Эрмитово многообразие

В математике и, более конкретно, в дифференциальной геометрии , эрмитово многообразие является комплексным аналогом риманова многообразия . Точнее, эрмитово многообразие — это комплексное многообразие с плавно меняющимся эрмитовым скалярным произведением на каждом (голоморфном) касательном пространстве . Можно также определить эрмитово многообразие как вещественное многообразие с римановой метрикой , сохраняющей комплексную структуру .

Комплексная структура по существу является почти комплексной структурой с условием интегрируемости, и это условие дает унитарную структуру ( структуру U(n) ) на многообразии. Отбросив это условие, мы получим почти эрмитово многообразие .

На любом почти эрмитовом многообразии мы можем ввести фундаментальную 2-форму (или косимплектическую структуру ), которая зависит только от выбранной метрики и почти комплексной структуры. Эта форма всегда невырождена. При дополнительном условии интегрируемости, что она замкнута (т. е. является симплектической формой ), мы получаем почти кэлерову структуру . Если и почти комплексная структура, и фундаментальная форма интегрируемы, то мы имеем кэлерову структуру .

Формальное определение

Эрмитова метрика на комплексном векторном расслоении $E$ над гладким многообразием $M$ является плавно меняющейся положительно определенной эрмитовой формой на каждом слое. Такую метрику можно рассматривать как гладкое глобальное сечение. $h$ векторного расслоения $(E\otimes {\overline {E}})^{*}$ такой, что для каждой точки $p$ в $M$,

$$h_{p}{\mathord {\left(\eta ,{\bar {\zeta }}\right)}}={\overline {h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\eta }}\right)}}}}$$

для всех $\zeta$, $\eta$ в волокне $E_{p}$ и

$$h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)}}>0$$

для всех ненулевых $\zeta$ в $E_{p}$.

Эрмитово многообразие — это комплексное многообразие с эрмитовой метрикой на голоморфном касательном расслоении . Аналогично, почти эрмитово многообразие — это почти комплексное многообразие с эрмитовой метрикой на голоморфном касательном расслоении.

На эрмитовом многообразии метрика может быть записана в локальных голоморфных координатах $(z^{\alpha })$ как

$$h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }$$

где $h_{\alpha {\bar {\beta }}}$ являются компонентами положительно определенной эрмитовой матрицы .

Риманова метрика и связанная

Эрмитова метрика h на (почти) комплексном многообразии M определяет риманову метрику g на подлежащем гладком многообразии. Метрика g определяется как действительная часть h :

$$g={1 \over 2}\left(h+{\bar {h}}\right).$$

Форма g является симметричной билинейной формой на TM ^С , комплексифицированное касательное расслоение. Поскольку g равна своему сопряженному элементу, это комплексификация вещественной формы на TM . Симметрия и положительная определенность g на TM следуют из соответствующих свойств h . В локальных голоморфных координатах метрику g можно записать

$$g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,\left(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha }\right).$$

можно сопоставить Также h комплексную дифференциальную форму ω степени (1,1). Форма ω определяется как минус мнимая часть h :

$$\omega ={i \over 2}\left(h-{\bar {h}}\right).$$

Опять же, поскольку ω равна своему сопряженному элементу, это комплексификация вещественной формы на TM . Форму ω называют по-разному ассоциированной (1,1) формой , фундаментальной формой или эрмитовой формой . В локальных голоморфных координатах ω можно записать

$$\omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }.$$

Из координатных представлений ясно, что любая из трех форм h , g и ω однозначно определяет две другие. Риманова метрика g и связанная с ней форма (1,1) ω связаны почти комплексной структурой J следующим образом:

$${\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v)\\g(u,v)&=\omega (u,Jv)\end{aligned}}$$

для всех комплексных касательных векторов u и v . Эрмитова метрика h может быть восстановлена ​​по g и ω с помощью тождества

$$h=g-i\omega .$$

Все три формы h , g и ω сохраняют комплексную структуру J. почти То есть,

$${\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}$$

для всех комплексных касательных векторов u и v .

Поэтому эрмитова структура на (почти) комплексном многообразии M может быть задана либо

1. эрмитова метрика h, как указано выше,
2. риманова метрика g, сохраняющая почти комплексную структуру J , или
3. невырожденная сохраняющая 2-форма ω, J и положительно определённая в том смысле, что ω ( u , Ju ) > 0 для всех ненулевых вещественных касательных векторов u .

Обратите внимание, что многие авторы называют g эрмитовой метрикой.

Свойства

Каждое (почти) комплексное многообразие допускает эрмитову метрику. Это следует непосредственно из аналогичного утверждения для римановой метрики. По произвольной римановой метрике g на почти комплексном многообразии M можно построить новую метрику g ′, совместимую с почти комплексной структурой J очевидным образом :

$$g'(u,v)={1 \over 2}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).$$

Выбор эрмитовой метрики на почти комплексном многообразии M эквивалентен выбору U( n )-структуры на M ; то есть редукция структурной группы расслоения реперов M унитарную из GL( n , C ) в группу U( n ). Унитарный фрейм на почти эрмитовом многообразии — это комплексный линейный фрейм, ортонормированный относительно эрмитовой метрики. Унитарное фреймов M расслоение является основным U( n )-расслоением всех унитарных фреймов.

Каждое почти эрмитово многообразие M имеет каноническую форму объема , которая представляет собой не что иное, как риманову форму объема, определяемую g . Эта форма задается через ассоциированную (1,1)-форму ω формулой

$$\mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)$$

где ω ^н является клиновым произведением самого ω себя n раз. Таким образом, форма объема является вещественной ( n , n )-формой на M . В локальных голоморфных координатах форма объема имеет вид

$$\mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det \left(h_{\alpha {\bar {\beta }}}\right)\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \dotsb \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}.$$

Можно также рассмотреть эрмитову метрику на голоморфном векторном расслоении .

Многообразия Кэлера

Важнейшим классом эрмитовых многообразий являются кэлеровы многообразия . Это эрмитовы многообразия, для которых эрмитова ω замкнута форма :

$$d\omega =0\,.$$

В этом случае форма ω называется кэлеровой формой . Кэлерова форма является симплектической формой , и поэтому кэлеровы многообразия естественно являются симплектическими многообразиями .

Почти эрмитово многообразие, ассоциированная (1,1)-форма которого замкнута, естественно называть почти кэлеровым многообразием . Любое симплектическое многообразие допускает совместимую почти комплексную структуру, превращающую его в почти кэлерово многообразие.

Интегрируемость

Кэлерово многообразие — это почти эрмитово многообразие, удовлетворяющее условию интегрируемости . Это можно выразить несколькими эквивалентными способами.

Пусть ( M , g , ω, J ) — почти эрмитово многообразие вещественной размерности 2 n, и пусть ∇ — связность -Чивита Леви g . Следующие условия являются эквивалентными условиями для того, чтобы M было кэлером:

• ω замкнуто и J интегрируемо,
• ∇ J = 0 ,
• ∇ω = 0 ,
• группа голономии ∇ ассоциированной содержится в унитарной группе U( n ), с J ,

Эквивалентность этих условий соответствует « 2 из 3 » свойству унитарной группы .

В частности, если M — эрмитово многообразие, условие dω = 0 эквивалентно, по-видимому, гораздо более сильным условиям ∇ ω = ∇ J = 0 . Богатство теории Кэлера отчасти обусловлено этими свойствами.

Ссылки

• Гриффитс, Филипп; Джозеф Харрис (1994) [1978]. Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN  0-471-05059-8 .
• Кобаяши, Шошичи; Кацуми Номидзу (1996) [1963]. Основы дифференциальной геометрии , Том. 2 . Библиотека классической литературы Уайли. Нью-Йорк: Wiley Interscience . ISBN  0-471-15732-5 .
• Кодайра, Кунихико (1986). Сложные многообразия и деформация сложных структур . Классика по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  3-540-22614-1 .