Метод Фробениуса

В математике метод Фробениуса , названный в честь Фердинанда Георга Фробениуса , — это способ найти решение бесконечной серии для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка вида $z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0$ с ${\textstyle u'\equiv {\frac {du}{dz}}}$ и ${\textstyle u''\equiv {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}}$ .

в окрестности регулярной особой точки $z=0$ .

Можно разделить на $z^{2}$ чтобы получить дифференциальное уравнение вида $u''+{\frac {p(z)}{z}}u'+{\frac {q(z)}{z^{2}}}u=0$ который не будет решен методами регулярных степенных рядов , если либо $p (z)/ z,$ либо $q (z)/ z 2$ не является аналитическим при $z = 0$ . Метод Фробениуса позволяет создать решение такого дифференциального уравнения в виде степенного ряда при условии, что p ( z ) и q ( z ) сами аналитичны в точке 0 или, будучи аналитическими в другом месте, оба их предела в точке 0 существуют (и конечны) .

История: Фактический вклад Фробениуса

Вклад Фробениуса ^[1] было не так уж много во всех возможных формах рассматриваемых серийных решений (см. ниже). Все эти формы были установлены ранее, ^[2] по Фуксу. ^[3]^[4] Индициальный полином (см. ниже) и его роль также были установлены Фуксом. ^[2]

Первым вкладом Фробениуса в теорию было показать, что - что касается первого линейно независимого решения, которое затем имеет форму аналитического степенного ряда, умноженного на произвольную степень r независимой переменной (см. ниже) - коэффициенты обобщенные степенные ряды подчиняются рекуррентному соотношению , поэтому их всегда можно напрямую вычислить.

Второй вклад Фробениуса заключался в том, чтобы показать, что в случаях, когда корни определяющего уравнения различаются на целое число, общий вид второго линейно независимого решения (см. Ниже) может быть получен с помощью процедуры, основанной на дифференцировании ^[5] относительно параметра r , упомянутого выше.

Большая часть публикации Фробениуса 1873 года. ^[1] была посвящена доказательству сходимости всех рядов, входящих в решения, а также установлению радиусов сходимости этих рядов.

Объяснение метода Фробениуса: первое, линейно независимое решение.

Метод Фробениуса заключается в поиске решения степенного ряда вида $u(z)=z^{r}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k},\qquad (A_{0}\neq 0)$

Дифференциация: $u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}$ $u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}$

Подставив приведенное выше дифференцирование в исходное ОДУ: ${\begin{aligned}&z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}]\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\\={}&\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}=0\end{aligned}}$

Выражение $r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)$ известен как определяющий полином , который является квадратичным по r . Общее определение определяющего многочлена — это коэффициент наименьшей степени z в бесконечной серии. В этом случае оказывается, что это r -й коэффициент, но возможно, что наименьший показатель степени будет равен r - 2, r - 1 или чему-то еще в зависимости от данного дифференциального уравнения. Эту деталь важно иметь в виду. В процессе синхронизации всех рядов дифференциального уравнения, чтобы они начинались с одного и того же значения индекса (которое в приведенном выше выражении равно k = 1), можно получить сложные выражения. Однако при поиске индициальных корней внимание сосредоточено только на коэффициенте наименьшей степени z .

Используя это, общее выражение коэффициента $z к + р$ является $I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j},$

Эти коэффициенты должны быть равны нулю, так как они должны быть решениями дифференциального уравнения, поэтому

${\begin{aligned}I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=0\\[4pt]\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=-I(k+r)A_{k}\\[4pt]{1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=A_{k}\end{aligned}}$

Решение ряда с $A k$ выше, $U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$ удовлетворяет $z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}$

Если мы выберем один из корней определяющего полинома для r в $U r (z)$ , мы получим решение дифференциального уравнения. Если разность корней не является целым числом, мы получаем другое, линейно независимое решение в другом корне.

Пример

Давайте решим $z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0$

Разделите все на z ² дать $f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0$ которое имеет необходимую особенность при z = 0.

Используйте серийное решение ${\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\f'&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}\\f''&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}\end{aligned}}$

Теперь, заменив ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k-1+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left(r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}$

Из $(г - 1) 2 = 0$ получаем двойной корень из 1. Используя этот корень, мы устанавливаем коэффициент при $z к + р - 2$ быть нулем (чтобы это было решение), что дает нам: $(k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0$ следовательно, мы имеем рекуррентное соотношение: $A_{k}={\frac {A_{k-1}}{k^{2}}}$

При некоторых начальных условиях мы можем либо полностью решить рекуррентную задачу, либо получить решение в виде степенного ряда.

Поскольку соотношение коэффициентов $A_{k}/A_{k-1}$ — рациональная функция , степенной ряд можно записать в виде обобщенного гипергеометрического ряда .

«Исключительные случаи»: корни, разделенные целым числом

В предыдущем примере использовался определяющий многочлен с повторяющимся корнем, который дает только одно решение данного дифференциального уравнения. В общем, метод Фробениуса дает два независимых решения при условии, что корни определяющего уравнения не разделены целым числом (включая ноль).

Если корень повторяется или корни отличаются на целое число, то второе решение можно найти с помощью: $y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}x^{k+r_{2}}$ где $y_{1}(x)$ — первое решение (на основе большего корня в случае неравных корней), $r_{2}$ — меньший корень, константа $C$ и коэффициенты $B_{k}$ предстоит определить. Один раз $B_{0}$ выбирается (например, установив для него значение 1), затем $C$ и $B_{k}$ определяются до, но не включая $B_{r_{1}-r_{2}}$ , который может быть установлен произвольно. Это затем определяет остальную часть $B_{k}.$ В некоторых случаях константа $C$ должна быть равна нулю.

Пример : рассмотрим следующее дифференциальное уравнение ( уравнение Куммера с $a = 1$ и $b = 2$ ): $zu''+(2-z)u'-u=0$ Корнями основного уравнения являются −1 и 0. Два независимых решения: $1/z$ и $e^{z}/z,$ Итак, мы видим, что логарифм не появляется ни в одном решении. Решение $(e^{z}-1)/z$ имеет степенной ряд, начинающийся с нуля степени. В степенном ряду, начинающемся с $z^{-1}$ рекуррентное соотношение не накладывает ограничений на коэффициент для термина $z^{0},$ который может быть установлен произвольно. Если он установлен равным нулю, то в этом дифференциальном уравнении все остальные коэффициенты будут равны нулю, и мы получим решение $1/ z$ .

Тандемные рекуррентные соотношения для коэффициентов рядов в исключительных случаях

В случаях, когда корни определяющего многочлена отличаются на целое число (в том числе и на ноль), коэффициенты всех рядов, входящих во вторые линейно независимые решения, можно вычислить непосредственно из тандемных рекуррентных соотношений . ^[5] Эти тандемные отношения могут быть построены путем дальнейшего развития оригинального изобретения Фробениуса о дифференцировании по параметру r и использования этого подхода для фактического расчета коэффициентов ряда во всех случаях. ^[5]

См. также

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Метод Фробениуса» . Математический мир .
Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 . (Проектная версия доступна на сайте https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ ). Глава 4 содержит полный метод, включая доказательства.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Фробениус, Фердинанд Георг (1968) [Первоначально в Журнале чистой и прикладной математики 76, 214–235 (1873)]. «Об интегрировании линейных дифференциальных уравнений рядами». Сборник трактатов (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. стр. 84–105.
^ Перейти обратно: ^а ^б Грей, Джереми (1986). Линейные дифференциальные уравнения и теория групп от Римана до Пуанкаре . Бостон: Биркхаузер. ISBN 0-8176-3318-9 .
^ Фукс, Лазарь Иммануил (1865). «К теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами». Сборник математических сочинений Л. Фукса (на немецком языке). Библиотека Мичиганского университета.
^ Фукс, Лазарь Иммануил (1866). «К теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами». Журнал чистой и прикладной математики . 66 : 159-204.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ван дер Торн, Рамзес (27 декабря 2022 г.). «Тандемные рекуррентные соотношения для коэффициентов решений логарифмического ряда Фробениуса относительно регулярных особых точек» . Аксиомы . 12 (1): 32. doi : 10.3390/axioms12010032 . ISSN 2075-1680 .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Фробениус, Фердинанд Георг (1968) [Первоначально в Журнале чистой и прикладной математики 76, 214–235 (1873)]. «Об интегрировании линейных дифференциальных уравнений рядами». Сборник трактатов (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. стр. 84–105.

[:1-2] Перейти обратно: ^а ^б Грей, Джереми (1986). Линейные дифференциальные уравнения и теория групп от Римана до Пуанкаре . Бостон: Биркхаузер. ISBN 0-8176-3318-9 .

[3] Фукс, Лазарь Иммануил (1865). «К теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами». Сборник математических сочинений Л. Фукса (на немецком языке). Библиотека Мичиганского университета.

[4] Фукс, Лазарь Иммануил (1866). «К теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами». Журнал чистой и прикладной математики . 66 : 159-204.

[:2-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ван дер Торн, Рамзес (27 декабря 2022 г.). «Тандемные рекуррентные соотношения для коэффициентов решений логарифмического ряда Фробениуса относительно регулярных особых точек» . Аксиомы . 12 (1): 32. doi : 10.3390/axioms12010032 . ISSN 2075-1680 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]