Волокнистый коллектор

В дифференциальной геометрии , в категории дифференцируемых многообразий , расслоенное многообразие является сюръективной субмерсией.

$$\pi :E\to B\,$$

то есть сюръективное дифференцируемое отображение такое, что в каждой точке $y\in U$ касательное отображение

$$T_{y}\pi :T_{y}E\to T_{\pi (y)}B$$

является сюръективным или, что то же самое, его ранг равен $\dim B.$

История

В топологии слова «волокно» ( Faser по-немецки) и «расслоенное пространство » ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зейферта в 1932 году , но его определения ограничиваются весьма частным случаем. Однако главное отличие от современной концепции расслоенного пространства заключалось в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) расслоенного (топологического) пространства, $E$ не была частью структуры, а производилась от нее как факторпространство $E.$ Первое определение расслоенного пространства дано Хасслером Уитни в 1935 году под названием « пространство сферы» , но в 1940 году Уитни изменил название на «расслоение сфер» .

Теория расслоенных пространств, частным случаем которой являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия, приписывают Зейферту , Хопфу , Фельдбау , Уитни , Стинроду , Эресману , Серру и другим.

Формальное определение

тройка $(E,\pi ,B)$ где $E$ и $B$ являются дифференцируемыми многообразиями и $\pi :E\to B$ является сюръективной субмерсией, называется расслоенным многообразием . $E$ называется полным пространством , $B$ называется базой .

Примеры

• Каждое дифференцируемое расслоение является расслоенным многообразием .
• Каждое дифференцируемое накрытие представляет собой расслоенное многообразие с дискретным слоем.
• В общем, расслоенное многообразие не обязательно должно быть пучком волокон: разные волокна могут иметь разную топологию. Пример этого явления можно построить, взяв тривиальное расслоение $\left(S^{1}\times \mathbb {R} ,\pi _{1},S^{1}\right)$ и удаление двух точек в двух разных слоях базового многообразия $S^{1}.$ В результате получается новое расслоенное многообразие, в котором все волокна, кроме двух, соединены.

Свойства

• Любое сюръективное погружение $\pi :E\to B$ открыт: за каждое открытое $V\subseteq E,$ набор $\pi (V)\subseteq B$ открыт в $B.$
• Каждое волокно $\pi ^{-1}(b)\subseteq E,b\in B$ является замкнутым вложенным подмногообразием $E$ размера $\dim E-\dim B.$
• Расслоенное многообразие допускает локальные сечения: для каждого $y\in E$ есть открытый район $U$ из $\pi (y)$ в $B$ и гладкое отображение $s:U\to E$ с $\pi \circ s=\operatorname {Id} _{U}$ и $s(\pi (y))=y.$
• Сюръекция $\pi :E\to B$ является расслоенным многообразием тогда и только тогда, когда существует локальное сечение $s:B\to E$ из $\pi$ (с $\pi \circ s=\operatorname {Id} _{B}$), проходя через каждый $y\in E.$

Расслоенные координаты

Позволять $B$ (соответственно $E$) быть $n$-мерный (соответственно $p$-мерное) многообразие. Волокнистое многообразие $(E,\pi ,B)$ допускает диаграммы волокон . Мы говорим, что диаграмма $(V,\psi )$ на $E$ представляет собой волоконную диаграмму или адаптирован к сюръективному погружению $\pi :E\to B$ если существует диаграмма $(U,\varphi )$ на $B$ такой, что $U=\pi (V)$ и

$$u^{1}=x^{1}\circ \pi ,\,u^{2}=x^{2}\circ \pi ,\,\dots ,\,u^{n}=x^{n}\circ \pi \,,$$

где

$${\begin{aligned}\psi &=\left(u^{1},\dots ,u^{n},y^{1},\dots ,y^{p-n}\right).\quad y_{0}\in V,\\\varphi &=\left(x^{1},\dots ,x^{n}\right),\quad \pi \left(y_{0}\right)\in U.\end{aligned}}$$

Вышеупомянутое условие диаграммы волокон может быть эквивалентно выражено формулой

$$\varphi \circ \pi =\mathrm {pr} _{1}\circ \psi ,$$

где

$${\mathrm {pr} _{1}}:{\mathbb {R} ^{n}}\times {\mathbb {R} ^{p-n}}\to {\mathbb {R} ^{n}}\,$$

это проекция на первую $n$ координаты. Диаграмма $(U,\varphi )$ тогда очевидно уникально. Ввиду вышеизложенного свойства расслоенные координаты волоконной диаграммы $(V,\psi )$ обычно обозначаются $\psi =\left(x^{i},y^{\sigma }\right)$ где $i\in \{1,\ldots ,n\},$ $\sigma \in \{1,\ldots ,m\},$ $m=p-n$ координаты соответствующей карты $(U,\varphi )$ на $B$ затем обозначаются с очевидным соглашением через $\varphi =\left(x_{i}\right)$ где $i\in \{1,\ldots ,n\}.$

И наоборот, если сюръекция $\pi :E\to B$ допускает расслоенный атлас , тогда $\pi :E\to B$ представляет собой расслоенное многообразие.

Локальная тривиализация и расслоения волокон

Позволять $E\to B$ быть расслоенным многообразием и $V$ любое многообразие. Тогда открытое покрытие $\left\{U_{\alpha }\right\}$ из $B$ вместе с картами

$$\psi :\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to U_{\alpha }\times V,$$

называемые картами тривиализации , такие, что

$$\mathrm {pr} _{1}\circ \psi _{\alpha }=\pi ,{\text{ for all }}\alpha$$

является локальной тривиализацией относительно $V.$

Расслоенное многообразие вместе с многообразием $V$ представляет собой пучок волокон с типичным волокном (или просто волокном ) $V$ если оно допускает локальную тривиализацию по отношению к $V.$ Атлас $\Psi =\left\{\left(U_{\alpha },\psi _{\alpha }\right)\right\}$ тогда называется пакетным атласом .

См. также

• Алгебраическое расслоенное пространство
• Соединение (волоконный коллектор) – Работа с волоконными коллекторами
• Пространство покрытия - тип непрерывной карты в топологии.
• Расслоение волокон - непрерывная сюръекция, удовлетворяющая локальному условию тривиальности.
• Расслоение - концепция алгебраической топологии.
• Натуральный пучок
• Квазирасслоение - понятие из математики.
• Расслоенное пространство Зейферта - Топологическое пространство

Ссылки

• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , получено 15 июня 2011 г.
• Крупка, Деметра; Янушка, Йозеф (1990), Лекции по дифференциальным инвариантам , Университет им. Е. Э. Пуркине в Брно, ISBN  80-210-0165-8
• Сондерс, ди-джей (1989), Геометрия реактивных пучков , Cambridge University Press, ISBN  0-521-36948-7
• Джачетта, Г.; Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Г. (1997). Новые лагранжевы и гамильтоновы методы в теории поля . Всемирная научная . ISBN  981-02-1587-8 .

Исторический

• Эресманн, К. (1947a). «К теории расслоенных пространств». Колл. Большой. Алг. Париж (на французском языке). ННРС: 3–15.
• Эресманн, К. (1947b). «О дифференцируемых расслоенных пространствах». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 224 : 1611–1612.
• Эресманн, К. (1955). «Расширения дифференцируемого расслоенного пространства». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 240 : 1755–1757.
• Фельдбау, Дж. (1939). «О классификации расслоенных пространств». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 208 : 1621–1623.
• Зайферт, Х. (1932). «Топология трехмерных замкнутых пространств» . Acta Math (на французском языке). 60 : 147–238. дои : 10.1007/bf02398271 .
• Серр, Ж.-П. (1951). «Сингулярные гомологии расслоенных пространств. Приложения». Энн. математики. (на французском языке). 54 : 425–505. дои : 10.2307/1969485 . JSTOR   1969485 .
• Уитни, Х. (1935). «Сферические пространства» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 21 (7): 464–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W . дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ   1076627 . ПМИД   16588001 .
• Уитни, Х. (1940). «К теории расслоений сфер» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W . дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . МР   0001338 . ПМЦ   1078023 . ПМИД   16588328 .

Внешние ссылки

• Макклири, Дж. «История многообразий и расслоенных пространств: черепахи и зайцы» (PDF) .