сопряженный Дирака

В квантовой теории поля определяет сопряженный Дирака двойственную операцию спинора Дирака . Сопряженное Дирака мотивировано необходимостью формировать измеримые величины из спиноров Дирака, заменяя обычную роль эрмитова сопряженного .

Возможно, чтобы избежать путаницы с обычным эрмитовым сопряженным , в некоторых учебниках не дается название сопряженного Дирака, а просто называется « ψ -bar».

Определение

Позволять $\psi$ быть спинором Дирака . Тогда его сопряженный Дираком определяется как

{\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}

где $\psi ^{\dagger }$ обозначает эрмитово сопряжение спинора $\psi$ , и $\gamma ^{0}$ — времяподобная гамма-матрица .

Спиноры при преобразованиях Лоренца.

Группа Лоренца специальной теории относительности не компактна , поэтому спинорные представления преобразований Лоренца вообще не унитарны . То есть, если $\lambda$ является проективным представлением некоторого преобразования Лоренца,

\psi \mapsto \lambda \psi

,

тогда вообще

\lambda ^{\dagger }\neq \lambda ^{-1}

.

Эрмитово сопряженное спинору преобразуется согласно

\psi ^{\dagger }\mapsto \psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }

.

Поэтому, $\psi ^{\dagger }\psi$ не является скаляром Лоренца и $\psi ^{\dagger }\gamma ^{\mu }\psi$ даже не эрмитово .

Сопряжения Дирака, напротив, преобразуются по закону

{\bar {\psi }}\mapsto \left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}

.

Использование личности $\gamma ^{0}\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}=\lambda ^{-1}$ , преобразование сводится к

{\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}\lambda ^{-1}

,

Таким образом, ${\bar {\psi }}\psi$ преобразуется как скаляр Лоренца и ${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ как четырехвекторный .

Использование

Используя сопряжение Дирака, вероятностный четырехток J для поля частицы со спином 1/2 можно записать как

J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi

где c — скорость света, а компоненты J представляют собой плотность вероятности ρ и вероятность 3-тока j :

{\boldsymbol {J}}=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})

.

Взяв µ = 0 и воспользовавшись соотношением для гамма-матриц

\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I

,

плотность вероятности становится

\rho =\psi ^{\dagger }\psi

.

См. также

Ссылки

Б. Брансден и К. Хоахейн (2000). Квантовая механика , 2е, Пирсон. ISBN 0-582-35691-1 .
М. Пескин и Д. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля , Westview Press. ISBN 0-201-50397-2 .
А. Зи (2003). Квантовая теория поля в двух словах , Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01019-6 .