Теория представлений группы Лоренца

Хендрик Антон Лоренц (справа), в честь которого группа Лоренца названа , и Альберт Эйнштейн, чья специальная теория относительности является основным источником применения. Фотография сделана Паулем Эренфестом в 1921 году.

Группа Лоренца — это группа Ли симметрий пространства-времени специальной теории относительности . Эта группа может быть реализована как совокупность матриц , линейных преобразований или унитарных операторов в некотором гильбертовом пространстве ; он имеет множество представлений . Эта группа важна, потому что специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя наиболее тщательно обоснованными физическими теориями. и соединение этих двух теорий представляет собой изучение бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Они имеют как историческое значение для основной физики, так и связь с более умозрительными современными теориями.

Разработка

Полная теория конечномерных представлений алгебры Ли группы Лоренца выводится на основе общей теории представлений полупростых алгебр Ли . Конечномерные представления связной компоненты ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ полной группы Лоренца O(3; 1) получаются с использованием лиева соответствия и матричной экспоненты . Полная конечномерная теория представлений универсальной накрывающей группы (а также спиновой группы , двойного накрытия) ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ из ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ получен и явно задан в терминах действия на функциональном пространстве в представлениях ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ и ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$. Представители обращения времени и обращения пространства даны в обращении пространства и обращении времени , завершая конечномерную теорию для полной группы Лоренца. общие свойства представлений ( m , n ) Изложены действие на функциональные пространства . Рассмотрено , в качестве примеров приведены действие на сферические гармоники и P-функции Римана . Бесконечномерный случай неприводимых унитарных представлений реализован для ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ Основная серия и дополнительная серия . Наконец, формула Планшереля для ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ дано, а представления 1) классифицированы SO(3 , и реализованы для алгебр Ли.

Развитие теории представлений исторически последовало за развитием более общей теории представлений полупростых групп , во многом благодаря Эли Картану и Герману Вейлю , но группа Лоренца также получила особое внимание из-за ее важности в физике. Заметный вклад внесли физик Э.П. Вигнер и математик Валентин Баргманн с их программой Баргмана-Вигнера . один из выводов которого, грубо говоря, состоит в том, что классификация всех унитарных представлений неоднородной группы Лоренца сводится к классификации всех возможных релятивистских волновых уравнений . Классификацию неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца установил Поля Дирака докторант по теоретической физике Хариш-Чандра , впоследствии ставший математиком, в 1947 г. Соответствующая классификация $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ был опубликован независимо Баргманном и Израилем Гельфандом совместно с Марком Наймарком в том же году.

Приложения

Многие представления, как конечномерные, так и бесконечномерные, важны в теоретической физике. Представления появляются при описании полей в классической теории поля , особенно электромагнитного поля , и частиц в релятивистской квантовой механике , а также частиц и квантовых полей в квантовой теории поля и различных объектов в теории струн и за ее пределами. Теория представлений также обеспечивает теоретическое обоснование понятия спина . Теория входит в общую теорию относительности в том смысле, что в достаточно малых областях пространства-времени физика является физикой специальной теории относительности.

Конечномерные неприводимые неунитарные представления вместе с неприводимыми бесконечномерными унитарными представлениями неоднородной группы Лоренца — группы Пуанкаре — представляют собой представления, имеющие непосредственное физическое значение.

Бесконечномерные унитарные представления группы Лоренца возникают путем ограничения неприводимых бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, действующих на гильбертовых пространствах релятивистской квантовой механики и квантовой теории поля . Но они также представляют математический интерес и потенциально имеют прямое физическое значение в других целях, помимо простого ограничения. Были спекулятивные теории, (тензоры и спиноры имеют бесконечные аналоги в экспанзорах Дирака и экспинорах Хариш-Чандры), что согласуется с теорией относительности и квантовой механикой, но они не нашли доказанного физического применения. Современные спекулятивные теории потенциально имеют схожие ингредиенты, описанные ниже.

Классическая теория поля

Хотя электромагнитное поле вместе с гравитационным полем являются единственными классическими полями, дающими точное описание природы, важны и другие типы классических полей. В подходе к квантовой теории поля (КТП), называемом вторым квантованием , отправной точкой является одно или несколько классических полей, где, например, волновые функции, решающие уравнение Дирака, рассматриваются как классические поля до (второго) квантования. Хотя вторичное квантование и связанный с ним лагранжев формализм не являются фундаментальным аспектом КТП, это тот случай, когда до сих пор ко всем квантовым теориям поля можно подходить таким образом, включая стандартную модель . В этих случаях существуют классические варианты уравнений поля, вытекающие из уравнений Эйлера–Лагранжа, полученных из лагранжиана с использованием принципа наименьшего действия . Эти уравнения поля должны быть релятивистски инвариантными, а их решения (которые будут квалифицироваться как релятивистские волновые функции согласно приведенному ниже определению) должны трансформироваться при некотором представлении группы Лоренца.

Действие группы Лоренца на пространство конфигураций поля (конфигурация поля — это пространственно-временная история конкретного решения, например, электромагнитное поле во всем пространстве за все время — это одна конфигурация поля) напоминает действие на гильбертовых пространствах квантовой теории. механика, за исключением того, что коллекторные скобки заменены теоретико-полевыми скобками Пуассона .

Релятивистская квантовая механика

Для настоящих целей дано следующее определение: Релятивистская волновая функция — это набор из n функций ψ ^а в пространстве-времени, которое преобразуется при произвольном собственном преобразовании Лоренца Λ как

$$\psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x\right),$$

где D [Λ] — n -мерная матрица, представляющая Λ, принадлежащая некоторой прямой сумме представлений ( m , n ) , которые будут введены ниже.

Наиболее полезными одночастичными теориями релятивистской квантовой механики (полностью непротиворечивых таких теорий не существует) являются уравнение Клейна – Гордона. и уравнение Дирака в их первоначальной обстановке. Они релятивистски инвариантны, и их решения преобразуются под действием группы Лоренца как скаляры Лоренца ( ( m , n ) = (0, 0) ) и биспиноры ( (0, 0) ). ⁠ 1 / 2 ⁠ ) ⊕ ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ) соответственно. Согласно этому определению, электромагнитное поле является релятивистской волновой функцией, преобразующейся при (1, 0) ⊕ (0, 1) .

Бесконечномерные представления могут быть использованы при анализе рассеяния.

Квантовая теория поля

В квантовой теории поля требование релятивистской инвариантности заключается, среди прочего, в том, что S-матрица обязательно должна быть инвариантной Пуанкаре. Это означает, что существует одно или несколько бесконечномерных представлений группы Лоренца, действующих в пространстве Фока . Одним из способов гарантировать существование таких представлений является существование лагранжева описания (при скромных требованиях, см. ссылку) системы с использованием канонического формализма, из которого можно вывести реализацию генераторов группы Лоренца.

Преобразования операторов поля иллюстрируют взаимодополняющую роль конечномерных представлений группы Лоренца и бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, свидетельствуя о глубоком единстве математики и физики. Для иллюстрации рассмотрим определение оператора n -компонентного поля : Оператор релятивистского поля — это набор из n операторнозначных функций в пространстве-времени, который преобразуется при собственных преобразованиях Пуанкаре (Λ, a ) согласно закону

$$\Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1}\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a)$$

Здесь U [Λ, a] — унитарный оператор, представляющий (Λ, a) в гильбертовом пространстве, в котором Ψ определено , а D — n -мерное представление группы Лоренца. Правило преобразования — это вторая аксиома Вайтмана квантовой теории поля.

Из соображений дифференциальных ограничений, которым должен подчиняться оператор поля, чтобы описать одну частицу с определенной массой m и спином s (или спиральностью), делается вывод, что

$$\Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma }\int dp\left(a(\mathbf {p} ,\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}\right),$$ ( Х1 )

где ​ ^† , a интерпретируются как операторы создания и уничтожения соответственно. Оператор создания a ^† трансформируется в соответствии с

$$a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ,\sigma \right)=U[\Lambda ]a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^{(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },$$

и аналогично для оператора уничтожения. Следует отметить, что оператор поля преобразуется в соответствии с конечномерным неунитарным представлением группы Лоренца, а оператор рождения преобразуется в соответствии с бесконечномерным унитарным представлением группы Пуанкаре, характеризуемым массой и спином ( m , s ) частицы. Связью между ними являются волновые функции , также называемые коэффициентными функциями.

$$u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}$$

которые несут как индексы ( x , α ), на которые действуют преобразования Лоренца, так и индексы ( p , σ ), на которые действуют преобразования Пуанкаре. Это можно назвать связностью Лоренца–Пуанкаре. Чтобы продемонстрировать связь, подвергните обе части уравнения (X1) преобразованию Лоренца, в результате чего, например, u ,

$${D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),$$

где D — неунитарная группа Лоренца, представитель Λ и D ^{( с )} является унитарным представителем так называемого вращения Вигнера R, связанного с Λ и p, которое вытекает из представления группы Пуанкаре, а s — спин частицы.

Все приведенные выше формулы, включая определение оператора поля в терминах операторов рождения и уничтожения, а также дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет оператор поля для частицы с заданной массой, спином и представлением ( m , n ) , при котором он должен трансформироваться, а также волновую функцию, можно получить только на основе теоретико-групповых соображений, как только будут даны основы квантовой механики и специальной теории относительности.

Спекулятивные теории

В теориях, в которых пространство-время может иметь более D = 4 измерений, обобщенные группы Лоренца O( D − 1; 1) соответствующей размерности заменяют O(3; 1) .

Требование лоренц-инвариантности приобретает, возможно, наиболее драматический эффект в теории струн . Классические релятивистские струны можно обрабатывать в рамках лагранжа, используя действие Намбу-Гото . Это приводит к релятивистски-инвариантной теории в любом измерении пространства-времени. Но, как оказывается, теорию открытых и закрытых бозонных струн (простейшую теорию струн) невозможно квантовать таким образом, чтобы группа Лоренца была представлена ​​в пространстве состояний ( гильбертовом пространстве ), если только размерность пространства-времени не равна 26. Соответствующий результат для теории суперструн снова получен с требованием лоренц-инвариантности, но теперь с суперсимметрией . В этих теориях алгебра Пуанкаре заменяется алгеброй суперсимметрии , которая представляет собой Z ₂ -градуированную алгебру Ли, расширяющую алгебру Пуанкаре. Структура такой алгебры во многом определяется требованиями лоренц-инвариантности. В частности, фермионные операторы (класс 1 ) принадлежат a (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) или ( ⁠ 1/2 0 ⁠ , ) пространство представления (обычной) алгебры Ли Лоренца. Единственная возможная размерность пространства-времени в таких теориях равна 10.

Конечномерные представления

Теория представлений групп вообще и групп Ли в частности — очень богатый предмет. Группа Лоренца обладает некоторыми свойствами, которые делают ее «приемлемой», и другими, которые делают ее «не очень приятной» в контексте теории представлений; группа проста и, следовательно , полупроста , но не связна , и ни один из ее компонентов не является односвязным . Более того, группа Лоренца не компактна .

Для конечномерных представлений наличие полупростоты означает, что с группой Лоренца можно обращаться так же, как и с другими полупростыми группами, используя хорошо развитую теорию. Кроме того, все представления строятся из неприводимых , поскольку алгебра Ли обладает свойством полной сводимости . Но некомпактность группы Лоренца в сочетании с отсутствием простой связности не может быть рассмотрена во всех аспектах, как в простой схеме, применимой к односвязным компактным группам. Некомпактность означает, что для связной простой группы Ли не существует нетривиальных конечномерных унитарных представлений. Отсутствие простой связности приводит к появлению спиновых представлений группы. Несвязность означает, что для представлений полной группы Лоренца обращение времени и изменение пространственной ориентации должны рассматриваться отдельно.

История

Развитие конечномерной теории представлений группы Лоренца в основном следует развитию теории представлений в целом. Теория лжи возникла Софусом Ли в 1873 году. К 1888 классификация простых алгебр Ли была по существу завершена Вильгельмом Киллингом . В 1913 году теорема о наибольшем весе для представлений простых алгебр Ли — путь, по которому мы будем идти здесь, — была завершена Эли Картаном . Рихард Брауэр в период 1935–38 был в значительной степени ответственен за разработку матриц Вейля-Брауэра, описывающих, как спиновые представления алгебры Ли Лоренца могут быть вложены в алгебры Клиффорда . Группа Лоренца также исторически уделяла особое внимание в теории представлений (см. Историю бесконечномерных унитарных представлений ниже) из-за ее исключительной важности в физике. Математики Герман Вейль и Хариш-Чандра и физики Юджин Вигнер и Валентин Баргманн внес существенный вклад как в общую теорию представлений, так и в частности в группу Лоренца. Физик Поль Дирак был, пожалуй, первым, кто в 1928 году явно связал все воедино в практическом применении, имеющем непреходящее значение, с помощью уравнения Дирака .

Алгебра Ли

Вильгельм Киллинг , независимый открыватель алгебр Ли . Простые алгебры Ли были впервые классифицированы им в 1888 году.

В этом разделе рассматриваются неприводимые комплексные линейные представления комплексификации . ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }$ алгебры Ли ${\mathfrak {so}}(3;1)$ группы Лоренца. Удобная основа для ${\mathfrak {so}}(3;1)$ задается тремя J i _{вращений} и K генераторами тремя _i повышений . генераторами Они явно заданы в соглашениях и основах алгебры Ли .

Алгебра Ли комплексифицируется , а базис заменяется на компоненты двух ее идеалов. $$\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}},\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}.$$

Компоненты A = ( A ₁ , A ₂ , A ₃ ) и B = ( B ₁ , B ₂ , B ₃ ) по отдельности удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли. ${\mathfrak {su}}(2)$ и, более того, они ездят друг с другом,

$$\left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,$$

где i , j , k — индексы, каждый из которых принимает значения 1, 2, 3 , а ε _ijk — трёхмерный символ Леви-Чивита . Позволять $\mathbf {A} _{\mathbb {C} }$ и $\mathbf {B} _{\mathbb {C} }$ обозначают комплексную линейную оболочку A B и . соответственно

Имеются изоморфизмы

$${\begin{aligned}{\mathfrak {so}}(3;1)\hookrightarrow {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }&\cong \mathbf {A} _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus i{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} }\hookleftarrow {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),\end{aligned}}$$ ( А1 )

где ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ это усложнение ${\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .$

Полезность этих изоморфизмов связана с тем, что все неприводимые представления ${\mathfrak {su}}(2)$, а значит, и все неприводимые комплексные линейные представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ известны. Неприводимое комплексное линейное представление ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ изоморфно одному из представлений старшего веса . Они явно заданы в комплексных линейных представлениях ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

Унитарный трюк

Герман Вейль , изобретатель унитарного трюка . В теории представлений есть несколько концепций и формул, названных в честь Вейля, например, группа Вейля и формула характера Вейля .

Алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ является алгеброй Ли ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ Он содержит компактную подгруппу SU(2) × SU(2) с алгеброй Ли ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).$ Последний представляет собой компактную вещественную форму ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$ Таким образом, из первой формулировки унитарного трюка представления SU(2) × SU(2) находятся во взаимно однозначном соответствии с голоморфными представлениями ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

По компактности теорема Питера – Вейля применима к SU(2) × SU(2) , ортонормированности неприводимых характеров и, следовательно, можно апеллировать к . Неприводимые унитарные представления SU(2) × SU(2) являются в точности тензорными произведениями неприводимых унитарных представлений SU(2) .

Апеллируя к простой связности, применяется второе утверждение унитарного трюка. Объекты в следующем списке находятся во взаимно однозначном соответствии:

• Голоморфные представления ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
• Гладкие представления SU(2) × SU(2)
• Действительные линейные представления ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$
• Комплексные линейные представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

Тензорные произведения представлений появляются на уровне алгебры Ли как

$${\begin{aligned}\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(X)&&X\in {\mathfrak {g}}\\\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X,Y)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(Y)&&(X,Y)\in {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\end{aligned}}$$ ( А0 )

где Id — идентификационный оператор. Здесь имеется в виду последняя интерпретация, следующая из (G6) . Представления с наибольшим весом ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ индексируются µ для µ = 0, 1/2, 1, ... . (Самые высокие веса на самом деле равны 2 μ = 0, 1, 2, ... , но обозначения здесь адаптированы к обозначениям ${\mathfrak {so}}(3;1).$) Тензорные произведения двух таких комплексных линейных факторов тогда образуют неприводимые комплексные линейные представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

Наконец, $\mathbb {R}$-линейные представления реальных форм крайне левых, ${\mathfrak {so}}(3;1)$и крайние правые, ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ в (A1) получены из $\mathbb {C}$-линейные представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ охарактеризовано в предыдущем пункте.

( µ , ν )-представления sl(2, C)

Комплексные линейные представления комплексификации ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },$ полученные с помощью изоморфизмов в (A1) , находятся во взаимно однозначном соответствии с вещественными линейными представлениями ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$ Множество всех вещественных линейных неприводимых представлений ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ таким образом, индексируются парой ( μ , ν ) . Комплексные линейные, соответствующие как раз комплексификации вещественных линейных ${\mathfrak {su}}(2)$ представления имеют вид ( μ , 0) , а сопряженные линейные — (0, ν ) . Все остальные действительно линейны. Свойства линейности следуют из канонического введения, крайне правого в (A1) , ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ в его комплексификацию. Представления вида ( ν , ν ) или ( µ , ν ) ⊕ ( ν , µ ) задаются вещественными матрицами (последние не являются неприводимыми). Явно, вещественные линейные ( µ , ν ) -представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ являются $$\varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }(X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$$где ${\textstyle \varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$ являются комплексными линейными неприводимыми представлениями ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ и ${\overline {\varphi _{\nu }}},\nu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$ их комплексно-сопряженные представления. (В математической литературе обычно используется маркировка 0, 1, 2, ... , но здесь выбраны полуцелые числа, чтобы соответствовать маркировке для ${\mathfrak {so}}(3,1)$ Алгебра Ли.) Здесь тензорное произведение интерпретируется в прежнем смысле (А0) . Эти представления конкретно реализуются ниже.

( m , n )-представления so(3; 1)

Через выявленные изоморфизмы в (А1) и знание комплексных линейных неприводимых представлений ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ после решения для J и K все неприводимые представления ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} },$ и, по ограничению, те из ${\mathfrak {so}}(3;1)$ получаются. Представления ${\mathfrak {so}}(3;1)$ полученные таким образом, являются вещественно-линейными (а не комплексными или сопряженно-линейными), поскольку алгебра не замкнута при сопряжении, но они все равно неприводимы. С ${\mathfrak {so}}(3;1)$ является полупростым , все его представления могут быть построены как прямые суммы неприводимых.

Таким образом, конечномерные неприводимые представления алгебры Лоренца классифицируются упорядоченной парой полуцелых чисел m = µ и n = ν , условно записываемых как одно из $$(m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),$$где V — конечномерное векторное пространство. Они, с точностью до преобразования подобия , однозначно задаются формулой

$$\pi _{(m,n)}(J_{i})=J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}+1_{(2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}$$$$\pi _{(m,n)}(K_{i})=-i\left(J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}-1_{(2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}\right),$$

( А2 )

где 1 _n — n -мерная единичная матрица и $$\mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)}\right)$$являются (2 n + 1) -мерными неприводимыми представлениями ${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)$ также называемые спиновыми матрицами или матрицами углового момента . Они явно заданы как $${\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}$$где δ обозначает дельту Кронекера . В компонентах с − m ≤ a , a′ ≤ m , − n ≤ b , b′ ≤ n представления задаются формулой $${\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=-i\left(\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}-\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\right)\end{aligned}}$$

Общие представления

Неприводимые представления для малых ( m , n ) . Размер в скобках.

	м = 0	⁠ 1 / 2 ⁠	1	⁠ 3 / 2 ⁠
п = 0	Скаляр (1)	Левша Спинор Вейля (2)	Самодвойственный 2-форма (3)	(4)
⁠ 1 / 2 ⁠	Правша Спинор Вейля (2)	4-векторный (4)	(6)	(8)
1	Анти-самодвойственный 2-форма (3)	(6)	Бесследный симметричный тензор (9)	(12)
⁠ 3 / 2 ⁠	(4)	(8)	(12)	(16)

• Представление (0, 0) является одномерным тривиальным представлением и поддерживается релятивистскими скалярными теориями поля .
• Генераторы фермионной суперсимметрии преобразуются под действием одного из (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) или ( ⁠ 1/2 , 0 ⁠ представления ( ) спиноры Вейля).
• Четырехимпульс ) частицы ( безмассовой или массивной преобразуется под действием ( ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1/2 представление , четырёхвектор ⁠ ) .
• Физическим примером бесследового симметричного тензорного поля (1,1) является бесследовое часть тензора энергии-импульса T ^{примечание} .

Внедиагональные прямые суммы

Поскольку для любого неприводимого представления, для которого m ≠ n, важно оперировать полем комплексных чисел , прямая сумма представлений ( m , n ) и ( n , m ) имеет особое значение для физики, поскольку позволяет использовать линейные операторы над действительными числами .

• ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠ 1/2 ​ ⁠ ) — биспинорное представление . См. также спинор Дирака , спиноры и биспиноры Вейля ниже.
• (1,  ⁠ 1 / 2 ⁠ ) ⊕ ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 1) — представление поля Рариты–Швингера .
• ( ⁠ 3 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 3/2 ) гипотетического ⁠ будет симметрией гравитино . Его можно получить из (1, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) ⊕ ( ⁠ 1/2 ⁠ 1 , ) представление.
• (1, 0) ⊕ (0, 1) является представлением четности , инвариантного по поля 2-формы (также известного как форма кривизны ). Тензор электромагнитного поля преобразуется при этом представлении.

Группа

Подход в этом разделе основан на теоремах, которые, в свою очередь, основаны на фундаментальном соответствии Ли . Соответствие Ли по сути представляет собой словарь между связными группами Ли и алгебрами Ли. Связующим звеном между ними является экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли, обозначаемое $\exp :{\mathfrak {g}}\to G.$

Если $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ для некоторого векторного пространства V является представлением, представление Π связной компоненты G определяется формулой

$${\begin{aligned}\Pi (g=e^{iX})&\equiv e^{i\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e^{iX}\in \mathrm {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \mathrm {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\in \mathrm {im} (\exp ).\end{aligned}}$$ ( Г2 )

Это определение применимо независимо от того, является ли полученное представление проективным или нет.

Сюръективность экспоненциального отображения для SO(3, 1)

С практической точки зрения важно, первую формулу в (Г2) можно ли использовать для всех элементов группы . Это справедливо для всех $X\in {\mathfrak {g}}$, однако в общем случае, например, для ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$, не все g ∈ G находятся в образе exp .

Но $\exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}$ является сюръективным. Один из способов показать это — использовать изоморфизм ${\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ),$ последняя является группой Мёбиуса . Это частное от ${\text{GL}}(n,\mathbb {C} )$ (см. связанную статью). Факторное отображение обозначается $p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ).$ Карта $\exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )$ включен. Примените (Ли), где π является дифференциалом p в единице. Затем

$$\forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).$$

Поскольку левая часть сюръективна (и exp , и p ), правая часть сюръективна и, следовательно, $\exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ является сюръективным. Наконец, повторите аргумент еще раз, но теперь с известным изоморфизмом между SO(3; 1) ⁺ и ${\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ чтобы обнаружить, что exp соответствует компоненте связности группы Лоренца.

Фундаментальная группа

Группа Лоренца двусвязна , т. е. π ₁ (SO(3; 1)) — группа, элементами которой являются два класса эквивалентности петель.

Доказательство

Продемонстрировать фундаментальную группу SO (3; 1) ⁺ , топология ее накрывающей группы ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ считается. По теореме полярного разложения любая матрица $\lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ может быть однозначно выражено как

$$\lambda =ue^{h},$$

где u унитарно SU с определителем один, следовательно, в (2) , а h эрмитово . с следом нулевым Условия следа и определителя подразумевают: $${\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\in \mathbb {R} ^{4}{\text{ subject to }}d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1.\end{aligned}}$$

Явно непрерывное взаимно однозначное отображение представляет собой гомеоморфизм с непрерывным обратным, заданным формулой (место u отождествляется с $\mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}$)

$${\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\\(r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}$$

явно демонстрируя это ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ просто связано. Но ${\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},$ где $\{\pm I\}$ является центром ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$. Отождествление λ и − λ равнозначно отождествлению u с − u , что, в свою очередь, равносильно идентификации противоположных точек на $\mathbb {S} ^{3}.$ Таким образом, топологически $${\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}),$$

где последний фактор не просто связан: геометрически он виден (для целей визуализации $\mathbb {S} ^{3}$ может быть заменен на $\mathbb {S} ^{2}$), что путь от u до − u в $SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3}$ это петля внутри $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ поскольку u и − u — противоположные точки и что она не стягивается в точку. Но путь от u до − u , оттуда снова к u , петля в $\mathbb {S} ^{3}$ и двойной цикл (учитывая p ( ue ^час ) = p (− u.e. ^час ) , где $p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)$ – покрывающая карта) в $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ сжимаемую до точки (постоянно удаляясь от − u «наверх» в $\mathbb {S} ^{3}$ и сократим путь туда до точки u ). Таким образом, 1 ₍ SO(3; 1)) — группа, элементами которой являются два класса эквивалентности петель, или, проще говоря, SO(3; 1) двусвязна π .

Проективные представления

Поскольку π ₁ (SO(3; 1) ⁺ ) имеет два элемента, некоторые представления алгебры Ли будут давать проективные представления . Как только известно, является ли представление проективным, формула (G2) применяется ко всем элементам группы и всем представлениям, включая проективные, с пониманием того, что представитель элемента группы будет зависеть от того, какой элемент в алгебре Ли ( X в (G2) ) используется для представления элемента группы в стандартном представлении.

Для группы Лоренца ( m , n ) -представление является проективным, когда m + n является полуцелым числом. См. § Спиноры .

Для проективного представления Π группы SO(3; 1) ⁺ , он утверждает, что

$$\left[\Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})\Pi ^{-1}(\Lambda _{1}\Lambda _{2})\right]^{2}=1\Rightarrow \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2}),\quad \Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {SO} (3;1),$$ ( Г5 )

поскольку любой цикл в SO(3; 1) ⁺ пройденное дважды из-за двойной связности стягивается в точку, так что его гомотопический класс является классом постоянного отображения. Отсюда следует, что Π — двузначная функция. Невозможно последовательно выбрать знак, чтобы получить непрерывное представление всей SO(3; 1). ⁺ , но это возможно локально вокруг любой точки.

Накрывающая группа SL(2, C)

Учитывать ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ как реальная алгебра Ли с базисом

$$\left({\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3},{\frac {i}{2}}\sigma _{1},{\frac {i}{2}}\sigma _{2},{\frac {i}{2}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3}),$$

где сигмы — матрицы Паули . Из отношений

$$[\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}$$ ( Дж1 )

получается

$$[j_{i},j_{j}]=i\epsilon _{ijk}j_{k},\quad [j_{i},k_{j}]=i\epsilon _{ijk}k_{k},\quad [k_{i},k_{j}]=-i\epsilon _{ijk}j_{k},$$ ( Дж2 )

которые в точности соответствуют форме трехмерной версии коммутационных соотношений для ${\mathfrak {so}}(3;1)$ (см. соглашения и основы алгебры Ли ниже). Таким образом, расширенное по линейности отображение J _i ↔ j _i , K _i ↔ k _i является изоморфизмом. С ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ односвязна, это универсальная накрывающая группа SO (3; 1) ⁺ .

показывать

Подробнее об охвате групп в целом и ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ накрытие группы Лоренца, в частности

A geometric view

E.P. Wigner investigated the Lorentz group in depth and is known for the Bargmann-Wigner equations. The realization of the covering group given here is from his 1939 paper.

Let p_g(t), 0 ≤ t ≤ 1 be a path from 1 ∈ SO(3; 1)⁺ to g ∈ SO(3; 1)⁺, denote its homotopy class by [p_g] and let π_g be the set of all such homotopy classes. Define the set

$$G=\{(g,[p_{g}]):g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+},[p_{g}]\in \pi _{g}\}$$ (C1)

and endow it with the multiplication operation

$$(g_{1},[p_{1}])(g_{2},[p_{2}])=(g_{1}g_{2},[p_{12}]),$$ (C2)

where $p_{12}$ is the path multiplication of $p_{1}$ and $p_{2}$:

$$p_{12}(t)=(p_{1}*p_{2})(t)={\begin{cases}p_{1}(2t)&0\leqslant t\leqslant {\tfrac {1}{2}}\\p_{2}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}$$

With this multiplication, G becomes a group isomorphic to ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ the universal covering group of SO(3; 1)⁺. Since each π_g has two elements, by the above construction, there is a 2:1 covering map p : G → SO(3; 1)⁺. According to covering group theory, the Lie algebras ${\mathfrak {so}}(3;1),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ and ${\mathfrak {g}}$ of G are all isomorphic. The covering map p : G → SO(3; 1)⁺ is simply given by p(g, [p_g]) = g.

An algebraic view

For an algebraic view of the universal covering group, let ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ act on the set of all Hermitian 2×2 matrices ${\mathfrak {h}}$ by the operation

$${\begin{cases}\mathbf {P} (A):{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}\\X\mapsto A^{\dagger }XA\end{cases}}\qquad A\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$$ (C3)

The action on ${\mathfrak {h}}$ is linear. An element of ${\mathfrak {h}}$ may be written in the form

$$X={\begin{pmatrix}\xi _{4}+\xi _{3}&\xi _{1}+i\xi _{2}\\\xi _{1}-i\xi _{2}&\xi _{4}-\xi _{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \xi _{1},\ldots ,\xi _{4}\in \mathbb {R} .$$ (C4)

The map P is a group homomorphism into ${\text{GL}}({\mathfrak {h}})\subset {\text{End}}({\mathfrak {h}}).$ Thus $\mathbf {P} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}({\mathfrak {h}})$ is a 4-dimensional representation of ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$. Its kernel must in particular take the identity matrix to itself, A^†IA = A^†A = I and therefore A^† = A⁻¹. Thus AX = XA for A in the kernel so, by Schur's lemma, A is a multiple of the identity, which must be ±I since det A = 1. The space ${\mathfrak {h}}$ is mapped to Minkowski space M⁴, via

$$X=(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})\leftrightarrow {\overrightarrow {(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})}}=(x,y,z,t)={\overrightarrow {X}}.$$ (C5)

The action of P(A) on ${\mathfrak {h}}$ preserves determinants. The induced representation p of ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ on $\mathbb {R} ^{4},$ via the above isomorphism, given by

$$\mathbf {p} (A){\overrightarrow {X}}={\overrightarrow {AXA^{\dagger }}}$$ (C6)

preserves the Lorentz inner product since$$-\det X=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}-\xi _{4}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.$$

This means that p(A) belongs to the full Lorentz group SO(3; 1). By the main theorem of connectedness, since ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ is connected, its image under p in SO(3; 1) is connected, and hence is contained in SO(3; 1)⁺.

It can be shown that the Lie map of $\mathbf {p} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},$ is a Lie algebra isomorphism: $\pi :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\mathfrak {so}}(3;1).$ The map P is also onto.

Thus ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$, since it is simply connected, is the universal covering group of SO(3; 1)⁺, isomorphic to the group G of above.

Несюръективность экспоненциального отображения для SL(2, C)

На этой диаграмме показана сеть карт, обсуждаемых в тексте. Здесь V — конечномерное векторное пространство, содержащее представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {so}}(3;1),$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ и ${\text{SO}}(3;1)^{+}.$ $\exp$ – экспоненциальное отображение, p – накрывающее отображение из ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ на SO(3; 1) ⁺ и σ — индуцированный им изоморфизм алгебры Ли. Отображения Π, π и два Φ являются представлениями. Эта картина верна лишь частично, когда Π проективно.

Экспоненциальное отображение $\exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ не на. Матрица

$$q={\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}$$ ( С6 )

находится в ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ но нет $Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ такой, что q = exp( Q ) .

В общем случае, если g является элементом связной группы Ли G с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}},$ тогда, по (Ложи) ,

$$g=\exp(X_{1})\cdots \exp(X_{n}),\qquad X_{1},\ldots X_{n}\in {\mathfrak {g}}.$$ ( С7 )

Матрицу q можно записать

$${\begin{aligned}&\exp(-X)\exp(i\pi H)\\{}={}&\exp \left({\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\\\end{pmatrix}}\right)\exp \left(i\pi {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\right)\\[6pt]{}={}&{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\[6pt]{}={}&{\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\{}={}&q.\end{aligned}}$$ ( С8 )

Реализация представлений SL(2, C) и sl(2, C) и их алгебр Ли

Комплексные линейные представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ и ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ получить проще, чем ${\mathfrak {so}}(3;1)^{+}$ представления. Их можно (и обычно так и делают) записать с нуля. Представления голоморфной группы (то есть соответствующее представление алгебры Ли является комплексным линейным) связаны с комплексными линейными представлениями алгебры Ли возведением в степень. Реальные линейные представления ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ являются в точности ( μ , ν ) -представлениями. Их тоже можно возвести в степень. μ ( -представления являются комплексными линейными и , 0) (изоморфны) представлениям старшего веса. Обычно они индексируются только одним целым числом (но здесь используются полуцелые числа).

В этом разделе для удобства используется математическое соглашение. раз Элементы алгебры Ли различаются в i нет коэффициента i , и в экспоненциальном отображении по сравнению с физическим соглашением, используемым в других местах. Пусть в основе ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ быть

$$H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}.$$ ( С1 )

Такой выбор базиса и обозначений является стандартным в математической литературе.

Комплексные линейные представления

Неприводимые голоморфные ( n + 1) -мерные представления ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,$ может быть реализовано на пространстве однородного полинома степени n от 2 переменных $\mathbf {P} _{n}^{2},$ элементы которого являются

$$P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .$$

Действие ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ дается

$$(\phi _{n}(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{n}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right),\qquad P\in \mathbf {P} _{n}^{2}.$$ ( С2 )

Связанный ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$-действие заключается в использовании (G6) и приведенном выше определении для базовых элементов ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$

$$\phi _{n}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}},\quad \phi _{n}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\quad \phi _{n}(Y)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}.$$ ( С5 )

С выбором основы $P\in \mathbf {P} _{n}^{2}$, эти представления становятся матричными алгебрами Ли.

Реальные линейные представления

-представления ( μ , ν ) реализуются в пространстве многочленов $\mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}$ в $z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}},$ однородный степени µ по $z_{1},z_{2}$ и однородный степени ν по ${\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.$ Представления даны

$$(\phi _{\mu ,\nu }(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{\mu ,\nu }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\right]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right),\quad P\in \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}.$$ ( С6 )

Снова используя (G6), обнаруживаем, что

$${\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(E)P=&-{\frac {\partial P}{\partial z_{1}}}\left(E_{11}z_{1}+E_{12}z_{2}\right)-{\frac {\partial P}{\partial z_{2}}}\left(E_{21}z_{1}+E_{22}z_{2}\right)\\&-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{1}}}}}\left({\overline {E_{11}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{12}}}{\overline {z_{2}}}\right)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2}}}}}\left({\overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\right)\end{aligned}},\quad E\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} ).$$ ( С7 )

В частности, для базовых элементов,

$${\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(H)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}+{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(X)&=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}\\\phi _{\mu ,\nu }(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}-{\overline {z_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}}\end{aligned}}$$ ( С8 )

Свойства представлений ( m , n )

Представления ( m , n ) , определенные выше через (A1) (как ограничения на вещественную форму ${\mathfrak {sl}}(3,1)$) тензорных произведений неприводимых комплексных линейных π _{m = µ} и π _{n = ν} представлений ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ неприводимы и являются единственными неприводимыми представлениями.

• Неприводимость следует из унитарного трюка. и что представление Π группы SU(2) × SU(2) неприводимо тогда и только тогда, когда Π = Π _µ ⊗ Π _ν , где Π _µ , Π _ν — неприводимые представления SU(2) .
• Единственность следует из того, что Π _m — единственные неприводимые представления SU(2) , что является одним из выводов теоремы о старшем весе.

Измерение

Представления ( m , n ) являются (2 m + 1)(2 n + 1) -мерными. Это легче всего следует из подсчета размерностей в любой конкретной реализации, например той, которая дана в представлениях ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ и ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$. Для общей алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ формула размерности Вейля , $$\dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},$$применяется, где R ⁺ — множество положительных корней, ρ — старший вес, а δ — половина суммы положительных корней. Внутренний продукт $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ это алгебра Ли ${\mathfrak {g}},$ инвариант относительно действия группы Вейля на ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},$ Картана подалгебра . Корни (действительно элементы ${\mathfrak {h}}^{*}$) через этот внутренний продукт идентифицируются с элементами ${\mathfrak {h}}.$ Для ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ формула сводится к dim π _µ = 2 µ + 1 = 2 m + 1 , где необходимо учитывать настоящие обозначения . Наибольший вес составляет 2 мкм . Беря тензорные произведения, получаем следующий результат.

Верность

Если представление Π группы Ли G не является точным, то N = ker Π — нетривиальная нормальная подгруппа. Имеются три соответствующих случая.

1. N недискретен и абелев .
2. N недискретен и неабелев.
3. N дискретно. В этом случае ⊂ Z , где Z — центр G. N

В случае SO(3; 1) ⁺ , первый случай исключается, поскольку SO(3; 1) ⁺ является полупростым. Второй случай (и первый случай) исключен, поскольку SO(3; 1) ⁺ это просто. Для третьего случая SO(3; 1) ⁺ изоморфно фактору ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}.$ Но $\{\pm I\}$ является центром ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ Отсюда следует, что центр SO(3; 1) ⁺ тривиально, и это исключает третий случай. Вывод состоит в том, что каждое представление Π : SO(3; 1) ⁺ → GL( V ) и каждое проективное представление Π : SO(3; 1) ⁺ → PGL( W ) для V , W конечномерные векторные пространства являются точными.

Используя фундаментальное соответствие Ли, приведенные выше утверждения и рассуждения непосредственно переносятся на алгебры Ли с (абелевыми) нетривиальными недискретными нормальными подгруппами, замененными (одномерными) нетривиальными идеалами в алгебре Ли: и центр SO(3; 1) ⁺ заменен центром ${\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}$Центр любой полупростой алгебры Ли тривиален. и ${\mathfrak {so}}(3;1)$ полупроста и проста и, следовательно, не имеет нетривиальных идеалов.

Связанный с этим факт состоит в том, что если соответствующее представление ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ верно, то представление проективно. Обратно, если представление непроективно, то соответствующее ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ представление неверно, но составляет 2:1 .

Неунитарность

Представление ( m , n ) алгебры Ли не является эрмитовым . Соответственно, соответствующее (проективное) представление группы никогда не бывает унитарным . Это связано с некомпактностью группы Лоренца. Фактически связная простая некомпактная группа Ли не может иметь никаких нетривиальных унитарных конечномерных представлений. Этому есть топологическое доказательство. Пусть u : G → GL( V ) , где V конечномерно, — непрерывное унитарное представление некомпактной связной простой группы Ли G . Тогда u ( G ) ⊂ U( V ) ⊂ GL( V ), где U( V ) — компактная подгруппа группы GL( V ), из унитарных преобразований V. состоящая Ядро ​ u G является нормальной подгруппой ​ . Поскольку G проста, ker u либо все из G , и в этом случае u тривиально, либо ker u тривиально, и в этом случае u является точным . В последнем случае u является диффеоморфизмом на свой образ, u ( G ) ≅ G и u ( G ) — группа Ли. Это означало бы, что u ( G ) — вложенная некомпактная подгруппа Ли компактной группы U( V ) . Это невозможно с топологией подпространства на u ( G ) ⊂ U ( V ), поскольку все вложенные подгруппы Ли группы Ли замкнуты. Если бы u ( G ) была замкнутой, она была бы компактной, и тогда G была бы компактной, вопреки предположению.

В случае группы Лоренца это также видно непосредственно из определений. Представления A и B, использованные при построении, являются эрмитовыми. Это означает, что эрмитово , а K антиэрмитово J . Неунитарность не является проблемой в квантовой теории поля, поскольку рассматриваемые объекты не обязаны иметь лоренц-инвариантную положительно определенную норму.

Ограничение SO(3)

Однако представление ( m , n ) является унитарным, если оно ограничено подгруппой вращения SO(3) , но эти представления не являются неприводимыми как представления SO(3). представление ( Можно применить разложение Клебша – Гордана, показав, что m , n ) имеет SO (3) -инвариантные подпространства старшего веса (спин) m + n , m + n − 1, ..., |   м - п | , где каждый возможный наибольший вес (спин) встречается ровно один раз. Весовое подпространство старшего веса (спина) j -мерно (2 j + 1) . Так, например, ( ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠ ) представление имеет подпространства со спином 1 и спином 0 размерности 3 и 1 соответственно.

Поскольку оператор углового момента задается выражением J = A + B , высший спин в квантовой механике подпредставления вращения будет ( m + n )ℏ и «обычные» правила сложения угловых моментов и формализм 3 символы -j , символы 6-j и т. д. Применяются

Спиноры

Именно SO(3) -инвариантные подпространства неприводимых представлений определяют, имеет ли представление спин. Из приведенного выше абзаца видно, что представление ( m , n ) имеет спин, если m + n является полуцелым числом. Самые простые ( ⁠ 1/2 ( ⁠ , 0) и 0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) , спиноры Вейля размерности 2 . Тогда, например, (0, ⁠ 3 / 2 ⁠ ) и (1, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) представляют собой спиновые представления размерностей 2⋅ ⁠ 3/2 2 + и ⁠ + 1 = 4 ( 1)(2⋅ ⁠ 1/2 + соответственно ⁠ 1) = 6 . Согласно предыдущему абзацу, существуют подпространства со спином как ⁠ 3/2 ​ ⁠ и ​ ⁠ 1/2 частицу ⁠ физическую в последних двух случаях, поэтому эти представления, скорее всего, не могут представлять одну , которая должна хорошо вести себя в соответствии с SO(3) . Однако в целом нельзя исключать, что представления с несколькими подпредставлениями SO (3) с различным спином могут представлять физические частицы с четко определенным спином. Возможно, существует подходящее релятивистское волновое уравнение, которое исключает нефизические компоненты , оставляя только один спин.

Конструкция чистого спина ⁠ n / 2 ⁠ представлений для любого n (при SO(3) ) из неприводимых представлений включает в себя взятие тензорных произведений представления Дирака на неспиновое представление, выделение подходящего подпространства и, наконец, наложение дифференциальных ограничений.

Двойные представления

Корневая система A ₁ × A ₁ ​ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

Следующие теоремы применяются для проверки того, ли двойственное представление неприводимого представления изоморфно исходному представлению:

1. Набор весов двойственного представления неприводимого представления полупростой алгебры Ли, включая кратности, является отрицательным по отношению к набору весов исходного представления.
2. Два неприводимых представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый старший вес .
3. Для каждой полупростой алгебры Ли существует единственный элемент w ₀ группы Вейля такой, что если µ является доминантным целым весом, то w ₀ ⋅ (− µ ) снова является доминантным целым весом.
4. Если $\pi _{\mu _{0}}$ является неприводимым представлением со старшим весом µ ₀ , то $\pi _{\mu _{0}}^{*}$ имеет наибольший вес ш ₀ ⋅ (- μ ) .

Здесь элементы группы Вейля рассматриваются как ортогональные преобразования, действующие путем умножения матриц на вещественное векторное пространство корней . Если − I — элемент группы Вейля полупростой алгебры Ли, то w ₀ = − I . В случае ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ группа Вейля — это W знак равно { I , − I } . Отсюда следует, что каждое π _µ , µ = 0, 1, ... изоморфно своему двойственному $\pi _{\mu }^{*}.$ Корневая система ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ показано на рисунке справа. Группа Вейля порождается $\{w_{\gamma }\}$ где $w_{\gamma }$ является отражением в плоскости, ортогональной γ, поскольку γ пробегает все корни. Проверка показывает, что w _α ⋅ w _β = − I, поэтому − I ∈ W . Используя тот факт, что если π , σ являются представлениями алгебры Ли и π ≅ σ , то Π ≅ Σ , вывод для SO(3; 1) ⁺ является $$\pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n},\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .$$

Комплексно-сопряженные представления

Если π — представление алгебры Ли, то ${\overline {\pi }}$ представляет собой представление, где черта обозначает поэлементное комплексное сопряжение в репрезентативных матрицах. Это следует из того, что комплексное сопряжение коммутирует со сложением и умножением. Вообще говоря, каждое неприводимое представление π группы ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ можно однозначно записать как π = π ⁺ + р ⁻ , где $$\pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right)\right),$$с $\pi ^{+}$ голоморфный (комплексный линейный) и $\pi ^{-}$ антиголоморфный (сопряженный линейный). Для ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ с $\pi _{\mu }$ голоморфен, ${\overline {\pi _{\mu }}}$ является антиголоморфным. Непосредственное рассмотрение явных выражений для $\pi _{\mu ,0}$ и $\pi _{0,\nu }$ в уравнении (S8) ниже показывает, что они голоморфны и антиголоморфны соответственно. Более внимательное изучение экспрессии (S8) также позволяет идентифицировать $\pi ^{+}$ и $\pi ^{-}$ для $\pi _{\mu ,\nu }$ как $$\pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1}},\qquad \pi _{\mu ,\nu }^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1}}}}.$$

Используя приведенные выше тождества (интерпретируемые как поточечное сложение функций), для SO(3; 1) ⁺ урожайность $${\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n}}}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n}^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1}}}}+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\oplus _{2m+1}}}}\\&=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1}}+{\overline {\pi _{m}}}^{\oplus _{2n+1}}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&2m,2n\in \mathbb {N} \\{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{aligned}}$$где утверждения для представлений групп следуют из exp( X ) = exp( X ) . Отсюда следует, что неприводимые представления ( m , n ) имеют вещественные матричные представители тогда и только тогда, когда m = n . Приводимые представления вида ( m , n ) ⊕ ( n , m ) тоже имеют вещественные матрицы.

Присоединенное представление, алгебра Клиффорда и спинорное представление Дирака.

Ричард Брауэр и жена Ильза, 1970. Брауэр обобщил спиновые представления алгебр Ли, находящихся внутри алгебр Клиффорда, так, чтобы спины были выше, чем ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Фото предоставлено МФО.

В общей теории представлений, если ( π , V ) является представлением алгебры Ли ${\mathfrak {g}},$ тогда существует связанное представление ${\mathfrak {g}},$ на End ( V ) , также обозначаемом π , заданном формулой

$$\pi (X)(A)=[\pi (X),A],\qquad A\in \operatorname {End} (V),\ X\in {\mathfrak {g}}.$$ ( Я1 )

Аналогично, представление (Π, V ) группы G дает представление Π на End( V ) группы G , все еще обозначаемое Π , заданное формулой

$$\Pi (g)(A)=\Pi (g)A\Pi (g)^{-1},\qquad A\in \operatorname {End} (V),\ g\in G.$$ ( Я2 )

Если π и Π — стандартные представления на $\mathbb {R} ^{4}$ и если действие ограничивается ${\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),$ тогда два приведенных выше представления являются присоединенным представлением алгебры Ли и присоединенным представлением группы соответственно. Соответствующие представления (некоторые $\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {C} ^{n}$) всегда существуют для любой матричной группы Ли и имеют первостепенное значение для исследования теории представлений вообще и для любой данной группы Ли в частности.

Применяя это к группе Лоренца, если (Π, V ) является проективным представлением, то прямой расчет с использованием (G5) показывает, что индуцированное представление на End( V ) является собственным представлением, т. е. представлением без фазовых множителей.

В квантовой механике это означает, что если ( π , H ) или (Π, H ) — представление, действующее в некотором гильбертовом пространстве , то соответствующее индуцированное представление действует на множестве линейных операторов в H. H Например, индуцированное представление проективного спина ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠ 1 / 2 ⁠ ) представление на End( H ) — это непроективный 4-вектор ( ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠ ) представление.

Для простоты рассмотрим только «дискретную часть» End( H ) , то есть, учитывая основу H , набор постоянных матриц различной размерности, включая, возможно, бесконечные размерности. Индуцированное 4-векторное представление, приведенное выше, на этом упрощенном End( H ) имеет инвариантное 4-мерное подпространство, которое натянуто четырьмя гамма-матрицами . (В связанной статье метрическое соглашение другое.) Соответственно, полная алгебра Клиффорда пространства-времени , ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),$ чья комплексификация ${\text{M}}(4,\mathbb {C} ),$ разлагается как прямая сумма пространств представления скалярного сгенерированный гамма-матрицами , неприводимого представления (irrep), (0, 0) , псевдоскалярного imrep, а также (0, 0) , но с собственным значением инверсии четности -1 , см. следующий раздел ниже, уже упомянутый вектор IRP, ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ ) , псевдовектор ирреп, ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ ) с собственным значением инверсии четности +1 (не −1) и тензорным иррепом, (1, 0) ⊕ (0, 1) . Сумма размеров равна 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 . Другими словами,

$${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )=(0,0)\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\oplus [(1,0)\oplus (0,1)]\oplus \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)_{p}\oplus (0,0)_{p},$$ ( я3 )

где, как обычно , представление путают со своим пространством представления.

( ​ ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) спиновое представление

Шестимерное пространство представления тензора (1, 0) ⊕ (0, 1) -представление внутри ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ имеет две роли.

$$\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right],$$ ( я4 )

где $\gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ являются гамма-матрицами, сигмы, только 6 из которых ненулевые из-за антисимметрии скобки, охватывают пространство тензорного представления. Более того, они имеют коммутационные соотношения алгебры Ли Лоренца:

$$\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \tau }\right]=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right),$$ ( я5 )

и, следовательно, представляют собой представление (в дополнение к охвату пространства представления), находящееся внутри ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),$ ( ​ ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1/2 ⁠ спиновое ) представление . Подробнее см. в биспиноре и алгебре Дирака .

Вывод состоит в том, что каждый элемент комплексифицированного ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ в End( H ) (т.е. каждая комплексная матрица 4 × 4 ) имеет четко определенные свойства преобразования Лоренца. Кроме того, он имеет спин-представление алгебры Ли Лоренца, которое при возведении в степень становится спиновым представлением группы, действующей на $\mathbb {C} ^{4},$ превращая его в пространство биспиноров.

Приводимые представления

Существует множество других представлений, которые можно вывести из неприводимых представлений, например, полученных путем взятия прямых сумм, тензорных произведений и частных неприводимых представлений. Другие методы получения представлений включают ограничение представления большей группы, содержащей группу Лоренца, например ${\text{GL}}(n,\mathbb {R} )$ и группа Пуанкаре. Эти представления, вообще говоря, не являются неприводимыми.

Группа Лоренца и ее алгебра Ли обладают свойством полной сводимости . Это означает, что каждое представление сводится к прямой сумме неприводимых представлений. Поэтому приводимые представления обсуждаться не будут.

Инверсия пространства и обращение времени

Представление (возможно, проективное) ( m , n ) неприводимо как представление SO(3; 1) ⁺ , единичный компонент группы Лоренца, в физической терминологии собственная ортохронная группа Лоренца. Если m = n, его можно расширить до представления всей O(3; 1) полной группы Лоренца, включая инверсию пространственной четности и обращение времени . Представления ( m , n ) ⊕ ( n , m ) могут быть расширены аналогичным образом.

Инверсия пространственной четности

Для обращения пространственной четности сопряженное действие Ad _P оператора P ∈ SO(3; 1) на ${\mathfrak {so}}(3;1)$ рассматривается, где P — стандартный представитель инверсии пространственной четности, P = Diag(1, −1, −1, −1) , определяемый формулой

$$\mathrm {Ad} _{P}(J_{i})=PJ_{i}P^{-1}=J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{P}(K_{i})=PK_{i}P^{-1}=-K_{i}.$$ ( Ф1 )

Именно эти свойства K и J при P мотивируют термины вектор для K и псевдовектор или аксиальный вектор для J . Аналогично, если π — любое представление ${\mathfrak {so}}(3;1)$ и Π — представление ассоциированной группы, то Π(SO(3; 1) ⁺ ) действует на представление π присоединенным действием, π ( X ) ↦ Π( g ) π ( X ) Π( g ) ⁻¹ для $X\in {\mathfrak {so}}(3;1),$ g ∈ SO(3; 1) ⁺ . Если P должен быть включен в Π , то согласованность с (F1) требует, чтобы

$$\Pi (P)\pi (B_{i})\Pi (P)^{-1}=\pi (A_{i})$$ ( Ф2 )

выполняется, где A и B определены, как в первом разделе. Это может иметь место только в том случае, если A _i и B _i имеют одинаковые размерности, т. е. только если m = n . Когда m ≠ n, тогда ( m , n ) ⊕ ( n , m ) можно расширить до неприводимого представления SO(3; 1) ⁺ , ортохронная группа Лоренца. Представитель изменения четности Π( P ) не входит автоматически в общую конструкцию представлений ( m , n ) . Его необходимо указать отдельно. Матрица β = i   γ ⁰ (или кратное модулю -1, умноженному на него) может использоваться в ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠ 1 / 2 ⁠ ) представительство.

Если четность включена со знаком минус ( 1×1 матрица [−1] ) в представление (0,0) , это называется псевдоскалярным представлением.

Обращение времени

Обращение времени T =diag(−1, 1, 1, 1) действует аналогично на ${\mathfrak {so}}(3;1)$ к

$$\mathrm {Ad} _{T}(J_{i})=TJ_{i}T^{-1}=-J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{T}(K_{i})=TK_{i}T^{-1}=K_{i}.$$ ( F3 )

Путем явного включения представителя для T , а также представителя для P представление полной группы Лоренца O(3; 1) , получается . Однако при применении к физике, в частности к квантовой механике, возникает тонкая проблема. При рассмотрении полной группы Пуанкаре еще четырех генераторов P ^м , в дополнение к J ^я и К ^я сгенерировать группу. Они интерпретируются как генераторы переводов. Временная составляющая P ⁰ гамильтониан H. — Оператор T удовлетворяет соотношению

$$\mathrm {Ad} _{T}(iH)=TiHT^{-1}=-iH$$ ( F4 )

по аналогии с приведенными выше отношениями с ${\mathfrak {so}}(3;1)$ заменена полной алгеброй Пуанкаре . Просто отменив i , результат THT ⁻¹ = − H означало бы, что для каждого состояния Ψ с положительной энергией E в гильбертовом пространстве квантовых состояний с инвариантностью относительно обращения времени существовало бы состояние Π( T ⁻¹ )Ψ с отрицательной энергией − E . Таких государств не существует. Поэтому оператор Π( T ) выбирается антилинейным и антиунитарным , так что он антикоммутирует с i , что приводит к THT ⁻¹ = H , и его действие на гильбертовом пространстве также становится антилинейным и антиунитарным. Его можно выразить как композицию комплексного сопряжения с умножением на унитарную матрицу. Это математически обоснованно, см. теорему Вигнера , но при очень строгих требованиях к терминологии Π не является представлением .

При построении теорий, таких как КЭД , которая инвариантна относительно пространственной четности и обращения времени, могут использоваться спиноры Дирака, в то время как теории, которые этого не делают, такие как электрослабое взаимодействие , должны быть сформулированы в терминах спиноров Вейля. Представление Дирака ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠ 1 / 2 ⁠ ) обычно включает в себя как пространственную четность, так и инверсию времени. Без инверсии пространственной четности это не неприводимое представление.

Третья дискретная симметрия, входящая в теорему CPT наряду с P и T , симметрия зарядового сопряжения C , не имеет прямого отношения к лоренц-инвариантности.

Действия над функциональными пространствами

Если V — векторное пространство функций конечного числа переменных n , то действие на скалярную функцию $f\in V$ данный

$$(\Pi (g)f)(x)=f\left(\Pi _{x}(g)^{-1}x\right),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},f\in V$$ ( Ч1 )

производит другую функцию Π f ∈ V . Здесь Πx _{— возможно ,} — n -мерное представление, а Π бесконечномерное представление. Особым случаем этой конструкции является случай, когда V — пространство функций, определенных на самой линейной группе G , рассматриваемое как n -мерное многообразие, вложенное в $\mathbb {R} ^{m^{2}}$ (где m — размерность матриц). Именно в этой ситуации теорема Петера-Вейля и теорема Бореля-Вейля формулируются . Первый демонстрирует существование разложения Фурье функций компактной группы на характеры конечномерных представлений. Последняя теорема, обеспечивающая более явные представления, использует унитарный прием для получения представлений комплексных некомпактных групп, например ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

Следующее иллюстрирует действие группы Лоренца и подгруппы вращения в некоторых функциональных пространствах.

Евклидовы вращения

Основные статьи: Группа вращения SO (3) § Сферические гармоники и Сферические гармоники.

Подгруппа SO(3) трехмерных евклидовых вращений имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве. $$L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},$$

где $Y_{m}^{l}$ являются сферическими гармониками . Произвольную интегрируемую с квадратом функцию f на единичной сфере можно выразить как

$$f(\theta ,\varphi )=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}Y_{m}^{l}(\theta ,\varphi ),$$ ( Н2 )

где f _lm — обобщенные коэффициенты Фурье .

Действие группы Лоренца ограничивается действием SO(3) и выражается как

$${\begin{aligned}(\Pi (R)f)(\theta (x),\varphi (x))&=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m,=-l}^{l}\sum _{m'=-l}^{l}D_{mm'}^{(l)}(R)f_{lm'}Y_{m}^{l}\left(\theta \left(R^{-1}x\right),\varphi \left(R^{-1}x\right)\right),\\[5pt]&R\in \mathrm {SO} (3),x\in \mathbb {S} ^{2},\end{aligned}}$$ ( Н4 )

где Д ^л получены из представителей нечетной размерности образующих вращения.

Группа Мёбиуса

Основные статьи: преобразование Мёбиуса и группа Лоренца § Связь с группой Мёбиуса

Единичная компонента группы Лоренца изоморфна группе Мёбиуса M . Эту группу можно рассматривать как конформные отображения либо комплексной плоскости , либо, посредством стереографической проекции , сферы Римана . Таким образом, саму группу Лоренца можно рассматривать как конформно действующую на комплексной плоскости или на сфере Римана.

На плоскости преобразование Мёбиуса, характеризующееся комплексными числами a , b , c , d, действует на плоскости согласно

$$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\qquad ad-bc\neq 0$$. ( М1 )

и могут быть представлены комплексными матрицами

$$\Pi _{f}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\},\operatorname {det} \Pi _{f}=1,$$ ( М2 )

поскольку умножение на ненулевой комплексный скаляр не меняет f . Это элементы ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ и единственны с точностью до знака (поскольку ±Π _f дают одно и то же f ), следовательно, ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.$

P-функции Римана

Основная статья: дифференциальное уравнение Римана

, P-функции Римана решения дифференциального уравнения Римана, являются примером набора функций, преобразующихся между собой под действием группы Лоренца. P-функции Римана выражаются как

$${\begin{aligned}w(z)&=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\\\alpha &\beta &\gamma &\;z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\}\\&=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\end{matrix}}\right\}\end{aligned}},$$ ( Т1 )

где a , b , c , α , β , γ , α’ , β’ , γ’ — комплексные константы. P-функция в правой части может быть выражена с помощью стандартных гипергеометрических функций . Связь

$$P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&a&0&\;z\\1-c&b&c-a-b&\end{matrix}}\right\}={}_{2}F_{1}(a,\,b;\,c;\,z).$$ ( Т2 )

Набор констант 0, ∞, 1 в верхней строке слева являются регулярными особыми точками Гаусса гипергеометрического уравнения . Его показатели , т.е. решения определяющего уравнения , для разложения вокруг особой точки 0 равны 0 и 1 - c , что соответствует двум линейно независимым решениям: а для расширения вокруг особой точки 1 они равны 0 и c − a − b . Аналогично, показатели степени для ∞ равны a и b для двух решений.

Таким образом,

$$w(z)=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }{}_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\,\alpha +\beta '+\gamma ;\,1+\alpha -\alpha ';\,{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\right),$$ ( Т3 )

где условие (иногда называемое тождеством Римана) $$\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1$$от показателей решений дифференциального уравнения Римана было использовано для определения γ ′ .

Первый набор констант в левой части (T1) , a , b , c обозначает регулярные особые точки дифференциального уравнения Римана. Второй набор, α , β , γ , являются соответствующими показателями при a , b , c для одного из двух линейно независимых решений и, соответственно, α′ , β′ , γ′ являются показателями при a , b , c для второе решение.

Определим действие группы Лоренца на множестве всех P-функций Римана, сначала полагая

$$u(\Lambda )(z)={\frac {Az+B}{Cz+D}},$$ ( Т4 )

где A , B , C , D — записи в

$$\lambda ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$$ ( Т5 )

для Λ = p ( λ ) ∈ SO(3; 1) ⁺ преобразование Лоренца.

Определять

$$[\Pi (\Lambda )P](z)=P[u(\Lambda )(z)],$$ ( Т6 )

где P — P-функция Римана. Полученная функция снова является P-функцией Римана. Эффект преобразования аргумента Мёбиуса заключается в смещении полюсов в новые места и, следовательно, в изменении критических точек, но нет никаких изменений в показателях дифференциального уравнения, которым удовлетворяет новая функция. Новая функция выражается как

$$[\Pi (\Lambda )P](u)=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\\\alpha &\beta &\gamma &\;u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\},$$ ( Т6 )

где

$$\eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}\quad {\text{ and }}\quad \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ and }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.$$ ( Т7 )

Бесконечномерные унитарные представления

История

Группа Лоренца SO(3; 1) ⁺ и его двойная обложка ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ также имеют бесконечномерные унитарные представления, независимо изученные Баргманном (1947) , Гельфандом и Наймарком (1947) и Хариш-Чандрой (1947) по инициативе Поля Дирака . Этот путь развития начался с Дирака (1936) , когда он разработал матрицы U и B, необходимые для описания более высокого спина (сравните матрицы Дирака ), развитые Фирцем (1939) , см. также Фирц и Паули (1939) , и предложил предшественников уравнения Баргмана -Вигнера . В Дираке (1945) он предложил конкретное бесконечномерное пространство представлений, элементы которого были названы расширителями как обобщение тензоров. Эти идеи были включены Харишом-Чандрой и расширены экспинорами как бесконечномерным обобщением спиноров в его статье 1947 года.

Формула Планшереля для этих групп впервые была получена Гельфандом и Наймарком путем сложных расчетов. Впоследствии лечение было значительно упрощено Хариш-Чандрой (1951) и Гельфандом и Граевым (1953) на основе аналога для ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ формулы интегрирования Германа Вейля для компактных групп Ли . Элементарные описания этого подхода можно найти у Рюля (1970) и Кнаппа (2001) .

Теория сферических функций группы Лоренца, необходимая для гармонического анализа гиперболоидной модели трехмерного гиперболического пространства, находящегося в пространстве Минковского, значительно проще, чем общая теория. Он включает в себя только представления из главной сферической серии и может рассматриваться непосредственно, поскольку в радиальных координатах лапласиан на гиперболоиде эквивалентен лапласиану на $\mathbb {R} .$ Эта теория обсуждается в Takahashi (1963) , Helgason (1968) , Helgason (2000) и посмертном тексте Jorgenson & Lang (2008) .

Основная серия для SL(2, C)

Главный ряд или унитарный главный ряд — это унитарные представления, индуцированные из одномерных представлений нижней треугольной подгруппы B группы. $G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ Поскольку одномерные представления B соответствуют представлениям диагональных матриц с ненулевыми комплексными элементами z и z ⁻¹ , они, таким образом, имеют вид $$\chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },$$для k целое число, ν вещественное и с z = re ^я . Представления неприводимы ; единственные повторения, т.е. изоморфизмы представлений, происходят, когда k заменяется на − k . По определению представления реализуются на L ² участки жгутов проводов на $G/B=\mathbb {S} ^{2},$ которая изоморфна сфере Римана . При k = 0 эти представления составляют так называемый сферический главный ряд .

Ограничение главной серии на максимальную компактную подгруппу K = SU(2) группы G также можно реализовать как индуцированное представление группы K с использованием отождествления G / B = K / T , где T = B ∩ K — максимальный тор в K, состоящую из диагональных матриц с | г | = 1 . Это представление, индуцированное из одномерного представления z ^к T и не зависит от ν . По взаимности Фробениуса на К они разлагаются в прямую сумму неприводимых представлений К с размерностями | к | + 2 m + 1 , где m — неотрицательное целое число.

Используя отождествление между сферой Римана минус точка и $\mathbb {C} ,$ главный ряд можно определить непосредственно на $L^{2}(\mathbb {C} )$ по формуле $$\pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).$$

Неприводимость можно проверить различными способами:

• Представление уже неприводимо на B . Это можно увидеть непосредственно, но это также частный случай общих результатов о неприводимости индуцированных представлений Франсуа Брюа и Джорджа Макки , основанных на разложении Брюа G = B ∪ BsB, где s — группы Вейля. элемент $${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$$.
• Действие алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ G , которая может может быть вычислена на алгебраической прямой сумме неприводимых подпространств K быть вычислена явно, и можно непосредственно проверить, что подпространство наименьшей размерности порождает эту прямую сумму как ${\mathfrak {g}}$-модуль.

Дополнительная серия для SL(2, C)

Для 0 < t < 2 дополнительный ряд определяется на $L^{2}(\mathbb {C} )$ для внутреннего продукта $$(f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)}}}{|z-w|^{2-t}}}\,dz\,dw,$$с действием, заданным $$\pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\left({az+b \over cz+d}\right).$$

Представления дополнительной серии неприводимы и попарно неизоморфны. Как представление K каждое из них изоморфно прямой сумме в гильбертовом пространстве всех нечетномерных неприводимых представлений K = SU(2) . Неприводимость можно доказать, анализируя действие ${\mathfrak {g}}$ об алгебраической сумме этих подпространств или напрямую, без использования алгебры Ли.

Теорема Планшереля для SL(2, C)

Единственные неприводимые унитарные представления ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ являются основной серией, дополнительной серией и тривиальным представлением.Поскольку − I действует как (−1) ^к в главной серии и, тривиально, в остатке, они дадут все неприводимые унитарные представления группы Лоренца, при условии, что k считается четным.

Чтобы разложить левое регулярное представление группы G на $L^{2}(G)$ требуются только основные серии. Это немедленно дает разложение по подпредставлениям $L^{2}(G/\{\pm I\}),$ левое регулярное представление группы Лоренца и $L^{2}(G/K),$ регулярное представление в трехмерном гиперболическом пространстве. (Первый вариант включает в себя только представления главных серий с четным k , а второй - только представления с k = 0. )

Левое и правое регулярное представление λ и ρ определены на $L^{2}(G)$ к $${\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)&=f(xg)\end{aligned}}$$

если f является элементом Cc _{Теперь ,} ( G ) , оператор $\pi _{\nu ,k}(f)$ определяется $$\pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg$$это Гильберт-Шмидт . Определим гильбертово пространство H формулой $$H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)\otimes L^{2}\left(\mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \right),$$где $$c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}$$и ${\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)$ обозначает гильбертово пространство операторов Гильберта–Шмидта на $L^{2}(\mathbb {C} ).$ Тогда отображение U, определенное на Cc _, ( G ) равенством $$U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)$$простирается до унитарного $L^{2}(G)$ на Х. ​

Отображение U удовлетворяет свойству переплетения $$U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k}(f)\pi _{\nu ,k}(y).$$

Если f1 _, то f2 ₎ находятся в ( _G , Cc по унитарности $$(f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .$$

Таким образом, если $f=f_{1}*f_{2}^{*}$ обозначает свертку ​ $f_{1}$ и $f_{2}^{*},$ и $f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1})}},$ затем $$f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f)\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .$$

Последние две отображаемые формулы обычно называются формулой Планшереля и формулой обращения Фурье соответственно.

Формула Планшереля распространяется на все $f_{i}\in L^{2}(G).$ По теореме Жака Диксмье и Поля Мальявена каждая гладкая функция с компактным носителем на $G$ является конечной суммой сверток подобных функций, для такого f справедлива формула обращения . Его можно распространить на гораздо более широкие классы функций, удовлетворяющих мягким условиям дифференцируемости.

Классификация представлений SO(3, 1)

Стратегия, которой придерживаются при классификации неприводимых бесконечномерных представлений, состоит, по аналогии с конечномерным случаем, в предположении, что они существуют, и в исследовании их свойств. Итак, предположим сначала, что неприводимое сильно непрерывное бесконечномерное представление Π _H в гильбертовом пространстве H группы SO(3; 1) ⁺ есть под рукой. Поскольку SO(3) — подгруппа, Π _H также является ее представлением. Каждое неприводимое подпредставление SO(3) конечномерно, а представление SO(3) сводится к прямой сумме неприводимых конечномерных унитарных представлений SO(3), если Π _H унитарно.

Шаги следующие:

1. Выберите подходящий базис общих собственных векторов J ² и J ₃ .
2. Вычислите матричные элементы J ₁ , J ₂ , J ₃ и K ₁ , K ₂ , K ₃ .
3. Обеспечьте соблюдение коммутационных соотношений алгебры Ли.
4. Требуйте унитарности вместе с ортонормированностью базиса.

Шаг 1

Один из подходящих вариантов основы и маркировки дается формулой $$\left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .$$

Если бы это было представление , то j ₀ соответствовало бы наименьшему собственному значению j ( j + 1) J. конечномерное ² в представлении, равном | м - п | , а j ₁ будет соответствовать наибольшему встречающемуся собственному значению, равному m + n . В бесконечномерном случае j ₀ ≥ 0 сохраняет этот смысл, а j ₁ — нет. Для простоты предполагается, что данный j встречается в данном представлении не более одного раза (это относится к конечномерным представлениям), и это можно показать что этого предположения можно избежать (с помощью несколько более сложных вычислений) с теми же результатами.

Шаг 2

Следующим шагом является вычисление матричных элементов операторов J ₁ , J ₂ , J ₃ и K ₁ , K ₂ , K _{3 ,} составляющих базис алгебры Ли ${\mathfrak {so}}(3;1).$ Матричные элементы $J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2}$ и $J_{3}$ ( подразумевается комплексифицированная алгебра Ли) известны из теории представлений группы вращений и имеют вид $${\begin{aligned}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle =\left\langle j\,m-1\right|J_{-}\left|j\,m\right\rangle &={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j\,m\right|J_{3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{aligned}}$$где метки j ₀ и j ₁ опущены, поскольку они одинаковы для всех базисных векторов в представлении.

Благодаря коммутационным соотношениям $$[J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},$$ тройка ( K ₁ , K ₂ , K ₃ ) ≡ K является векторным оператором и теорема Вигнера – Эккарта применяется для вычисления матричных элементов между состояниями, представленными выбранным базисом. Матричные элементы $${\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{aligned}}$$

где верхний индекс (1) означает, что определяемые величины являются компонентами сферического тензорного оператора ранга k = 1 объясняет множитель √ 2 (что также ), а индексы 0, ±1 обозначаются q в формулах ниже: даны $${\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\\\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{aligned}}$$

Здесь первые множители в правых частях — это коэффициенты Клебша–Гордана для связи j ′ с k для получения j . Вторым фактором являются уменьшенные элементы матрицы . Они не зависят от m , m’ или q зависят от j , j’ и, конечно же, K. , но Полный список неисчезающих уравнений см. в Harish-Chandra (1947 , стр. 375).

Шаг 3

Следующий шаг — потребовать выполнения соотношений алгебры Ли, т. е. чтобы $$[K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.$$

Это приводит к системе уравнений для которых есть решения $${\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}}{\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j}\xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}},\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{aligned}}$$где $$B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{and}}\quad j_{1},\xi _{j}\in \mathbb {C} .$$

Шаг 4

Наложение требования унитарности соответствующего представления группы ограничивает возможные значения произвольных комплексных чисел j ₀ и ξ _j . Унитарность представления группы приводит к требованию, чтобы представители алгебры Ли были эрмитовыми, что означает $$K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.$$

Это переводится как $${\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-{\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\end{aligned}}$$ведущий к $${\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right|\left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}$$где β _j — угол B _j в полярной форме. Для | Б _Дж | ≠ 0 следует $\left|\xi _{j}\right|^{2}=1$ и $\xi _{j}=1$ выбирается по соглашению. Возможны два случая:

• ${\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}$ В этом случае j ₁ = − iν , ν вещественный, $$\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)}}\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j^{2}-1}}}$$ Это основная серия . Его элементы обозначаются $(j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .$
• ${\underline {j_{0}=0.}}$ Отсюда следует: $$\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle =0\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1}}}$$ Поскольку B ₀ = B _{j 0} , B ²
  _j веществен и положителен для j = 1, 2, ... , что приводит к −1 ≤ ν ≤ 1 . Это дополнительная серия . Его элементы обозначаются (0, ν ), −1 ≤ ν ≤ 1.

приведенные выше представления являются Это показывает, что все бесконечномерными неприводимыми унитарными представлениями.

Явные формулы

Соглашения и основы алгебры Ли

Выбранная метрика задается формулой η =diag(−1, 1, 1, 1) и используется физическое соглашение для алгебр Ли и экспоненциальное отображение. Этот выбор произволен, но как только он сделан, он фиксируется. Один из возможных вариантов базиса алгебры Ли в 4-векторном представлении определяется следующим образом: $${\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}},&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}},&K_{2}=J^{02}=-J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=-J^{30}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\\[8pt]\end{aligned}}$$

Коммутационные соотношения алгебры Ли ${\mathfrak {so}}(3;1)$ являются: $$\left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \sigma }\right).$$

В трехмерной записи это $$\left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.$$

Вышеуказанный выбор базиса удовлетворяет соотношениям, но возможны и другие варианты. Следует обратить внимание на многократное использование символа J выше и далее.

Например, типичное повышение и типичное вращение возводятся в степень как: $$\exp(-i\xi K_{1})={\begin{pmatrix}\cosh \xi &\sinh \xi &0&0\\\sinh \xi &\cosh \xi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \exp(-i\theta J_{1})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},$$симметричны и ортогональны соответственно.

Спиноры и биспиноры Вейля

Решения уравнения Дирака преобразуются под действием ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1/2 ​ ⁠ ) -представление . Дирак открыл гамма-матрицы в поисках релятивистски-инвариантного уравнения, уже тогда известного математикам.

Взяв в свою очередь m = ⁠ 1/2 = ⁠ = , n 0 и m = 0 n , ⁠ 1/2 ​ ⁠ и установив $$J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}$$в общем выражении (G1) и используя тривиальные соотношения 1 ₁ = 1 и J ⁽⁰⁾ = 0 , отсюда следует

$${\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}+1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}\right)={\frac {1}{2}}\sigma _{i}\\\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)}(K_{i})&={\frac {-i}{2}}\left(1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}-\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}\right)={\frac {i}{2}}\sigma _{i}\\[6pt]\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2}}\left(J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}+1_{(1)}\otimes \sigma _{i}\right)={\frac {1}{2}}\sigma _{i}\\\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(K_{i})&={\frac {-i}{2}}\left(1_{(1)}\otimes \sigma _{i}-J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}\right)={\frac {-i}{2}}\sigma _{i}\end{aligned}}$$ ( П1 )

Это левые и правые спинорные представления Вейля. Они действуют путем умножения матриц на двумерных комплексных векторных пространствах (с выбором базиса) V _L и V _R , элементы которых Ψ _L и Ψ _R называются левыми и правыми спинорами Вейля соответственно. Данный $$\left(\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)},V_{\text{L}}\right)\quad {\text{and}}\quad \left(\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)$$образуется их прямая сумма в виде представлений,

$${\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\left(J_{i}\right)&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix}}\\[8pt]\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\left(K_{i}\right)&={\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$ ( Д1 )

Это с точностью до преобразования подобия ( ⁠ 1 / 2 ⁠ ,0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) Дирака Спинорное представление ${\mathfrak {so}}(3;1).$ Он действует на 4-компонентные элементы Ψ _L , Ψ _R ) из ( V _L ⊕ VR ₎ ( , называемые биспинорами , путем умножения матриц. Представление можно получить более общим и базисно-независимым способом, используя алгебры Клиффорда . Все эти выражения для биспиноров и спиноров Вейля распространяются в силу линейности алгебр и представлений Ли на все ${\mathfrak {so}}(3;1).$ Выражения для представлений групп получаются возведением в степень.

Открытые проблемы

Классификация и характеристика теории представлений группы Лоренца были завершены в 1947 году. Но в связи с программой Баргмана-Вигнера еще остаются нерешенные чисто математические проблемы, связанные с бесконечномерными унитарными представлениями.

Неприводимые бесконечномерные унитарные представления могут иметь косвенное отношение к физической реальности в спекулятивных современных теориях, поскольку (обобщенная) группа Лоренца появляется как небольшая группа группы Пуанкаре пространственноподобных векторов в более высоком измерении пространства-времени. Соответствующие бесконечномерные унитарные представления (обобщенной) группы Пуанкаре представляют собой так называемые тахионные представления . Тахионы появляются в спектре бозонных струн и связаны с нестабильностью вакуума. Несмотря на то, что тахионы не могут быть реализованы в природе, эти представления должны быть математически поняты , чтобы понять теорию струн. Это так, поскольку тахионные состояния появляются и в теориях суперструн при попытках создать реалистичные модели.

Одной из открытых проблем является завершение программы Баргмана–Вигнера для группы изометрий SO( D − 2, 1) пространства-времени де Ситтера dS _{D −2} . В идеале физические компоненты волновых функций должны были бы реализовываться на гиперболоиде dS _{D −2} радиуса µ > 0, вложенном в $\mathbb {R} ^{D-2,1}$ и соответствующие O( D −2, 1) ковариантные волновые уравнения бесконечномерного унитарного представления, которые необходимо знать.

См. также

• Уравнения Баргмана – Вигнера.
• Алгебра Дирака
• Гамма-матрицы
• группа Лоренца
• Преобразование Мёбиуса
• Группа Пуанкаре
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Симметрия в квантовой механике
• Классификация Вигнера

Свободно доступные онлайн-ссылки

• Бекарт, X.; Буланже, Н. (2006). «Унитарные представления группы Пуанкаре в любом измерении пространства-времени». arXiv : hep-th/0611263 . Расширенная версия лекций, прочитанных на второй летней школе Modave по математической физике (Бельгия, август 2006 г.).
• Куртрайт, ТЛ ; Фэрли, Д.Б. ; Зачос, К.К. (2014), «Компактная формула для вращений как полиномов спиновой матрицы», SIGMA , 10 : 084, arXiv : 1402.3541 , Bibcode : 2014SIGMA..10..084C , doi : 10.3842/SIGMA.2014.084 , S2CID   187769 42 Группа элементы SU(2) выражаются в замкнутой форме как конечные полиномы генераторов алгебры Ли для всех определенных спиновых представлений группы вращений.

Ссылки

• Абрамовиц, М .; Стегун, Айова (1965). Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами . Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  978-0486612720 .
• Баргманн, В. (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца», Ann. математики. , 48 (3): 568–640, doi : 10.2307/1969129 , JSTOR   1969129 (теория представлений SO(2,1) и SL(2, R ); вторая часть о SO(3; 1) и SL( 2, В ), описанный во введении, никогда не публиковался).
• Баргманн, В.; Вигнер, Е.П. (1948), "Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений", Proc. Натл. акад. наук. США , 34 (5): 211–23, Bibcode : 1948PNAS...34..211B , doi : 10.1073/pnas.34.5.211 , PMC   1079095 , PMID   16578292
• Бурбаки, Н. (1998). Группы Ли и алгебры Ли: Главы 1–3 . Спрингер. ISBN  978-3-540-64242-8 .
• Брауэр, Р .; Вейль, Х. (1935), «Спиноры в n измерениях», Amer. Дж. Математика. , 57 (2): 425–449, номер документа : 10.2307/2371218 , JSTOR   2371218.
• Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А. (1990). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 1. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-88776-4 .
• Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А.; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 7. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82836-1 – через ScienceDirect .
• Картан, Эли (1913), “Проективные группы, которые не оставляют инвариантной кратности любой плоскости”, Bull. Соц. Математика. 41 (на французском языке), : 53–96, doi : 10.24033/bsmf.916.
• Черчилль, Р.В. ; Браун, JW (2014) [1948]. Комплексные переменные и приложения (9-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  978-0073-383-170 .
• Коулман, Эй Джей (1989). «Величайшая математическая статья всех времен». Математический интеллект . 11 (3): 29–38. дои : 10.1007/BF03025189 . ISSN   0343-6993 . S2CID   35487310 .
• Далитц, Р.Х.; Пайерлс, Рудольф (1986). «Поль Адриен Морис Дирак. 8 августа 1902 г. – 20 октября 1984 г.» . Биогр. Память Стипендиаты Р. Сок . 32 : 138–185. дои : 10.1098/rsbm.1986.0006 . S2CID   74547263 .
• Дельбурго, Р. ; Салам, А. ; Стратди, Дж. (1967). «Гармонический анализ в терминах однородной группы Лоренца». Буквы по физике Б. 25 (3): 230–32. Бибкод : 1967PhLB...25..230D . дои : 10.1016/0370-2693(67)90050-0 .
• Дирак, ПАМ (1928), «Квантовая теория электрона», Proc. Р. Сок. А , 117 (778): 610–624, Бибкод : 1928RSPSA.117..610D , doi : 10.1098/rspa.1928.0023 (доступ свободный)
• Дирак, ПАМ (1936), «Релятивистские волновые уравнения», Proc. Р. Сок. А , 155 (886): 447–459, Бибкод : 1936RSPSA.155..447D , doi : 10.1098/rspa.1936.0111
• Дирак, ПАМ (1945), «Унитарные представления группы Лоренца», Proc. Р. Сок. A , 183 (994): 284–295, Bibcode : 1945RSPSA.183..284D , doi : 10.1098/rspa.1945.0003 , S2CID   202575171
• Диксмье, Дж .; Маллявин, П. (1978), “Факторизация неопределенно дифференцируемых функций и векторов”, Bull. наук. Математика. (на французском языке), 102 : 305–330.
• Фирц, М. (1939), «О релятивистской теории бессиловых частиц с произвольным спином», Helv Phys. Acta (на немецком языке), 12 (1): 3–37, Bibcode : 1939AcHPh..12....3F , doi : 10.5169/seals-110930 (доступна загрузка в формате PDF) {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Фирц, М .; Паули, В. (1939), «О релятивистских волновых уравнениях для частиц произвольного спина в электромагнитном поле», Proc. Р. Сок. А , 173 (953): 211–232, Бибкод : 1939RSPSA.173..211F , doi : 10.1098/rspa.1939.0140
• Фолланд, Г. (2015). Курс абстрактного гармонического анализа (2-е изд.). ЦРК Пресс . ISBN  978-1498727136 .
• Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 .
• Гельфанд, ИМ; Граев М. И. (1953), "Об общем методе разложения регулярного представления группы Ли на неприводимые представления", Доклады АН СССР , 92 : 221–224.
• Гельфанд, ИМ; Граев, М.И.; Виленкин, Н.Я. (1966), «Гармонический анализ группы комплексных унимодулярных матриц в двух измерениях», Обобщенные функции. Том. 5: Интегральная геометрия и теория представлений , перевод Юджина Салетана, Academic Press, стр. 202–267, ISBN.  978-1-4832-2975-1
• Гельфанд, ИМ; Граев, М.И.; Пятецкий-Шапиро, И.И. (1969), Теория представлений и автоморфные функции , Academic Press, ISBN  978-0-12-279506-0
• Гельфанд, ИМ ; Минлос, РА ; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения , Нью-Йорк: Pergamon Press.
• Гельфанд, ИМ ; Наймарк, М.А. (1947), "Унитарные представления группы Лоренца" (PDF) , Известия Акад. Наук СССР. Сер. Мат. (на русском языке), 11 (5): 411–504 , получено 15 декабря 2014 г. (PDF с сайта Math.net.ru) {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Грин, Дж. А. (1998). «Ричард Дагоберт Брауэр» (PDF) . Биографические мемуары . Том. 75. Национальная Академия Пресс. стр. 70–95. ISBN  978-0309062954 .
• Грейнер, В.; Мюллер, Б. (1994). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3540580805 .
• Грейнер, В .; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer, ISBN  978-3-540-59179-5
• Хариш-Чандра (1947), «Бесконечные неприводимые представления группы Лоренца», Proc. Р. Сок. A , 189 (1018): 372–401, Bibcode : 1947RSPSA.189..372H , doi : 10.1098/rspa.1947.0047 , S2CID   124917518
• Хариш-Чандра (1951), «Формула Планшереля для комплексных полупростых групп Ли», Proc. Натл. акад. наук. США , 37 (12): 813–818, Bibcode : 1951PNAS...37..813H , doi : 10.1073/pnas.37.12.813 , PMC   1063477 , PMID   16589034
• Холл, Брайан К. (2003), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (1-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-40122-5
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Springer, номер документа : 10.1007/978-3-319-13467-3 , ISBN.  978-3319134666 , ISSN   0072-5285
• Хельгасон, С. (1968), Группы Ли и симметрические пространства , Battelle Rencontres, Бенджамин, стр. 1–71 (общее введение для физиков)
• Хелгасон, С. (2000), Группы и геометрический анализ. Интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции (исправленное переиздание оригинала 1984 года) , Математические обзоры и монографии, том. 83, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-2673-7
• Йоргенсон, Дж.; Ланг, С. (2008), Тепловое ядро ​​и тета-инверсия на SL(2, C ) , Монографии Springer по математике, Springer, ISBN  978-0-387-38031-5
• Киллинг, Вильгельм (1888), «Состав групп непрерывных/конечных преобразований» , Mathematical Annals (на немецком языке), 31 (2 (июнь)): 252–290, doi : 10.1007/bf01211904 , S2CID   120501356
• Кириллов, А. (2008). Введение в группы Ли и алгебры Ли . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 113. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521889698 .
• Клаудер, младший (1999). «Валентина Баргманн» (PDF) . Биографические мемуары . Том. 76. Национальная Академия Пресс. стр. 37–50. ISBN  978-0-309-06434-7 .
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах. , Принстонские достопримечательности в области математики, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-09089-4 (элементарное рассмотрение SL(2, C ))
• Ленглендс, Р.П. (1985). «Хариш-Чандра» . Биогр. Память Стипендиаты Р. Сок . 31 : 198–225. дои : 10.1098/rsbm.1985.0008 . S2CID   61332822 .
• Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Тексты для выпускников Springer по математике, том. 218, ISBN  978-0-387-95448-6
• Ли, Софус (1888 г.), Теория групп преобразований I (1888 г.), II (1890 г.), III (1893 г.) (на немецком языке)
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип. С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0
• Наймарк, Массачусетс (1964), Линейные представления группы Лоренца (перевод с русского оригинала Энн Суинфен и О.Дж. Марстранда) , Макмиллан
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0-19-859683-9
• Рюль, В. (1970), Группа Лоренца и гармонический анализ , Бенджамин (подробный отчет для физиков)
• Симмонс, Г. Ф. (1972). Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями (изд. TMH). Нью-Дели: Tata McGra – Hill Publishing Company Ltd. ISBN  978-0-07-099572-7 .
• Штейн, Элиас М. (1970), «Аналитическое продолжение представлений групп», Advances in Mathematics , 4 (2): 172–207, doi : 10.1016/0001-8708(70)90022-8 (Лекции Джеймса К. Уитмора в Математика преподавалась в Йельском университете, 1967 г.)
• Такахаши, Р. (1963), “Об унитарных представлениях обобщенных групп Лоренца”, Bull. Соц. Математика. Франция (на французском языке), 91 : 289–433, doi : 10.24033/bsmf.1598.
• Тейлор, М.Э. (1986), Некоммутативный гармонический анализ , Математические обзоры и монографии, том. 22, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-1523-6 , Глава 9, SL(2, C ) и более общие группы Лоренца
• Тунг, Ву-Ки (1985). Теория групп в физике (1-е изд.). Нью-Джерси·Лондон·Сингапур·Гонконг: World Scientific . ISBN  978-9971966577 .
• Варадараджан, В.С. (1989). Введение в гармонический анализ полупростых групп Ли . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0521663625 .
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, том. 1, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-55001-7
• Вайнберг, С. (2000). Суперсимметрия . Квантовая теория полей. Том. 3 (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521670555 .
• Вейль, Х. (1939), Классические группы. Их инварианты и представления , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-05756-9 , МР   0000255
• Вейль, Х. (1931), Теория групп и квантовая механика , Дувр, ISBN  978-0-486-60269-1
• Вигнер, EP (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Бибкод : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307/1968551 , JSTOR   1968551 , МР   1503456 , S2CID   121773411 .
• Цвибах, Б. (2004). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83143-1 .