Эрмитово многообразие

В математике и, более конкретно, в дифференциальной геометрии , эрмитово многообразие является комплексным аналогом риманова многообразия . Точнее, эрмитово многообразие — это комплексное многообразие с плавно меняющимся эрмитовым скалярным произведением на каждом (голоморфном) касательном пространстве . Можно также определить эрмитово многообразие как вещественное многообразие с римановой метрикой , сохраняющей комплексную структуру .

Комплексная структура по существу является почти комплексной структурой с условием интегрируемости, и это условие дает унитарную структуру ( структуру U(n) ) на многообразии. Отбросив это условие, мы получим почти эрмитово многообразие .

На любом почти эрмитовом многообразии мы можем ввести фундаментальную 2-форму (или косимплектическую структуру ), которая зависит только от выбранной метрики и почти комплексной структуры. Эта форма всегда невырождена. При дополнительном условии интегрируемости, что она замкнута (т. е. является симплектической формой ), мы получаем почти кэлерову структуру . Если и почти комплексная структура, и фундаментальная форма интегрируемы, то мы имеем кэлерову структуру .

Формальное определение [ править ]

Эрмитова метрика на комплексном векторном расслоении $E$ над гладким многообразием $M$ является плавно меняющейся положительно определенной эрмитовой формой на каждом слое. Такую метрику можно рассматривать как гладкое глобальное сечение. $h$ векторного расслоения $(E\otimes {\overline {E}})^{*}$ такой, что для каждой точки $p$ в $M$ ,

h_{p}{\mathord {\left(\eta ,{\bar {\zeta }}\right)}}={\overline {h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\eta }}\right)}}}}

для всех

\zeta

,

\eta

в волокне

E_{p}

и

h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)}}>0

для всех ненулевых

\zeta

в

E_{p}

.

— Эрмитово многообразие это комплексное многообразие с эрмитовой метрикой на голоморфном касательном расслоении . Аналогично, почти эрмитово многообразие — это почти комплексное многообразие с эрмитовой метрикой на голоморфном касательном расслоении.

На эрмитовом многообразии метрику можно записать в локальных голоморфных координатах $(z^{\alpha })$ как

h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }

где

h_{\alpha {\bar {\beta }}}

являются компонентами положительно определенной эрмитовой матрицы .

Риманова метрика и связанная с ней форма

Эрмитова метрика h на (почти) комплексном многообразии M определяет риманову метрику g на подлежащем гладком многообразии. Метрика g определяется как действительная часть h :

g={1 \over 2}\left(h+{\bar {h}}\right).

Форма g является симметричной билинейной формой на TM ^С, комплексифицированное касательное расслоение. Поскольку g равна своему сопряженному элементу, это комплексификация вещественной формы на TM . Симметрия и положительная определенность g на TM следуют из соответствующих свойств h . В локальных голоморфных координатах метрику g можно записать

g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,\left(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha }\right).

можно сопоставить Также h ω комплексную дифференциальную форму степени (1,1). Форма ω определяется как минус мнимая часть h :

\omega ={i \over 2}\left(h-{\bar {h}}\right).

Опять же, поскольку ω равна своему сопряженному элементу, это комплексификация вещественной формы на TM . Форму ω называют по-разному ассоциированной (1,1) формой , фундаментальной формой или эрмитовой формой . В локальных голоморфных координатах ω можно записать

\omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }.

Из координатных представлений ясно, что любая из трех форм $h$ , $g$ и $ω$ однозначно определяет две другие. Риманова метрика $g$ и связанная с ней форма (1,1) $ω$ связаны почти комплексной структурой $J$ следующим образом:

{\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v)\\g(u,v)&=\omega (u,Jv)\end{aligned}}

для всех комплексных касательных векторов

u

и

v

. Эрмитова метрика

h

может быть восстановлена по

g

и

ω

с помощью тождества

h=g-i\omega .

Все три формы h , g и ω сохраняют почти комплексную $J.$ структуру То есть,

{\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}

для всех комплексных касательных векторов

u

и

v

.

Поэтому эрмитова структура на (почти) комплексном многообразии $M$ может быть задана либо

эрмитова метрика $h,$ как указано выше,
риманова метрика $g$ , сохраняющая почти комплексную структуру $J$ , или
невырожденная , 2-форма $ω$ сохраняющая $J$ и положительно определённая в том смысле, что $ω (u, Ju) > 0$ для всех ненулевых вещественных касательных векторов $u$ .

Обратите внимание, что многие авторы называют $g$ эрмитовой метрикой.

Свойства [ править ]

Каждое (почти) комплексное многообразие допускает эрмитову метрику. Это следует непосредственно из аналогичного утверждения для римановой метрики. По произвольной римановой метрике g на почти комплексном многообразии M можно построить новую метрику g ′, совместимую с почти комплексной структурой J очевидным образом :

g'(u,v)={1 \over 2}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).

Выбор эрмитовой метрики на почти комплексном многообразии M эквивалентен выбору U( n )-структуры на M ; то есть редукция структурной группы M расслоения реперов из ) GL( C n, в унитарную группу U( n ). Унитарный фрейм на почти эрмитовом многообразии — это комплексный линейный фрейм, ортонормированный относительно эрмитовой метрики. Унитарное расслоение фреймов M является основным U( n )-расслоением всех унитарных фреймов.

Каждое почти эрмитово многообразие M имеет каноническую форму объема , которая представляет собой не что иное, как риманову форму объема, определяемую g . Эта форма задается через ассоциированную (1,1)-форму $ω$ формулой

\mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)

где

ω н

является произведением клина на

ω

самого себя

n

раз. Таким образом, форма объема является вещественной ( n , n )-формой на M . В локальных голоморфных координатах форма объема имеет вид

\mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det \left(h_{\alpha {\bar {\beta }}}\right)\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \dotsb \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}.

Можно также рассмотреть эрмитову метрику на голоморфном векторном расслоении .

Многообразия Кэлера [ править ]

Важнейшим классом эрмитовых многообразий являются кэлеровы многообразия . Это эрмитовы многообразия, для которых эрмитова $ω$ замкнута форма :

d\omega =0\,.

В этом случае форма ω называется кэлеровой формой . Кэлерова форма является симплектической формой , и поэтому кэлеровы многообразия естественно являются симплектическими многообразиями .

Почти эрмитово многообразие, ассоциированная (1,1)-форма которого замкнута, естественно называть почти кэлеровым многообразием . Любое симплектическое многообразие допускает совместимую почти комплексную структуру, превращающую его в почти кэлерово многообразие.

Интегрируемость [ править ]

Кэлерово многообразие — это почти эрмитово многообразие, удовлетворяющее условию интегрируемости . Это можно выразить несколькими эквивалентными способами.

Пусть $(M, g, ω, J)$ — почти эрмитово многообразие вещественной размерности $2 n$ и пусть $\nabla$ — связность Леви-Чивита g $,$ . Следующие условия являются эквивалентными условиями для того, $чтобы M$ было кэлером:

$ω$ замкнуто и $J$ интегрируемо,
$\nabla J = 0$ ,
$\nablaω = 0$ ,
∇ группа голономии содержится $ассоциированной$ в унитарной группе $U(n),$ с $J$ ,

Эквивалентность этих условий соответствует « 2 из 3 » свойству унитарной группы .

В частности, если $M$ — эрмитово многообразие, условие dω = 0 эквивалентно, по-видимому, гораздо более сильным условиям $\nabla ω = \nabla J = 0$ . Богатство теории Кэлера частично обусловлено этими свойствами.

Ссылки [ править ]

Гриффитс, Филипп; Джозеф Харрис (1994) [1978]. Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8 .
Кобаяши, Шошичи; Кацуми Номидзу (1996) [1963]. Основы дифференциальной геометрии , Том. 2 . Библиотека классической литературы Уайли. Нью-Йорк: Wiley Interscience . ISBN 0-471-15732-5 .
Кодайра, Кунихико (1986). Сложные многообразия и деформация сложных структур . Классика по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-22614-1 .

v т Это Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST
National	France BnF data Germany Israel United States
Other	IdRef