Переписка Нонабелиана Ходжа

В алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии неабелевое соответствие Ходжа или соответствие Корлетта-Симпсона (названное в честь Кевина Корлетта и Карлоса Симпсона ) — это соответствие между расслоениями Хиггса и представлениями фундаментальной группы гладкого проективного комплексного алгебраического многообразия или компактного кэлерова многообразия. многообразие .

Теорему можно считать обширным обобщением теоремы Нарасимхана–Сешадри , которая определяет соответствие между стабильными векторными расслоениями и унитарными представлениями фундаментальной группы компактной римановой поверхности . Фактически теорема Нарасимхана-Сешадри может быть получена как частный случай неабелева соответствия Ходжа, если приравнять поле Хиггса к нулю.

История

доказали, В 1965 году М. С. Нарасимхан и К. С. Сешадри что стабильные векторные расслоения на компактной римановой поверхности соответствуют неприводимым проективным унитарным представлениям фундаментальной группы. Эта теорема была сформулирована в новом свете в работе Саймона Дональдсона в 1983 году, который показал, что стабильные векторные расслоения соответствуют связям Янга – Миллса , голономия которых дает представления фундаментальной группы Нарасимхана и Сешадри. Теорема Нарасимхана-Сешадри была обобщена на случай компактных римановых поверхностей на случай компактных кэлеровых многообразий Дональдсоном в случае алгебраических поверхностей и в целом Карен Уленбек и Шинг-Тунг Яу . Это соответствие между стабильными векторными расслоениями и эрмитовыми связями Янга–Миллса известно как соответствие Кобаяши–Хитчина .

Теорема Нарасимхана – Сешадри касается унитарных представлений фундаментальной группы. Найджел Хитчин ввел понятие расслоения Хиггса как алгебраического объекта, который должен соответствовать комплексным представлениям фундаментальной группы (фактически терминология «расслоение Хиггса» была введена Карлосом Симпсоном после работы Хитчина). Первый случай неабелевой теоремы Ходжа был доказан Хитчиным, который рассмотрел случай хиггсовских расслоений второго ранга над компактной римановой поверхностью. Хитчин показал, что полистабильное расслоение Хиггса соответствует решению уравнений Хитчина — системы дифференциальных уравнений, полученной в результате размерного сокращения уравнений Янга-Миллса до размерности два. В этом случае Дональдсон показал, что решения уравнений Хитчина соответствуют представлениям фундаментальной группы.

Результаты Хитчина и Дональдсона для расслоений Хиггса ранга два на компактной римановой поверхности были широко обобщены Карлосом Симпсоном и Кевином Корлеттом. Утверждение о том, что полистабильные расслоения Хиггса соответствуют решениям уравнений Хитчина, было доказано Симпсоном. Соответствие между решениями уравнений Хитчина и представлениями фундаментальной группы было показано Корлеттом.

Определения

В этом разделе мы напоминаем объекты, представляющие интерес в неабелевой теореме Ходжа.

Пучки Хиггса

Основная статья: Пучок Хиггса

над Расслоение Хиггса компактным кэлеровым многообразием $(X,\omega )$ это пара $(E,\Phi )$ где $E\to X$ является голоморфным векторным расслоением и $\Phi :E\to E\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}$ является $\operatorname {End} (E)$-значный голоморфный $(1,0)$-форма на $X$, называемое полем Хиггса . Кроме того, поле Хиггса должно удовлетворять $\Phi \wedge \Phi =0$.

Расслоение Хиггса является (полу)стабильным , если для каждого собственного ненулевого когерентного подпучка ${\mathcal {F}}\subset E$ которое сохраняется полем Хиггса, так что $\Phi ({\mathcal {F}})\subset {\mathcal {F}}\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}$, надо

$${\frac {\deg({\mathcal {F}})}{\operatorname {rank} ({\mathcal {F}})}}<{\frac {\deg(E)}{\operatorname {rank} (E)}}\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.$$

Это рациональное число называется наклоном и обозначается $\mu (E)$и приведенное выше определение отражает определение стабильного векторного расслоения . Расслоение Хиггса является полистабильным, если оно представляет собой прямую сумму стабильных расслоений Хиггса одинакового наклона и, следовательно, полустабильно.

Хитчина

Смотрите также: связь Эрмита Янга – Миллса

Обобщение уравнения Хитчина на высшую размерность можно сформулировать как аналог эрмитовых уравнений Янга–Миллса для некоторой связи, построенной из пары $(E,\Phi )$. Эрмитова метрика $h$ на пучке Хиггса $(E,\Phi )$ порождает связь Черна $\nabla _{A}$ и кривизна $F_{A}$. Условие, которое $\Phi$ голоморфен, можно сформулировать как ${\bar {\partial }}_{A}\Phi =0$. Уравнения Хитчина на компактной римановой поверхности утверждают, что

$${\begin{cases}&F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=\lambda \operatorname {Id} _{E}\\&{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0\end{cases}}$$

для постоянного $\lambda =-2\pi i\mu (E)$. В более высоких измерениях эти уравнения обобщаются следующим образом. Определить соединение $D$ на $E$ к $D=\nabla _{A}+\Phi +\Phi ^{*}$. Эту связь называют эрмитовой связностью Янга–Миллса (а метрику — эрмитовой метрикой Янга–Миллса ), если

$$\Lambda _{\omega }F_{D}=\lambda \operatorname {Id} _{E}.$$

Это сводится к уравнениям Хитчина для компактной римановой поверхности. Обратите внимание, что соединение $D$ не является эрмитовой связью Янга–Миллса в обычном смысле, поскольку оно не унитарно, а приведенное выше условие является неунитарным аналогом нормального условия HYM.

фундаментальной группы и

Представление фундаментальной группы $\rho \colon \pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )$приводит к векторному расслоению с плоской связностью следующим образом. Универсальный чехол ${\hat {X}}$ из $X$ является главным расслоением над $X$ со структурной группой $\pi _{1}(X)$. Таким образом, существует связанный пакет с ${\hat {X}}$ данный

$$E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}.$$

Это векторное расслоение естественным образом оснащено плоской связью. $D$. Если $h$ является эрмитовой метрикой на $E$, определите оператор $D_{h}''$следующее. Разложить $D=\partial +{\bar {\partial }}$ на операторы типа $(1,0)$ и $(0,1)$, соответственно. Позволять $A'$ быть уникальным оператором типа $(1,0)$ такой, что $(1,0)$-связь $A'+{\bar {\partial }}$ сохраняет метрику $h$. Определять $\Phi =(\partial -A')/2$, и установите $D_{h}''={\bar {\partial }}+\Phi$. Определить псевдокривизну ​ $h$ быть $G_{h}=(D_{h}'')^{2}$.

Метрика $h$ называется гармоническим , если

$$\Lambda _{\omega }G_{h}=0.$$

Обратите внимание, что условие $G_{h}=0$ эквивалентно трем условиям ${\bar {\partial }}^{2}=0,{\bar {\partial }}\Phi =0,\Phi \wedge \Phi =0$, так что если $G_{h}=0$ тогда пара $(E,\Phi )$ определяет расслоение Хиггса с голоморфной структурой на $E$ заданный оператором Дольбо ${\bar {\partial }}$.

Это результат Корлетта, что если $h$ гармонична, то она автоматически удовлетворяет $G_{h}=0$ и таким образом возникает пучок Хиггса.

Пространства модулей

Основная статья: Пространство модулей

Каждому из трех понятий: расслоения Хиггса, плоских связностей и представлений фундаментальной группы можно определить пространство модулей . Для этого требуется понятие изоморфизма между этими объектами. Далее исправим гладкое комплексное векторное расслоение $E$. Будем считать, что каждое расслоение Хиггса имеет лежащее в его основе гладкое векторное расслоение. $E$.

• (Расслоения Хиггса) Группа комплексных калибровочных преобразований ${\mathcal {G}}^{\mathbb {C} }$ действует на съемочной площадке ${\mathcal {H}}$ расслоений Хиггса по формуле $g\cdot (E,\Phi )=(g\cdot E,g\Phi g^{-1})$. Если ${\mathcal {H}}^{ss}$ и ${\mathcal {H}}^{s}$ обозначают подмножества полустабильных и стабильных расслоений Хиггса соответственно, тогда получаются пространства модулей
  $$M_{Dol}^{ss}:={\mathcal {H}}^{ss}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{Dol}^{s}:={\mathcal {H}}^{s}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}}$$
  где эти факторы взяты в смысле геометрической теории инвариантов , поэтому орбиты, замыкания которых пересекаются, идентифицируются в пространстве модулей. Эти пространства модулей называются пространствами модулей Дольбо . Обратите внимание, что, установив $\Phi =0$, в качестве подмножеств получаем пространства модулей полустабильных и стабильных голоморфных векторных расслоений $N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}$ и $N_{Dol}^{s}\subset M_{Dol}^{s}$. Верно также, что если определить пространство модулей $M_{Dol}^{ps}$ полистабильных расслоений Хиггса, то это пространство изоморфно пространству полустабильных расслоений Хиггса, так как каждая калибровочная орбита полустабильных расслоений Хиггса содержит в своем замыкании единственную орбиту полистабильных расслоений Хиггса.
• (Плоские связности) Групповые комплексные калибровочные преобразования действуют также на множестве ${\mathcal {A}}$ плоских соединений $\nabla$ на гладком векторном расслоении $E$. Определите пространства модулей
  $$M_{dR}:={\mathcal {A}}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{dR}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},$$
  где ${\mathcal {A}}^{*}$ обозначает подмножество, состоящее из неприводимых плоских связностей $\nabla$ которые не делятся в прямую сумму $\nabla =\nabla _{1}\oplus \nabla _{2}$ на каком-то расщеплении $E=E_{1}\oplus E_{2}$ гладкого векторного расслоения $E$. Эти пространства модулей называются пространствами модулей де Рама .
• (Представления) Множество представлений $\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))$ из фундаментальной группы $X$действует полная линейная группа путем сопряжения представлений. Обозначим верхними индексами $+$ и $*$подмножества, состоящие из полупростых представлений и неприводимых представлений соответственно. Затем определите пространства модулей
  $$M_{B}^{+}=\operatorname {Hom} ^{+}(\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))//G,\qquad M_{B}^{*}=\operatorname {Hom} ^{*}(\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))/G$$
  полупростых и неприводимых представлений соответственно. Эти факторы берутся в смысле геометрической теории инвариантов , где две орбиты идентифицируются, если их замыкания пересекаются. Эти пространства модулей называются пространствами модулей Бетти .

Заявление

Неабелеву теорему Ходжа можно разбить на две части. Первая часть была доказана Дональдсоном в случае расслоений Хиггса второго ранга над компактной римановой поверхностью и вообще Корлеттом. В общем случае неабелева теорема Ходжа справедлива для гладкого комплексного проективного многообразия. $X$, но некоторые части соответствия в более общем плане справедливы для компактных кэлерово многообразий.

Неабелева теорема Ходжа (часть 1) — Представление $\rho :\pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )$ фундаментальной группы полупроста тогда и только тогда, когда плоское векторное расслоение $E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}$допускает гармоническую метрику. Более того, представление неприводимо тогда и только тогда, когда плоское векторное расслоение неприводимо.

Вторая часть теоремы была доказана Хитчиным в случае расслоений Хиггса второго ранга на компактной римановой поверхности и вообще Симпсоном.

Неабелева теорема Ходжа (часть 2) — Расслоение Хиггса $(E,\Phi )$имеет эрмитову метрику Янга–Миллса тогда и только тогда, когда она полистабильна. Эта метрика является гармонической метрикой и, следовательно, возникает из полупростого представления фундаментальной группы тогда и только тогда, когда классы Черна $c_{1}(E)$ и $c_{2}(E)$исчезнуть. Более того, расслоение Хиггса стабильно тогда и только тогда, когда оно допускает неприводимую эрмитову связность Янга – Миллса и, следовательно, происходит из неприводимого представления фундаментальной группы.

В совокупности переписку можно сформулировать следующим образом:

Неабелева теорема Ходжа . Расслоение Хиггса (топологически тривиальное) возникает из полупростого представления фундаментальной группы тогда и только тогда, когда оно полистабильно. Более того, оно возникает из неприводимого представления тогда и только тогда, когда оно устойчиво.

С точки зрения пространств модулей

Неабелевое соответствие Ходжа дает не только биекцию множеств, но и гомеоморфизмы пространств модулей. Действительно, если два расслоения Хиггса изоморфны в том смысле, что они могут быть связаны калибровочным преобразованием и, следовательно, соответствуют одной и той же точке в пространстве модулей Дольбо, то ассоциированные представления также будут изоморфны и будут давать одну и ту же точку в пространстве модулей Дольбо. Пространство модулей Бетти. В терминах пространств модулей неабелева теорема Ходжа может быть сформулирована следующим образом.

Неабелева теорема Ходжа (версия пространства модулей) — существуют гомеоморфизмы. $M_{Dol}^{ss}\cong M_{dR}\cong M_{B}^{+}$ пространств модулей, ограничивающихся гомеоморфизмами $M_{Dol}^{s}\cong M_{dR}^{*}\cong M_{B}^{*}$.

В общем случае эти пространства модулей будут не просто топологическими пространствами , но будут иметь некоторую дополнительную структуру. Например, пространство модулей Дольбо и пространство модулей Бетти. $M_{Dol}^{ss},M_{B}^{+}$ являются естественно комплексными алгебраическими многообразиями , а там, где оно гладко, пространство модулей де Рама $M_{dR}$является римановым многообразием. На общем локусе, где эти пространства модулей гладкие, отображение $M_{dR}\to M_{B}^{+}$ является диффеоморфизмом, и поскольку $M_{B}^{+}$ — комплексное многообразие на гладком локусе, $M_{dR}$ получает совместимую риманову и комплексную структуру и, следовательно, является кэлеровым многообразием.

Аналогично на гладком локусе отображение $M_{B}^{+}\to M_{Dol}^{ss}$является диффеоморфизмом. Однако, хотя пространства модулей Дольбо и Бетти имеют естественную комплексную структуру, они не изоморфны. Действительно, если они обозначены $I,J$ (для соответствующих интегрируемых почти комплексных структур ) тогда $IJ=-JI$. В частности, если определить третью почти сложную структуру формулой $K=IJ$ затем $I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname {Id}$. Если объединить эти три комплексные структуры с римановой метрикой, исходящей из $M_{dR}$, то на гладком локусе пространства модулей становятся гиперкэловым многообразием .

с соответствием Хитчина-Кобаяши и

Смотрите также: переписка Кобаяши-Хитчина

Если задать поле Хиггса $\Phi$нулю, то расслоение Хиггса является просто голоморфным векторным расслоением. Это дает включение $N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}$пространства модулей полустабильных голоморфных векторных расслоений в пространство модулей расслоений Хиггса. Соответствие Хитчина–Кобаяши дает соответствие между голоморфными векторными расслоениями и эрмитовыми связями Янга–Миллса над компактными кэлеровыми многообразиями и, следовательно, может рассматриваться как частный случай неабелева соответствия Ходжа.

Когда базовое векторное расслоение топологически тривиально, голономия эрмитовой связи Янга – Миллса приведет к унитарному представлению фундаментальной группы: $\rho :\pi _{1}(X)\to \operatorname {U} (r)$. Подмножество пространства модулей Бетти, соответствующее унитарным представлениям, обозначается $N_{B}^{+}$, будет изоморфно отображаться в пространство модулей полустабильных векторных расслоений $N_{Dol}^{ss}$.

Примеры

Хиггса первого ранга на компактных

Особый случай, когда ранг базового векторного расслоения равен единице, приводит к более простому соотношению. Во-первых, каждый линейный расслоение устойчив, поскольку не существует собственных ненулевых подпучков. В этом случае расслоение Хиггса состоит из пары $(L,\Phi )$ голоморфного линейного расслоения и голоморфного $(1,0)$-форма, поскольку эндоморфизмы линейного расслоения тривиальны. В частности, поле Хиггса не связано с голоморфным линейным расслоением, поэтому пространство модулей $M_{Dol}$ разделится как произведение, а одноформа автоматически удовлетворяет условию $\Phi \wedge \Phi =0$. Калибровочная группа линейного расслоения коммутативна и поэтому действует тривиально на поле Хиггса. $\Phi$путем конъюгации. Таким образом, пространство модулей можно идентифицировать как произведение

$$M_{Dol}=\operatorname {Jac} (X)\times H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})$$

якобианской разновидности ​ $X$, классифицирующий все голоморфные линейные расслоения с точностью до изоморфизма, и векторное пространство $H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})$ голоморфного $(1,0)$-формы.

В случае расслоений Хиггса ранга один на компактных римановых поверхностях получается дальнейшее описание пространства модулей. Фундаментальная группа компактной римановой поверхности, группа поверхностей , задается формулой

$$\pi _{1}(X)=\langle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}\mid [a_{1},b_{1}]\cdots [a_{g},b_{g}]=e\rangle$$

где $g$— род римановой поверхности. Представления $\pi _{1}(X)$ в общую линейную группу $\operatorname {GL} (1,\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}$ поэтому даны $2g$-кортежи ненулевых комплексных чисел:

$$\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {C} ^{*})=(\mathbb {C} ^{*})^{2g}.$$

С $\mathbb {C} ^{*}$ абелева, сопряжение в этом пространстве тривиально, а пространство модулей Бетти есть $M_{B}=(\mathbb {C} ^{*})^{2g}$. С другой стороны, в силу двойственности Серра пространство голоморфных $(1,0)$-forms двойственна пучковым когомологиям $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Якобианское многообразие — это абелевое многообразие , заданное фактором

$$\operatorname {Jac} (X)={\frac {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}{H^{1}(X,\mathbb {Z} )}},$$

поэтому имеет касательные пространства, заданные векторным пространством $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$, и котангенс

$$T^{*}\operatorname {Jac} (X)=\operatorname {Jac} (X)\times H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})^{*}=\operatorname {Jac} (X)\times H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})=M_{Dol}.$$

То есть пространство модулей Дольбо, пространство модулей голоморфных линейных расслоений Хиггса, представляет собой просто кокасательное расслоение к якобиану, пространство модулей голоморфных линейных расслоений. Таким образом, неабелевое соответствие Ходжа дает диффеоморфизм

$$T^{*}\operatorname {Jac} (X)\cong (\mathbb {C} ^{*})^{2g}$$

который не является биголоморфизмом. Можно проверить, что естественные комплексные структуры в этих двух пространствах различны и удовлетворяют соотношению $IJ=-JI$, дающий гиперкэлерову структуру на кокасательном расслоении к якобиану.

Обобщения

Можно дать определение понятию принципала. $G$-Расслоение Хиггса для комплексной редуктивной алгебраической группы $G$, версия расслоений Хиггса в категории главных расслоений . Существует понятие стабильного принципала , и можно определить стабильный принципал. $G$- Пучок Хиггса. Для этих объектов справедлива версия неабелевой теоремы Ходжа, связывающая главные $G$- Хиггс раскладывает представления фундаментальной группы в $G$.

Ходжа

Соответствие между расслоениями Хиггса и представлениями фундаментальной группы можно сформулировать как своего рода неабелеву теорему Ходжа , то есть аналог разложения Ходжа , кэлерова многообразия но с коэффициентами из неабелевой группы. $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ вместо абелевой группы $\mathbb {C}$. Изложение здесь следует за обсуждением Оскара Гарсиа-Прады в приложении к книге Уэллса « Дифференциальный анализ комплексных многообразий» .

Разложение Ходжа

Разложение Ходжа компактного кэлерова многообразия разлагает комплекс когомологий де Рама на более тонкие когомологии Дольбо :

$$H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{Dol}^{p,q}(X).$$

В первой степени это дает прямую сумму

$$H^{1}(X,\mathbb {C} )=H^{0,1}(X)\oplus H^{1,0}(X)\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\oplus H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})$$

где мы применили теорему Дольбо , чтобы сформулировать когомологии Дольбо в терминах пучковых когомологий пучка голоморфных $(1,0)$-формы ${\boldsymbol {\Omega }}^{1},$ и пучок структур ${\mathcal {O}}_{X}$ голоморфных функций на $X$.

Неабелевы когомологии

При построении пучковых когомологий пучок коэффициентов ${\mathcal {F}}$всегда является пучком абелевых групп. Это связано с тем, что в абелевой группе каждая подгруппа нормальна , поэтому факторгруппа

$${\check {H}}^{k}(X,{\mathcal {F}})=Z^{k}(X,{\mathcal {F}})/B^{k}(X,{\mathcal {F}})$$

пучковых коциклов кограницами пучков всегда четко определена. Когда сноп ${\mathcal {F}}$ не абелева, эти факторы не обязательно четко определены, поэтому теории пучковых когомологий не существуют, за исключением следующих особых случаев:

• $k=0$: 0-я группа когомологий пучка всегда является пространством глобальных сечений пучка. ${\mathcal {F}}$, поэтому всегда четко определен, даже если ${\mathcal {F}}$ является неабелевым.
• $k=1$: 1-й набор когомологий пучка четко определен для неабелева пучка. ${\mathcal {F}}$, но сама по себе она не является факторгруппой .
• $k=2$: В некоторых особых случаях аналог пучковых когомологий второй степени можно определить для неабелевых пучков, используя теорию гербов .

Ключевой пример неабелевых когомологий возникает, когда пучок коэффициентов равен ${\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} )$, пучок голоморфных функций в комплексную общую линейную группу . хорошо известен тот факт, В этом случае из когомологий Чеха что множество когомологий

$${\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))$$

находится во взаимно однозначном соответствии с множеством голоморфных векторных расслоений ранга $r$ на $X$, с точностью до изоморфизма. Заметим, что существует выделенное голоморфное векторное расслоение ранга $r$, тривиальное векторное расслоение, так что на самом деле это когомологий точечное множество . В особом случае $r=1$ общая линейная группа - это абелева группа $\mathbb {C} ^{*}$ненулевых комплексных чисел относительно умножения. В этом случае получается группа голоморфных линейных расслоений с точностью до изоморфизма, иначе известная как группа Пикара .

Ходжа

Первая группа когомологий $H^{1}(X,\mathbb {C} )$ изоморфна группе гомоморфизмов фундаментальной группы $\pi _{1}(X)$ к $\mathbb {C}$. Это можно понять, например, применив теорему Гуревича . Таким образом, упомянутое выше регулярное разложение Ходжа можно сформулировать как

$$\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {C} )\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\oplus H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1}).$$

Неабелевое соответствие Ходжа дает аналог этого утверждения теоремы Ходжа для неабелевых когомологий следующим образом. Расслоение Хиггса состоит из пары $(E,\Phi )$ где $E$ является голоморфным векторным расслоением и $\Phi \in H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1})$ является голоморфным эндоморфизмом со значениями $(1,0)$-форма . Голоморфное векторное расслоение $E$ можно отождествить с элементом ${\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))$как уже упоминалось выше. Таким образом, расслоение Хиггса можно рассматривать как элемент прямого произведения

$$(E,\Phi )\in {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))\oplus H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}).$$

Неабелевое соответствие Ходжа дает изоморфизм из пространства модулей $\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )$-представления фундаментальной группы $\pi _{1}(X)$ к пространству модулей расслоений Хиггса, которое поэтому можно записать как изоморфизм

$$\operatorname {Rep} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))\cong {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))\oplus H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}).$$

Это можно рассматривать как аналогию регулярного разложения Ходжа, приведенного выше. Пространство модулей представлений $\operatorname {Rep} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))$ играет роль первых когомологий $X$ с неабелевыми коэффициентами множество когомологий ${\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))$ играет роль пространства $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$и группа $H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1})$ играет роль голоморфных (1,0)-форм $H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})$.

Здесь изоморфизм записывается $\cong$, но это не настоящий изоморфизм множеств, поскольку пространство модулей расслоений Хиггса не задается буквально прямой суммой, приведенной выше, поскольку это всего лишь аналогия.

Структура Ходжа

См. Также: Структура Ходжа

Пространство модулей $M_{Dol}^{ss}$ полустабильных расслоений Хиггса имеет естественное действие мультипликативной группы $\mathbb {C} ^{*}$, заданное масштабированием поля Хиггса: $\lambda \cdot (E,\Phi )=(E,\lambda \Phi )$ для $\lambda \in \mathbb {C} ^{*}$. Для абелевых когомологий такая $\mathbb {C} ^{*}$действие порождает структуру Ходжа , которая является обобщением разложения Ходжа когомологий компактного кэлерова многообразия. Один из способов понять неабелеву теорему Ходжа — использовать $\mathbb {C} ^{*}$ действие на пространстве модулей $M_{B}^{+}$чтобы получить фильтрацию Ходжа. Это может привести к новым топологическим инвариантам основного многообразия. $X$. Например, таким образом получаются ограничения на то, какие группы могут выступать в качестве фундаментальных групп компактных кэлерово многообразий.