Келеровое многообразие

В математике и особенно в дифференциальной геометрии кэлерово многообразие — это многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой , римановой структурой и симплектической структурой . Эта концепция была впервые изучена Яном Арнольдусом Схоутеном и Дэвидом ван Данцигом в 1930 году, а затем введена Эрихом Кэлером в 1933 году. Терминология была закреплена Андре Вейлем . Геометрия Кэлера относится к изучению кэлеровых многообразий, их геометрии и топологии, а также к изучению структур и конструкций, которые могут быть выполнены на кэлеровых многообразиях, таких как существование специальных связей, таких как эрмитовые соединения Янга – Миллса , или специальных метрик, таких как как метрики Кэлера–Эйнштейна .

Каждое гладкое комплексное проективное многообразие является кэлеровым многообразием. Теория Ходжа — центральная часть алгебраической геометрии , доказанная с использованием метрики Кэлера.

Определения

Поскольку кэлеровы многообразия снабжены несколькими совместимыми структурами, их можно описать с разных точек зрения:

Симплектическая точка зрения

Кэлерово многообразие — это симплектическое многообразие. $(X,\omega )$ оснащен интегрируемой почти сложной структурой $J$ что совместимо с симплектической формой $\omega$, что означает, что билинейная форма

$g(u,v)=\omega (u,Jv)$

в пространстве касательном $X$ в каждой точке симметрична и положительно определена (и, следовательно, является римановой метрикой на $X$).

Комплексная точка зрения

Кэлерово многообразие — это комплексное многообразие. $X$ с эрмитовой метрикой $h$ чья ассоциированная 2-форма $\omega$ закрыто ​ . Более подробно, $h$ дает положительно определенную эрмитову форму в касательном пространстве $TX$ в каждой точке $X$, и 2-форма $\omega$ определяется

$\omega (u,v)=\operatorname {Re} h(iu,v)=\operatorname {Im} h(u,v)$

для касательных векторов $u$ и $v$ (где $i$ это комплексное число ${\sqrt {-1}}$). Для кэлерова многообразия $X$, форма Кэлера $\omega$ является вещественной замкнутой (1,1)-формой . Кэлерово многообразие также можно рассматривать как риманово многообразие с римановой метрикой $g$ определяется

$g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).$

Эквивалентно, кэлерово многообразие $X$ является эрмитовым многообразием комплексной размерности $n$ такой, что для каждой точки $p$ из $X$ существует голоморфная карта координат , вокруг $p$ в котором метрика согласуется со стандартной метрикой на $\mathbb {C} ^{n}$ заказать 2 рядом $p$. То есть, если диаграмма принимает $p$ к $0$ в $\mathbb {C} ^{n}$, а метрика в этих координатах записывается как ${\textstyle h_{ab}=({\frac {\partial }{\partial z_{a}}},{\frac {\partial }{\partial z_{b}}})}$, затем

$h_{ab}=\delta _{ab}+O(\|z\|^{2})$

для всех $a$, $b$ в $\{1,\cdots ,n\}$

Поскольку 2-форма $\omega$ замкнуто, оно определяет элемент в когомологиях де Рама $H^{2}(X,\mathbb {R} )$, известный как класс Кэлера .

Риманова точка зрения

Кэлерово многообразие — это риманово многообразие. $X$ четного размера $2n$ которого группа голономии содержится в унитарной группе $\operatorname {U} (n)$. Аналогично, существует сложная структура $J$ в касательном пространстве $X$ в каждой точке (т. е. реальной линейной карты из $TX$ себе с $J^{2}=-1$) такой, что $J$ сохраняет метрику $g$ (имеется в виду, что $g(Ju,Jv)=g(u,v)$) и $J$ сохраняется за счет параллельного транспорта .

Кэлер потенциал

Гладкая вещественная функция $\rho$ на комплексном многообразии называется строго плюрисубгармонической , если вещественная замкнутая (1,1)-форма

$\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho$

положительна, т. е. является кэлеровой формой. Здесь $\partial ,{\bar {\partial }}$ — операторы Дольбо . Функция $\rho$ называется потенциалом Кэлера для $\omega$.

И наоборот, по комплексной версии леммы Пуанкаре , известной как локальная $\partial {\bar {\partial }}$-лемма , каждая кэлерова метрика может быть локально описана таким образом. То есть, если $(X,\omega )$ является кэлеровым многообразием, то для каждой точки $p$ в $X$ есть район $U$ из $p$ и гладкая вещественная функция $\rho$ на $U$ такой, что ${\omega \vert }_{U}=(i/2)\partial {\bar {\partial }}\rho$. Здесь $\rho$ называется локальным кэлеровым потенциалом для $\omega$. Не существует сопоставимого способа описания общей римановой метрики с помощью одной функции.

Пространство кэлеровских потенциалов

Хотя не всегда возможно описать форму Кэлера глобально, используя один потенциал Кэлера, таким образом можно описать разницу двух форм Кэлера, при условии, что они принадлежат к одному и тому же классу когомологий де Рама . Это следствие того, $\partial {\bar {\partial }}$-лемма из теории Ходжа .

А именно, если $(X,\omega )$ — компактное кэлерово многообразие, то класс когомологий $[\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)$ называется классом Кэлера . Любой другой представитель этого класса, $\omega '$ скажем, отличается от $\omega$ к $\omega '=\omega +d\beta$ для какой-то одной формы $\beta$. $\partial {\bar {\partial }}$-лемма далее утверждает, что именно эта форма $d\beta$ может быть записано как $d\beta =i\partial {\bar {\partial }}\varphi$ для плавной работы $\varphi :X\to \mathbb {C}$. В приведенном выше локальном обсуждении берется локальный класс Кэлера. $[\omega ]=0$ на открытом подмножестве $U\subset X$, и по лемме Пуанкари любая кэлерова форма будет локально когомологична нулю. Таким образом, локальный кэлеров потенциал $\rho$ это то же самое $\varphi$ для $[\omega ]=0$ локально.

В общем, если $[\omega ]$ является классом Кэлера, то любую другую метрику Кэлера можно записать как $\omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi$ для такой гладкой функции. Эта форма не является автоматически положительной формой , поэтому пространство кэлеровых потенциалов для класса $[\omega ]$ определяется как такие положительные случаи и обычно обозначается ${\mathcal {K}}$:

${\mathcal {K}}_{[\omega ]}:=\{\varphi :X\to \mathbb {R} {\text{ smooth}}\mid \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.$

Если два кэлерова потенциала отличаются на константу, то они определяют одну и ту же кэлерову метрику, поэтому пространство кэлеровых метрик в классе $[\omega ]$ можно определить с помощью частного ${\mathcal {K}}/\mathbb {R}$. Пространство кэлеровых потенциалов является сжимаемым пространством . Таким образом, пространство кэлеровых потенциалов позволяет одновременно изучать все кэлеровы метрики в данном классе, и эта перспектива при изучении результатов существования кэлеровых метрик.

Коллекторы Кэлера и минимизаторы объема

Для компактного кэлерова многообразия X объем замкнутого комплексного подпространства X гомологий определяется его . классом В некотором смысле это означает, что геометрия комплексного подпространства ограничена с точки зрения его топологии. (Это совершенно неверно для реальных подмногообразий.) Явно формула Виртингера гласит, что

$\mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}\int _{Y}\omega ^{r},$

где Y — r -мерное замкнутое комплексное подпространство, а ω — кэлерова форма. Поскольку ω замкнуто, этот интеграл зависит только от класса Y в H _{2 r} ( X , R ) . Эти объемы всегда положительны, что выражает сильную положительность класса Кэлера ω в H ² ( X , R ) относительно комплексных подпространств. В частности, ω ^н не равен нулю в H ^22н ( X , R ) для компактного кэлерова многообразия X комплексной размерности n .

Связанный с этим факт состоит в том, что каждое замкнутое комплексное подпространство Y компактного кэлерова многообразия X является минимальным подмногообразием (вне своего особого множества). Более того: согласно теории калиброванной геометрии , Y минимизирует объем среди всех (реальных) циклов в одном и том же классе гомологии.

Тождества Кэлера

Основная статья: тождества Кэлера

Вследствие сильного взаимодействия между гладкими, комплексными и римановыми структурами на кэлеровом многообразии существуют естественные тождества между различными операторами на комплексных дифференциальных формах кэлерова многообразия, которые не выполняются для произвольных комплексных многообразий. Эти тождества связывают внешнюю производную $d$, операторы Дольбо $\partial ,{\bar {\partial }}$ и их сопряженные лапласианцы $\Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}$, и оператор Лефшеца $L:=\omega \wedge -$ и сопряженный с ним оператор сжатия $\Lambda =L^{*}$. Тождества составляют основу аналитического инструментария по кэлеровым многообразиям и в сочетании с теорией Ходжа имеют фундаментальное значение для доказательства многих важных свойств кэлеровых многообразий и их когомологий. В частности, тождества Кэлера имеют решающее значение при доказательстве теорем об исчезновении Кодайры и Накано , теоремы Лефшеца о гиперплоскости , жесткой теоремы Лефшеца , билинейных отношений Ходжа-Римана и теоремы об индексе Ходжа .

Лапласиан на кэлеровом многообразии

На римановом многообразии размерности $n$, лапласиан на гладкой $r$-формы определяются $\Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d$ где $d$ является внешней производной и $d^{*}=-(-1)^{n(r+1)}\star d\,\star$, где $\star$ — оператор звезды Ходжа . (Эквивалентно, $d^{*}$ является сопряжением ​ $d$ по отношению к Л ² внутренний продукт на $r$-формы с компактным носителем.) Для эрмитова многообразия $X$, $d$ и $d^{*}$ разлагаются как

$d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},$

и определены два других лапласиана:

$\Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .$

Если $X$ является Кэлером, тождества Кэлера подразумевают, что все лапласианы одинаковы с точностью до константы:

$\Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.$

Из этих тождеств следует, что на кэлеровом многообразии $X$,

${\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X),$

где ${\mathcal {H}}^{r}$ это пространство гармоник $r$-формы на $X$ (формы $\alpha$ с $\Delta \alpha =0$) и ${\mathcal {H}}^{p,q}$ это пространство гармоник $(p,q)$-формы . То есть дифференциальная форма $\alpha$ гармонична тогда и только тогда, когда каждое из ее $(p,q)$-компоненты гармоничны.

Далее, для компактного кэлерова многообразия $X$, теория Ходжа дает интерпретацию приведенного выше расщепления, которая не зависит от выбора кэлеровой метрики. А именно, когомологии $H^{r}(X,\mathbf {C} )$ из $X$ с комплексными коэффициентами распадается как прямая сумма некоторых когерентных пучковых групп когомологий:

$H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).$

Группа слева зависит только от $X$ как топологическое пространство, а группы справа зависят от $X$ как сложное многообразие. Итак, эта теорема о разложении Ходжа соединяет топологию и сложную геометрию компактных кэлерово многообразий.

Позволять $H^{p,q}(X)$ быть комплексным векторным пространством $H^{q}(X,\Omega ^{p})$, который можно отождествить с пространством ${\mathcal {H}}^{p,q}(X)$ гармонических форм относительно заданной кэлеровой метрики. Ходжа Числа ​ $X$ определяются $h^{p,q}(X)=\mathrm {dim} _{\mathbf {C} }H^{p,q}(X)$. Из разложения Ходжа следует разложение чисел Бетти компактного кэлерова многообразия $X$ через числа Ходжа:

$b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q}.$

Числа Ходжа компактного кэлерова многообразия удовлетворяют нескольким тождествам. Симметрия Ходжа $h^{p,q}=h^{q,p}$ выполняется, поскольку лапласиан $\Delta _{d}$ является реальным оператором, и поэтому $H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}$. Личность $h^{p,q}=h^{n-p,n-q}$ можно доказать, используя тот факт, что звездный оператор Ходжа дает изоморфизм $H^{p,q}\cong {\overline {H^{n-p,n-q}}}$. Это также следует из двойственности Серра .

Топология компактных кэлеровых многообразий

Простым следствием теории Ходжа является то, что каждое нечетное число Бетти b _{2 a +1} компактного кэлерова многообразия четно в силу симметрии Ходжа. неверно для компактных комплексных многообразий вообще, как показано на примере поверхности Хопфа , диффеоморфной S Это ¹ × С ³ и, следовательно, имеет b ₁ = 1 .

«Пакет Кэлера» представляет собой набор дальнейших ограничений на когомологии компактных кэлеровых многообразий, основанный на теории Ходжа. Результаты включают в себя теорему Лефшеца о гиперплоскости , жесткую теорему Лефшеца и билинейные отношения Ходжа-Римана . Связанный с этим результат состоит в том, что каждое компактное кэлерово многообразие формально в смысле теории рациональной гомотопии.

Вопрос о том, какие группы могут быть фундаментальными группами компактных кэлеровых многообразий, называемых кэлеровыми группами , широко открыт. Теория Ходжа дает множество ограничений на возможные группы Кэлера. Простейшее ограничение состоит в том, что абелианизация кэлеровой группы должна иметь четный ранг, поскольку число Бетти b ₁ компактного кэлерова многообразия четно. (Например, целые числа Z не могут быть фундаментальной группой компактного кэлерова многообразия.) Расширения теории, такие как неабелева теория Ходжа, дают дополнительные ограничения на то, какие группы могут быть кэлеровыми группами.

Без условия Кэлера ситуация проста: Клиффорд Таубс показал, что каждая конечно определенная группа возникает как фундаментальная группа некоторого компактного комплексного многообразия размерности 3. (И наоборот, фундаментальная группа любого замкнутого многообразия конечно определена.)

Характеризации комплексных проективных многообразий и компактных кэлеровых многообразий

характеризует Теорема вложения Кодаиры гладкие комплексные проективные многообразия среди всех компактных кэлеровых многообразий. А именно, компактное комплексное многообразие X является проективным тогда и только тогда, когда существует кэлерова форма ω на X , класс которой в H ² ( X , R ) находится в образе целой группы когомологий H ² ( Икс , Z ) . (Поскольку положительное кратное кэлеровой форме является кэлеровой формой, это эквивалентно тому, что X имеет кэлерову форму, класс которой находится в H ² ( X , R ) происходит от H ² ( X , Q ) .) Эквивалентно, X проективно тогда и только тогда, когда существует голоморфное линейное расслоение L на X с эрмитовой метрикой, форма кривизны которой ω положительна (поскольку ω тогда является кэлеровой формой, которая представляет первый класс Черна Л в Ч ² ( Икс , Z ) ). Кэлерова форма ω, удовлетворяющая этим условиям (т. е. кэлерова форма ω является интегрально-дифференциальной формой), также называется формой Ходжа, а метрика Кэлера в это время называется метрикой Ходжа. Компактные кэлеровы многообразия с метрикой Ходжа также называются многообразиями Ходжа.

Многие свойства кэлеровых многообразий сохраняются в немного большей общности $\partial {\bar {\partial }}$-многообразия, то есть компактные комплексные многообразия, для которых $\partial {\bar {\partial }}$-лемма верна. В частности, когомологии Ботта – Черна являются альтернативой когомологиям Дольбо компактных комплексных многообразий, и они изоморфны тогда и только тогда, когда многообразие удовлетворяет условию $\partial {\bar {\partial }}$-леммы и, в частности, согласны, когда многообразие кэлерово. В общем случае ядро ​​естественного отображения когомологий Ботта–Черна в когомологии Дольбо содержит информацию о некэлеровости многообразия.

Каждая компактная комплексная кривая проективна, но в комплексной размерности не менее 2 существует множество компактных кэлеровых многообразий, которые не являются проективными; например, большинство компактных комплексных торов не проективны. Можно задаться вопросом, можно ли хотя бы деформировать каждое компактное кэлерово многообразие (путем непрерывного изменения комплексной структуры) в гладкое проективное многообразие. Кунихико Кодайры Работа по классификации поверхностей предполагает, что каждое компактное кэлерово многообразие комплексной размерности 2 действительно можно деформировать до гладкого проективного многообразия. Клэр Вуазен , однако, обнаружила, что это неверно в размерностях не менее 4. Она построила компактное кэлерово многообразие комплексной размерности 4, которое даже не гомотопически эквивалентно никакому гладкому комплексному проективному многообразию.

Можно также попросить характеризовать компактные кэлеровы многообразия среди всех компактных комплексных многообразий. В комплексной размерности 2 Кодайра и Юм-Тонг Сиу показали, что компактная комплексная поверхность имеет кэлерову метрику тогда и только тогда, когда ее первое число Бетти четно. Альтернативное доказательство этого результата, не требующее сложного индивидуального изучения с использованием классификации компактных комплексных поверхностей, было независимо предоставлено Бухдалем и Ламари. Таким образом, «Келер» — это чисто топологическое свойство компактных комплексных поверхностей. Однако пример Хиронаки показывает, что это неверно в размерностях не менее 3. Более подробно, пример представляет собой однопараметрическое семейство гладких компактных комплексных трехмерных многообразий, такое, что большинство слоев являются кэлеровыми (и даже проективными), но один слой не Келер. Таким образом, компактное кэлерово многообразие может быть диффеоморфно некэлерову комплексному многообразию.

Многообразия Кэлера – Эйнштейна

Основная статья: метрика Кэлера – Эйнштейна

Кэлерово многообразие называется Кэлером-Эйнштейном, если оно имеет постоянную кривизну Риччи . Эквивалентно, тензор кривизны Риччи равен константе λ, умноженной на метрический тензор , Ric = λg . Ссылка на Эйнштейна исходит из общей теории относительности , которая утверждает, что в отсутствие массы пространство-время представляет собой 4-мерное лоренцево многообразие с нулевой кривизной Риччи. можно найти в статье о многообразиях Эйнштейна Более подробную информацию .

Хотя кривизна Риччи определена для любого риманова многообразия, она играет особую роль в кэлеровой геометрии: кривизну Риччи кэлерова многообразия X можно рассматривать как вещественную замкнутую (1,1)-форму, которая представляет c ₁ ( X ) ( первый класс Чженя касательного расслоения ) в H ² ( Икс , р ) . Отсюда следует, что компактное многообразие Кэлера–Эйнштейна X должно иметь каноническое расслоение K _X либо антиобильное, гомологически тривиальное или обильное , в зависимости от того, является ли константа Эйнштейна λ положительной, нулевой или отрицательной. Кэлеровы многообразия этих трех типов называются Фано , Калаби–Яу или с обильным каноническим расслоением (что подразумевает общий тип ) соответственно. По теореме вложения Кодайры многообразия Фано и многообразия с обильным каноническим расслоением автоматически являются проективными многообразиями.

Шинг-Тунг Яу доказал гипотезу Калаби : каждое гладкое проективное многообразие с обильным каноническим расслоением имеет метрику Кэлера–Эйнштейна (с постоянной отрицательной кривизной Риччи), а каждое многообразие Калаби–Яу имеет метрику Кэлера–Эйнштейна (с нулевой кривизной Риччи). Эти результаты важны для классификации алгебраических многообразий с такими приложениями, как неравенство Мияоки–Яу для многообразий с обильным каноническим расслоением и разложение Бовиля–Богомолова для многообразий Калаби–Яу.

Напротив, не каждое гладкое многообразие Фано имеет метрику Кэлера – Эйнштейна (которая имела бы постоянную положительную кривизну Риччи). Однако Сюсюн Чен, Саймон Дональдсон и Сун Сунь доказали гипотезу Яу - Тиана -Дональдсона: гладкое многообразие Фано имеет метрику Кэлера-Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно K-стабильно , что является чисто алгебро-геометрическим условием.

В ситуациях, когда не может существовать метрика Кэлера-Эйнштейна, можно изучить мягкие обобщения, включая метрики Кэлера постоянной скалярной кривизны и экстремальные метрики Кэлера . Когда может существовать метрика Кэлера-Эйнштейна, эти более широкие обобщения автоматически становятся метрикой Кэлера-Эйнштейна.

Голоморфная секционная кривизна

Отклонение риманова многообразия X от стандартной метрики в евклидовом пространстве измеряется секционной кривизной , которая представляет собой действительное число, связанное с любой реальной 2-плоскостью в касательном пространстве X в точке. Например, секционная кривизна стандартной метрики на CP ^н (при n ≥ 2 ) варьируется от 1/4 до 1 в каждой точке. Для эрмитова многообразия (например, кэлерова многообразия) голоморфная секционная кривизна означает секционную кривизну, ограниченную комплексными прямыми в касательном пространстве. Это ведет себя проще, поскольку CP ^н имеет голоморфную секционную кривизну, всюду равную 1. С другой стороны, открытый единичный шар в C ^н имеет полную кэлерову метрику с голоморфной секционной кривизной, равной −1. (С этой метрикой шар еще называют комплексным гиперболическим пространством .)

Голоморфная секционная кривизна тесно связана со сложной геометрией лежащего в основе комплексного многообразия. Это элементарное следствие леммы Альфорса Шварца, что если $(X,\omega )$ является эрмитовым многообразием с эрмитовой метрикой отрицательной голоморфной секционной кривизны (ограниченной сверху отрицательной константой), то оно гиперболическое Броуди (т. е. каждое голоморфное отображение $\mathbb {C} \to X$ является постоянным). Если X оказывается компактным, то это эквивалентно тому, что многообразие является гиперболическим по Кобаяши .

С другой стороны, если $(X,\omega )$ является компактным кэлеровым многообразием с кэлеровой метрикой положительной голоморфной секционной кривизны, Ян Сяокуй показал, что X рационально связно.

Замечательной особенностью сложной геометрии является то, что голоморфная секционная кривизна уменьшается на комплексных подмногообразиях. (То же самое относится и к более общему понятию — голоморфной бисекционной кривизне.) Например, каждое комплексное подмногообразие в C ^н (с индуцированной метрикой из C ^н ) имеет голоморфную секционную кривизну ≤ 0.

Для голоморфных отображений между эрмитовыми многообразиями голоморфная секционная кривизна недостаточно сильна, чтобы контролировать член целевой кривизны, появляющийся в оценке второго порядка леммы Шварца. Это побудило рассмотреть реальную бисекционную кривизну , введенную Сяокуй Яном и Фанъяном Чжэном. Это также появляется в работе Ман-Чуна Ли и Джеффри Стритса под названием « Оператор комплексной кривизны» .

Примеры

1. Комплексное пространство C ^н со стандартной эрмитовой метрикой является кэлеровым многообразием.
2. Компактный комплексный тор C ^н /Λ (Λ полная решетка ) наследует плоскую метрику от евклидовой метрики на C ^н , и поэтому является компактным кэлеровым многообразием.
3. Любая риманова метрика на ориентированном 2-многообразии кэлерова. (Действительно, его группа голономии содержится в группе вращений SO(2), которая равна унитарной группе U(1).) В частности, ориентированное риманово 2-многообразие является римановой поверхностью каноническим образом ; это известно как существование изотермических координат . И наоборот, каждая риманова поверхность является кэлеровой, поскольку кэлерова форма любой эрмитовой метрики замкнута по причинам размерности.
4. Существует стандартный выбор метрики Кэлера на комплексном проективном пространстве CP. ^н , метрика Фубини–Студи . Одно описание включает унитарную группу U( n + 1) , группу линейных автоморфизмов C ^{п +1} сохраняющие стандартную эрмитову форму. Метрика Фубини–Студи — это уникальная риманова метрика на CP. ^н (с точностью до положительного кратного), инвариантный относительно действия U( n + 1) на CP ^н . Одно естественное обобщение CP ^н обеспечивается эрмитовыми симметрическими пространствами компактного типа, такими как грассманианы . Естественная кэлерова метрика на эрмитовом симметрическом пространстве компактного типа имеет секционную кривизну ≥ 0.
5. Индуцированная метрика на комплексном подмногообразии кэлерова многообразия является кэлеровой. В частности, любое многообразие Штейна (вложенное в C ^н ) или гладкое проективное алгебраическое многообразие (вложенное в CP ^н ) – Келер. Это большой класс примеров.
6. Открытый единичный шар B в C ^н имеет полную кэлерову метрику, называемую метрикой Бергмана , с голоморфной секционной кривизной, равной −1. Естественным обобщением шара являются эрмитовые симметрические пространства некомпактного типа, такие как верхнее полупространство Зигеля . Каждое эрмитово симметрическое пространство X некомпактного типа изоморфно ограниченной области в некотором C ^н , а метрика Бергмана X является полной кэлеровой метрикой с секционной кривизной ≤ 0.
7. Каждая поверхность K3 является кэлеровой (по Сиу).

См. также

• Почти сложное многообразие
• Гиперкэлерово многообразие
• Многообразие кватерниона-Кэлера
• Функционал K-энергии

Ссылки

• Аморос, Хауме; Бургер, Марк; Корлетт, Кевин; Кочик, Дитер; Толедо, Доминго (1996), Фундаментальные группы компактных кэлеровых многообразий , Математические обзоры и монографии, том. 44, Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/surv/044 , ISBN.  978-0-8218-0498-8 , МР   1379330
• Барт, Вольф П .; Хулек, Клаус ; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004) [1984], Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия / Серия современных обзоров по математике, т. 1, с. 4, Спрингер , номер домена : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN.  978-3-540-00832-3 , МР   2030225
• Бухдал, Николас (1999). «О компактных кэлеровых поверхностях» . Анналы Института Фурье . 49 (1): 287–302. дои : 10.5802/aif.1674 . МР   1688136 . Збл   0926.32025 .
• Каннас да Силва, Ана (2001), Лекции по симплектической геометрии , Конспекты лекций по математике, том. 1764, Спрингер , номер документа : 10.1007/978-3-540-45330-7 , ISBN.  978-3540421955 , МР   1853077
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994) [1978]. Основы алгебраической геометрии . Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-471-05059-9 . МР   0507725 .
• Келер, Эрих (1933), «Об одной замечательной эрмитовой метрике», кафедра математики Univ. Гамбург , 9 : 173–186, doi : 10.1007/BF02940642 , JFM   58.0780.02 , S2CID   122246578
• Хайбрехтс, Дэниел (2005), Сложная геометрия: введение , Springer , ISBN  978-3-540-21290-4 , МР   2093043
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1996) [1969], Основы дифференциальной геометрии , том. 2, Джон Уайли и сыновья , ISBN  978-0-471-15732-8 , МР   1393941
• Кодайра, К. (1954). «О многообразиях Калера ограниченного типа (внутренняя характеристика алгебраических многообразий)». Анналы математики . 60 (1): 28–48. дои : 10.2307/1969701 . JSTOR   1969701 .
• Ламари, Асен (1999). «Токи Кэлера и компактные поверхности» . Анналы Института Фурье . 49 (1): 263–285. дои : 10.5802/aif.1673 . МР   1688140 . Збл   0926.32026 .
• Ли, Мань-Чун; Улицы, Джеффри (2021). «Комплексные многообразия с оператором отрицательной кривизны». Уведомления о международных математических исследованиях . 2021 (24): 18520–18528. arXiv : 1903.12645 . дои : 10.1093/imrn/rnz331 . S2CID   88524040 .
• Морояну, Андрей (2007), Лекции по кэлеровой геометрии , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 69, Издательство Кембриджского университета , arXiv : math/0402223 , doi : 10.1017/CBO9780511618666 , ISBN  978-0-521-68897-0 , МР   2325093
• Вуазен, Клер (2004), «О гомотопических типах компактных кэлеровых и комплексных проективных многообразий», Inventiones Mathematicae , 157 (2): 329–343, arXiv : math/0312032 , Bibcode : 2004InMat.157..329V , doi : 10.1007/с00222-003-0352-1 , МР   2076925 , С2КИД   11984149
• Ян, Сяокуй; Чжэн, Фанъян (2018). «О действительной бисекционной кривизне эрмитовых многообразий». Труды Американского математического общества . 371 (4): 2703–2718. arXiv : 1610.07165 . дои : 10.1090/tran/7445 . S2CID   119669591 .
• Уэллс, Раймонд О. (2007). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях . Спрингер. ISBN  9780387738925 .
• Чжэн, Фангян (2000), Комплексная дифференциальная геометрия , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-2163-3 , МР   1777835

Внешние ссылки

• «Многообразие Кэлера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Морояну, Андрей (2004), Лекции по кэлеровой геометрии (PDF)