Обозначения Ван дер Вардена

В теоретической физике используются обозначения Ван дер Вардена. относится к использованию двухкомпонентных спиноров ( спиноров Вейля ) в четырех измерениях пространства-времени. Это стандарт в твисторной теории и суперсимметрии . Он назван в честь Бартеля Леендерта ван дер Вардена .

Пунктирные индексы

Индексы без точек (хиральные индексы)

Спиноры с нижними непунктирными индексами обладают левой киральностью и называются киральными индексами.

$\Sigma _{\mathrm {left} }={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\0\end{pmatrix}}$

Пунктирные индексы (антикиральные индексы)

Спиноры с поднятыми пунктирными индексами и верхней чертой на символе (не индексе) являются правыми и называются антихиральными индексами.

$\Sigma _{\mathrm {right} }={\begin{pmatrix}0\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}$

Без индексов, т.е. «безиндексная нотация», верхняя черта сохраняется на правом спиноре, поскольку возникает неоднозначность между киральностью, когда индекс не указан.

Шляпные индексы

Индексы со шляпками называются индексами Дирака и представляют собой набор индексов с точками и без точек, или киральных и антихиральных индексов. Например, если

$\alpha =1,2\,,{\dot {\alpha }}={\dot {1}},{\dot {2}}$

тогда спинор в киральном базисе представляется как

$\Sigma _{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}$

где

${\hat {\alpha }}=(\alpha ,{\dot {\alpha }})=1,2,{\dot {1}},{\dot {2}}$

В этих обозначениях сопряженным Дираком (также называемым сопряженным Дираком ) является

$\Sigma ^{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\chi ^{\alpha }&{\bar {\psi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}$

См. также

• Уравнение Дирака
• Символы Инфельда – Ван дер Вардена
• Преобразование Лоренца
• уравнение Паули
• Фигурное исчисление

Ссылки

• Спиноры в физике
• П. Лабелль (2010), Суперсимметрия , Демистифицированная серия, McGraw-Hill (США), ISBN  978-0-07-163641-4
• Херли, диджей; Вандик, Массачусетс (2000), Геометрия, спиноры и приложения , Springer, ISBN  1-85233-223-9
• Пенроуз, Р.; Риндлер, В. (1984), Спиноры и пространство-время , том. 1, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-24527-3
• Будинич П.; Траутман, А. (1988), Спинориальная шахматная доска , Springer-Verlag, ISBN  0-387-19078-3