.Три действительных элемента (вектора) как

$\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{k},$

и три мнимых элемента (бивектора) как

$\langle \mathbf {e} _{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{jk}$

где $j,k$ запустить от 1 до 3.

В физического пространства Алгебре электромагнитное поле выражается как бипаравектор как

$F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ^{\,},$

где и электрическое, и магнитное поля являются действительными векторами.

$\mathbf {E} ^{\dagger }=\mathbf {E}$

$\mathbf {B} ^{\dagger }=\mathbf {B}$

и $i$ представляет псевдоскалярный элемент объема.

Другим примером бипаравектора является представление скорости вращения пространства-времени, которое можно выразить как

$W=i\theta ^{j}\mathbf {e} _{j}+\eta ^{j}\mathbf {e} _{j},$

с тремя обычными переменными угла поворота $\theta ^{j}$ и три быстроты $\eta ^{j}$.

Трипаравекторы

Учитывая три паравектора $u$, $v$ и $w$, трипаравектор T естьопределяется как:

$T=\langle u{\bar {v}}w\rangle _{I}$.

Трипаравекторный базис можно записать как

$\{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }\rangle _{I}\},$

но независимых трипаравекторов только четыре, поэтому его можно свести к

$\{i\mathbf {e} _{\rho }\}$.

Псевдоскаляр

Псевдоскалярный базис

$\{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }{\bar {\mathbf {e} }}_{\rho }\rangle _{IS}\},$

но расчет показывает, что он содержит только один термин. Этот термин является элементом объема $i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}$.

Четыре степени, взятые в комбинации пар, образуют паравекторные, бипаравекторные и трипаравекторные пространства, как показано в следующей таблице, где, например, мы видим, что паравектор состоит из оценок 0 и 1.

	1	3
0	Паравектор	Скаляр/псевдоскаляр
2	Бипаравектор	Трипаравектор

Параградиент

Оператор параградиента является обобщением оператора градиента в паравекторном пространстве. Параградиент в стандартном паравекторном базисе равен

$\partial =\mathbf {e} _{0}\partial _{0}-\mathbf {e} _{1}\partial _{1}-\mathbf {e} _{2}\partial _{2}-\mathbf {e} _{3}\partial _{3},$

что позволяет записать оператор Даламбера в виде

$\square =\langle {\bar {\partial }}\partial \rangle _{S}=\langle \partial {\bar {\partial }}\rangle _{S}$

Стандартный оператор градиента можно естественным образом определить как

$\nabla =\mathbf {e} _{1}\partial _{1}+\mathbf {e} _{2}\partial _{2}+\mathbf {e} _{3}\partial _{3},$

так что параградиент можно записать как

$\partial =\partial _{0}-\nabla ,$

где $\mathbf {e} _{0}=1$.

Применение оператора параградиента должно осуществляться осторожно, всегда соблюдая его некоммутативную природу. Например, широко используемым производным является

$\partial e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}=(\partial f(x))e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}\mathbf {e} _{3},$

где $f(x)$ является скалярной функцией координат.

Параградиент — это оператор, который всегда действует слева, если функция является скалярной функцией. Однако если функция не скалярная, параградиент может действовать и справа. Например, следующее выражение расширяется как

$(L\partial )=\mathbf {e} _{0}\partial _{0}L+(\partial _{1}L)\mathbf {e} _{1}+(\partial _{2}L)\mathbf {e} _{2}+(\partial _{3}L)\mathbf {e} _{3}$

Нулевые паравекторы как проекторы

Нулевые паравекторы — это элементы, которые не обязательно равны нулю, но имеют величину, идентичную нулю. Для нулевого паравектора $p$, из этого свойства с необходимостью следует тождество

$p{\bar {p}}=0.$

В контексте специальной теории относительности их также называют светоподобными паравекторами.

Проекторы представляют собой нулевые паравекторы вида

$P_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1+{\hat {\mathbf {k} }}),$

где ${\hat {\mathbf {k} }}$ является единичным вектором.

Проектор $P_{\mathbf {k} }$ этой формы имеет дополнительный проектор ${\bar {P}}_{\mathbf {k} }$

${\bar {P}}_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1-{\hat {\mathbf {k} }}),$

такой, что

$P_{\mathbf {k} }+{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=1$

Как проекторы они идемпотентны.

$P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=...$

и проекция одного на другого равна нулю, поскольку они являются нулевыми паравекторами

$P_{\mathbf {k} }{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=0.$

Соответствующий единичный вектор проектора можно извлечь как

${\hat {\mathbf {k} }}=P_{\mathbf {\mathbf {k} } }-{\bar {P}}_{\mathbf {k} },$

это означает, что ${\hat {\mathbf {k} }}$ является операторомс собственными функциями $P_{\mathbf {\mathbf {k} } }$ и ${\bar {P}}_{\mathbf {\mathbf {k} } }$, с соответствующими собственными значениями $1$ и $-1$.

Из предыдущего результата справедливо следующее тождество, если предположить, что $f({\hat {\mathbf {k} }})$ аналитичен около нуля

$f({\hat {\mathbf {k} }})=f(1)P_{\mathbf {k} }+f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.$

Это порождает свойство pac Woman , такое, что удовлетворяются следующие тождества:

$f({\hat {\mathbf {k} }})P_{\mathbf {k} }=f(1)P_{\mathbf {k} },$

$f({\hat {\mathbf {k} }}){\bar {P}}_{\mathbf {k} }=f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.$

Нулевой базис паравекторного пространства

Базис элементов, каждый из которых равен нулю, может быть построен для полного $C\ell _{3}$ космос. В основе интереса лежит следующее

$\{{\bar {P}}_{3},P_{3}\mathbf {e} _{1},P_{3},\mathbf {e} _{1}P_{3}\}$

так что произвольный паравектор

$p=p^{0}\mathbf {e} _{0}+p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}$

можно записать как

$p=(p^{0}+p^{3})P_{3}+(p^{0}-p^{3}){\bar {P}}_{3}+(p^{1}+ip^{2})\mathbf {e} _{1}P_{3}+(p^{1}-ip^{2})P_{3}\mathbf {e} _{1}$

Это представление полезно для некоторых систем, которые естественным образом выражаются через переменные светового конуса , которые являются коэффициентами $P_{3}$ и ${\bar {P}}_{3}$ соответственно.

Каждое выражение в паравекторном пространстве можно записать в терминах нулевого базиса. Паравектор $p$ обычно параметризуется двумя вещественными скалярными числами $\{u,v\}$ и общее скалярное число $w$ (включая скалярные и псевдоскалярные числа)

$p=u{\bar {P}}_{3}+vP_{3}+w\mathbf {e} _{1}P_{3}+w^{\dagger }P_{3}\mathbf {e} _{1}$

параградиент в нулевом базисе равен

$\partial =2P_{3}\partial _{u}+2{\bar {P}}_{3}\partial _{v}-2\mathbf {e} _{1}P_{3}\partial _{w^{\dagger }}-2P_{3}\mathbf {e} _{1}\partial _{w}$

Высшие измерения

n-мерное евклидово пространство допускает существование мультивекторов степени n (n-векторов). Размерность векторного пространства, очевидно, равна n, и простой комбинаторный анализ показывает, что размерность бивекторного пространства равна ${\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}$. В общем случае размерность мультивекторного пространства степени m равна ${\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}$ и размерность всей алгебры Клиффорда $C\ell (n)$ является $2^{n}$.

Заданный мультивектор с однородной градацией либо инвариантен, либо меняет знак под действием реверсивного сопряжения $\dagger$. Элементы, которые остаются инвариантными, называются эрмитовыми, а элементы, меняющие знак, — антиэрмитовыми. Таким образом, оценки можно классифицировать следующим образом:

Оценка	Классификация
$0$	эрмитовский
$1$	эрмитовский
$2$	антиэрмитовский
$3$	антиэрмитовский
$4$	эрмитовский
$5$	эрмитовский
$6$	антиэрмитовский
$7$	антиэрмитовский
$\vdots$	$\vdots$

Матричное представление

Алгебра $C\ell (3)$ пространство изоморфно матричной алгебре Паули такой, что

	Матричное представление 3D	Явная матрица
$\mathbf {e} _{0}$	$\sigma _{0}^{}$	${\begin{pmatrix}1&&0\\0&&1\end{pmatrix}}$
$\mathbf {e} _{1}$	$\sigma _{1}^{}$	${\begin{pmatrix}0&&1\\1&&0\end{pmatrix}}$
$\mathbf {e} _{2}$	$\sigma _{2}^{}$	${\begin{pmatrix}0&&-i\\i&&0\end{pmatrix}}$
$\mathbf {e} _{3}$	$\sigma _{3}^{}$	${\begin{pmatrix}1&&0\\0&&-1\end{pmatrix}}$

из которого нулевые базисные элементы становятся

${P_{3}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,;{\bar {P}}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,;{P_{3}}\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,;\mathbf {e} _{1}{P}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.$

Общее число Клиффорда в 3D можно записать как

$\Psi =\psi _{11}P_{3}-\psi _{12}P_{3}\mathbf {e} _{1}+\psi _{21}\mathbf {e} _{1}P_{3}+\psi _{22}{\bar {P}}_{3},$

где коэффициенты $\psi _{jk}$ являются скалярными элементами (в том числе псевдоскалярами). Индексы были выбраны так, чтобы это число Клиффорда было представлено через матрицы Паули:

$\Psi \rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}&\psi _{12}\\\psi _{21}&\psi _{22}\end{pmatrix}}$

Спряжения

Реверсивное сопряжение преобразуется в эрмитово сопряжение, а стержневое сопряжение преобразуется в следующую матрицу:

${\bar {\Psi }}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}&-\psi _{12}\\-\psi _{21}&\psi _{11}\end{pmatrix}},$

так что скалярная часть переводится как

$\langle \Psi \rangle _{S}\rightarrow {\frac {\psi _{11}+\psi _{22}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\frac {Tr[\psi ]}{2}}\mathbf {1} _{2\times 2}$

Остальные подпространства переводятся как

$\langle \Psi \rangle _{V}\rightarrow {\begin{pmatrix}0&\psi _{12}\\\psi _{21}&0\end{pmatrix}}$

$\langle \Psi \rangle _{R}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}+\psi _{11}^{*}&\psi _{12}+\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}+\psi _{12}^{*}&\psi _{22}+\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}$

$\langle \Psi \rangle _{I}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}-\psi _{11}^{*}&\psi _{12}-\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}-\psi _{12}^{*}&\psi _{22}-\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}$

Высшие измерения

Матричное представление евклидова пространства в более высоких измерениях может быть построено в терминах произведения Кронекера матриц Паули, что приводит к комплексным матрицам размерности $2^{n}$. 4D-представление можно принять как

	Матричное представление 4D
$\mathbf {e} _{1}$	$\sigma _{3}\otimes \sigma _{1}$
$\mathbf {e} _{2}$	$\sigma _{3}\otimes \sigma _{2}$
$\mathbf {e} _{3}$	$\sigma _{3}\otimes \sigma _{3}$
$\mathbf {e} _{4}$	$\sigma _{2}\otimes \sigma _{0}$

7D-представление можно принять как

	Матричное представление 7D
$\mathbf {e} _{1}$	$\sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{1}$
$\mathbf {e} _{2}$	$\sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{2}$
$\mathbf {e} _{3}$	$\sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{3}$
$\mathbf {e} _{4}$	$\sigma _{0}\otimes \sigma _{2}\otimes \sigma _{0}$
$\mathbf {e} _{5}$	$\sigma _{3}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}$
$\mathbf {e} _{6}$	$\sigma _{1}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}$
$\mathbf {e} _{7}$	$\sigma _{2}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}$

Алгебры Ли

Алгебры Клиффорда можно использовать для представления любой классической алгебры Ли.В общем, можно идентифицировать алгебры Ли компактных групп , используя антиэрмитовые элементы: которое можно расширить до некомпактных групп добавлением эрмитовых элементов.

Бивекторы n-мерного евклидова пространства являются эрмитовыми элементами и могут использоваться для представления $\mathrm {spin} (n)$ Алгебра Ли.

Бивекторы трехмерного евклидова пространства образуют $\mathrm {spin} (3)$ Алгебра Ли, изоморфная к $\mathrm {su} (2)$ Алгебра лжи. Этот случайный изоморфизм позволяет представить себе геометрическую интерпретациюсостояния двумерного гильбертова пространства с помощью сферы Блоха . Одной из таких систем является частица со спином 1/2.

The $\mathrm {spin} (3)$ Алгебру Ли можно расширить, добавив три унитарных вектора, чтобы сформировать изоморфную алгебру Ли.к $\mathrm {SL} (2,C)$ Алгебра Ли, являющаяся двойным накрытием группы Лоренца. $\mathrm {SO} (3,1)$. Этот изоморфизм дает возможность разработать формализм специальной теории относительности, основанный на $\mathrm {SL} (2,C)$, который осуществляетсяв виде алгебры физического пространства .

Существует только один дополнительный случайный изоморфизм между спиновой алгеброй Ли и $\mathrm {su} (N)$ Алгебра Ли. Этот является изоморфизмом между $\mathrm {spin} (6)$ и $\mathrm {su} (4)$.

Существует еще один интересный изоморфизм между $\mathrm {spin} (5)$ и $\mathrm {sp} (4)$. Итак, $\mathrm {sp} (4)$ Алгебру Ли можно использовать для генерации $USp(4)$ группа. Несмотря на то, что эта группа меньше, чем $\mathrm {SU} (4)$ группы, видно, что ее достаточно, чтобы охватить четырехмерное гильбертово пространство.

См. также

• Алгебра физического пространства
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства

Ссылки

Учебники

• Бейлис, Уильям (2002). Электродинамика: современный геометрический подход (2-е изд.). Биркхойзер. ISBN   0-8176-4025-8
• Бейлис, Уильям, Клиффорд (геометрические) алгебры с приложениями в физике, математике и технике, Биркхаузер (1999)
• [H1999] Дэвид Хестенс: Новые основы классической механики (второе издание). ISBN   0-7923-5514-8 , Kluwer Academic Publishers (1999)
• Крис Доран и Энтони Ласенби, Геометрическая алгебра для физиков, Кембридж, 2003 г.

Статьи

• Бэйлис, МЫ (1 ноября 2004 г.). «Относительность в вводной физике». Канадский физический журнал . 82 (11). Канадское научное издательство: 853–873. arXiv : физика/0406158 . Бибкод : 2004CaJPh..82..853B . дои : 10.1139/p04-058 . ISSN   0008-4204 . S2CID   35027499 .
• Доран, К.; Хестенес, Д.; Соммен, Ф.; Ван Акер, Н. (1993). «Группы Ли как спиновые группы». Журнал математической физики . 34 (8). Издательство AIP: 3642–3669. Бибкод : 1993JMP....34.3642D . дои : 10.1063/1.530050 . ISSN   0022-2488 .
• Кабрера, Р.; Ранган, К.; Бэйлис, МЫ (4 сентября 2007 г.). «Достаточное условие для когерентного управления n-кубитными системами». Физический обзор А. 76 (3). Американское физическое общество (APS): 033401. arXiv : quant-ph/0703220 . Бибкод : 2007PhRvA..76c3401C . дои : 10.1103/physreva.76.033401 . ISSN   1050-2947 . S2CID   45060566 .
• Ваз, Джейме; Манн, Стивен (2018). «Паравекторы и геометрия трехмерного евклидова пространства». Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 28 (5). Springer Science and Business Media LLC: 99. arXiv : 1810.09389 . дои : 10.1007/s00006-018-0916-1 . ISSN   0188-7009 . S2CID   253600966 .