Стабильный нормальный комплект

В теории хирургии , разделе математики , стабильное нормальное расслоение является дифференцируемого многообразия инвариантом, который кодирует стабильные нормальные (двойственные, тангенциальные) данные. Существуют аналоги обобщений многообразия, в частности PL-многообразий и топологических многообразий . существует также аналог В теории гомотопий пространств Пуанкаре — сферическое расслоение Спивака , названное в честь Михаэля Спивака . ^[1]

Построение через вложения [ править ]

Учитывая вложение многообразия в евклидово пространство (обеспечиваемое теоремой Хасслера-Уитни ), оно имеет нормальное расслоение . Вложение не уникально, но для высокой размерности евклидова пространства оно уникально с точностью до изотопии , поэтому (класс) расслоения уникален и называется стабильным нормальным расслоением .

Эта конструкция работает для любого пространства Пуанкаре X : конечный CW-комплекс допускает стабильно единственное (с точностью до гомотопии) вложение в пространство через общее положение , и это вложение дает сферическое расслоение над X. евклидово Для более ограниченных пространств (особенно PL-многообразий и топологических многообразий) можно получить более сильные данные.

Подробности [ править ]

Два вложения $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ изотопны , если они гомотопны посредством вложений. Дано многообразие или другое подходящее пространство X с двумя вложениями в евклидово пространство. $i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m},$ $j\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n},$ они вообще не будут изотопными и даже не будут отображаться в одном и том же пространстве ( $m$ не обязательно равен $n$ ). Однако их можно встроить в большее пространство. $\mathbf {R} ^{N}$ позволив последнему $N-m$ координаты равны 0:

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

.

Этот процесс присоединения тривиальных копий евклидова пространства называется стабилизацией. Таким образом, можно организовать отображение любых двух вложений в евклидово пространство в одно и то же евклидово пространство (принимая $N=\max(m,n)$ ), и, далее, если $N$ достаточно велико, то эти вложения изотопны, что является теоремой.

Таким образом, существует уникальный стабильный изотопический класс вложения: это не конкретное вложение (поскольку существует много вложений) и не изотопический класс (поскольку целевое пространство не фиксировано: это просто «достаточно большое евклидово пространство»), а скорее стабильный изотопический класс карт. Нормальное расслоение, связанное с этим (стабильным классом) вложений, тогда является стабильным нормальным расслоением.

Можно заменить этот класс стабильной изотопии фактическим классом изотопии, зафиксировав целевое пространство, либо используя гильбертово пространство в качестве целевого пространства, либо (для фиксированной размерности многообразия $n$ ) с использованием фиксированного $N$ достаточно велико, поскольку N зависит только от n , а не от рассматриваемого многообразия.

Более абстрактно, вместо того, чтобы стабилизировать вложение, можно взять любое вложение, а затем взять прямую сумму векторного расслоения с достаточным количеством тривиальных линейных расслоений; это в точности соответствует нормальному расслоению стабилизированного вложения.

Построение через классификацию пространств [ править ]

-многообразие n M ) имеет касательное расслоение, имеющее классифицирующее отображение (с точностью до гомотопии

\tau _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n).

Составление с включением $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ дает (гомотопический класс классифицирующего отображения) стабильное касательное расслоение. Обычный пакет вложения $M\subset \mathbb {R} ^{n+k}$ ( $k$ большой) является обратным $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)$ для $\tau _{M}$ , такой, что сумма Уитни $\tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n+k)$ тривиально. Гомотопический класс композиции $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ не зависит от выбора вложения, классифицируя стабильное нормальное расслоение $\nu _{M}$ .

Мотивация [ править ]

Не существует внутреннего понятия нормального вектора к многообразию, в отличие от касательных или котасательных векторов (например, нормальное пространство зависит от того, в какое измерение он вкладывается), поэтому вместо этого стабильное нормальное расслоение дает понятие стабильного нормального пространства: нормальное пространство (и нормальные векторы) с точностью до тривиальных слагаемых.

Почему стабильная нормаль, а не стабильный тангенс? Стабильные нормальные данные используются вместо нестабильных тангенциальных данных, поскольку обобщения многообразий имеют естественные стабильные структуры нормального типа, происходящие из трубчатых окрестностей и обобщений, но не нестабильные тангенциальные данные, поскольку локальная структура не является гладкой.

Сферические расслоения над пространством X классифицируются гомотопическими классами отображений $X\to BG$ к Классификационное пространство $BG$ , с гомотопическими группами стабильные гомотопические группы сфер

\pi _{*}(BG)=\pi _{*-1}^{S}

.

Забывчивая карта $B{\textrm {O}}\to BG$ продолжается до расслоений последовательности

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

.

Пространство Пуанкаре X не имеет касательного расслоения, но имеет четко определенное стабильное сферическое расслоение , которое для дифференцируемого многообразия является сферическим расслоением, связанным со стабильным нормальным расслоением; таким образом, основным препятствием для X , имеющего гомотопический тип дифференцируемого многообразия, является то, что сферическое расслоение поднимается до векторного расслоения, т. е. сферического расслоения Спивака. $X\to BG$ должен поднять до $X\to B{\textrm {O}}$ , что эквивалентно отображению $X\to B(G/{\textrm {O}})$ быть нулевым гомотопным Таким образом, препятствием расслоения для существования (гладкой) структуры многообразия является класс $X\to B(G/{\textrm {O}})$ . Вторичная обструкция – это стенохирургическая обструкция .

Приложения [ править ]

Стабильный нормальный пучок имеет основополагающее значение в теории хирургии как первичное препятствие:

Чтобы пространство Пуанкаре X имело гомотопический тип гладкого многообразия, отображение $X\to B(G/{\textrm {O}})$ должен быть нулевым гомотопным
Для гомотопической эквивалентности $f\colon M\to N$ между двумя многообразиями, чтобы быть гомотопным диффеоморфизму, оно должно вернуть стабильное нормальное расслоение на N к стабильному нормальному расслоению на M .

В более общем смысле, его обобщения служат заменой (нестабильного) касательного расслоения.

Ссылки [ править ]

^ Спивак, Майкл (1967), «Пространства, удовлетворяющие двойственности Пуанкаре», Топология , 6 (6): 77–101, doi : 10.1016/0040-9383(67)90016-X , MR 0214071

[1] Спивак, Майкл (1967), «Пространства, удовлетворяющие двойственности Пуанкаре», Топология , 6 (6): 77–101, doi : 10.1016/0040-9383(67)90016-X , MR 0214071

[1]