Крепление манометра

В физике калибровочных теорий степенями фиксация калибровки (также называемая выбором калибровки ) обозначает математическую процедуру, позволяющую справиться с избыточными свободы в полевых переменных. По определению, калибровочная теория представляет каждую физически отличную конфигурацию системы как класс эквивалентности детальных конфигураций локального поля. Любые две детальные конфигурации в одном классе эквивалентности связаны определенным преобразованием, эквивалентным сдвигу по нефизическим осям в конфигурационном пространстве. Большинство количественных физических предсказаний калибровочной теории можно получить только при наличии последовательного предписания по подавлению или игнорированию этих нефизических степеней свободы.

Хотя нефизические оси в пространстве детальных конфигураций являются фундаментальным свойством физической модели, не существует специального набора направлений, «перпендикулярных» им. Следовательно, существует огромная свобода в выборе «поперечного сечения», представляющего каждую физическую конфигурацию конкретной подробной конфигурацией (или даже их взвешенным распределением). Разумное определение калибра может значительно упростить расчеты, но становится все сложнее по мере того, как физическая модель становится более реалистичной; его применение к квантовой теории поля чревато сложностями, связанными с перенормировкой , особенно когда вычисления продолжаются до более высоких порядков . Исторически поиск логически непротиворечивых и вычислительно доступных процедур определения калибровок, а также попытки продемонстрировать их эквивалентность перед лицом ошеломляющего разнообразия технических трудностей были основной движущей силой математической физики с конца девятнадцатого века до настоящего времени.

Свобода измерения

Архетипической калибровочной теорией является сплошной среды Хевисайда - Гиббса формулировка электродинамики в терминах электромагнитного четырехпотенциала , которая представлена ​​здесь в асимметричных пространственно-временных обозначениях Хевисайда. Электрическое поле E и магнитное поле B уравнений Максвелла содержат только «физические» степени свободы в том смысле, что каждая математическая степень свободы в конфигурации электромагнитного поля оказывает отдельно измеримое влияние на движение пробных зарядов поблизости. Эти переменные «напряженности поля» можно выразить через электрический скалярный потенциал. $\varphi$ и магнитный векторный потенциал A через соотношения:

$${\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }.$$

Если преобразование

$$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$$

( 1 )

производится, то B остается неизменным, так как (с тождеством $\nabla \times \nabla \psi =0$)

$${\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }.$$

Однако это преобразование меняет E в соответствии с

$$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}.$$

Если еще одно изменение

$$\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}$$

( 2 )

производится, то E также остается прежним. Следовательно, поля E и B не изменятся, если взять любую функцию ψ ( r , t ) и одновременно преобразовать A и φ посредством преобразований ( 1 ) и ( 2 ).

Конкретный выбор скалярного и векторного потенциалов представляет собой калибровку (точнее, калибровочный потенциал ), а скалярная функция ψ, используемая для изменения калибровки, называется калибровочной функцией . Существование произвольного числа калибровочных функций ψ ( r , t ) соответствует U(1) калибровочной свободе этой теории. Крепление манометра можно выполнить разными способами, некоторые из которых мы продемонстрируем ниже.

Хотя о классическом электромагнетизме сейчас часто говорят как о калибровочной теории, изначально он не задумывался в этих терминах. На движение классического точечного заряда влияет только напряженность электрического и магнитного поля в этой точке, а потенциалы можно рассматривать как простой математический аппарат для упрощения некоторых доказательств и расчетов. Лишь с появлением квантовой теории поля можно было сказать, что потенциалы сами по себе являются частью физической конфигурации системы. Самым ранним последствием, которое было точно предсказано и экспериментально проверено, был эффект Ааронова-Бома , не имеющий классического аналога. Тем не менее, в этих теориях по-прежнему сохраняется калибровочная свобода. Например, эффект Ааронова – Бома зависит от линейного интеграла от A по замкнутому контуру, и этот интеграл не изменяется при

$$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.$$

Установка калибровки в неабелевых калибровочных теориях, таких как теория Янга – Миллса и общая теория относительности , является гораздо более сложной темой; подробнее см. «Неоднозначность Грибова» , «Призрак Фаддеева–Попова» и «Расслоение фреймов» .

Иллюстрация

Фиксация манометра скрученного цилиндра. (Примечание: линия находится на поверхности цилиндра, а не внутри него.)

В качестве иллюстрации крепления манометра можно посмотреть на цилиндрический стержень и попытаться определить, скручен ли он. Если стержень идеально цилиндрический, то круговая симметрия поперечного сечения не позволяет определить, скручен он или нет. Однако если бы по длине стержня была проведена прямая линия, то можно было бы легко сказать, есть ли перекручивание, глядя на состояние линии. Рисование линии – это фиксация калибра . Проведение линии нарушает калибровочную симметрию, т. е. круговую симметрию U(1) сечения в каждой точке стержня. Линия является эквивалентом калибровочной функции ; оно не обязательно должно быть прямым. Почти любая линия является допустимой калибровкой, т. е. существует большая свобода колеи . Таким образом, чтобы определить, скручен ли стержень, необходимо знать калибр. Физические величины, такие как энергия кручения, не зависят от калибровки, т. е. являются калибровочно-инвариантными .

Кулоновская калибровка

Кулоновская калибровка (также известная как поперечная калибровка ) используется в квантовой химии и физике конденсированного состояния и определяется калибровочным условием (точнее, условием фиксации калибровки)

$$\nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.$$

Это особенно полезно для «полуклассических» расчетов в квантовой механике, в которых векторный потенциал квантуется, а кулоновское взаимодействие — нет.

Кулоновская калибровка обладает рядом свойств:

1. Потенциалы могут быть выражены через мгновенные значения полей и плотностей (в Международной системе единиц ).
   $$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {\rho } (\mathbf {r} ',t)}{R}}d^{3}\mathbf {r} '$$
   $$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\nabla \times \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}d^{3}\mathbf {r} '$$
   где ρ ( r , t ) — плотность электрического заряда, $\mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} '$ и $R=\left|\mathbf {R} \right|$ (где r — любой вектор положения в пространстве, а r ′ — точка распределения заряда или тока), $\nabla$ действует на r и d ³  r — элемент объема в точке r .

   На первый взгляд кажется, что мгновенная природа этих потенциалов нарушает причинность , поскольку движения электрического заряда или магнитного поля возникают повсюду мгновенно как изменения потенциалов. Это обосновано тем, что сами скалярный и векторный потенциалы не влияют на движение зарядов, а лишь комбинации их производных, образующих напряженность электромагнитного поля. Хотя можно явно вычислить напряженность поля в кулоновской калибровке и продемонстрировать, что изменения в ней распространяются со скоростью света, гораздо проще заметить, что напряженность поля не меняется при калибровочных преобразованиях, и продемонстрировать причинность в явно лоренц-ковариантном Лоренце манометр описан ниже.

   другое выражение для векторного потенциала через запаздывающую во времени плотность электрического тока J ( r , t ) : Было получено

   $$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\nabla \times \int \left[\int _{0}^{R/c}\tau \,{\frac {{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t-\tau )}\times {\mathbf {R} }}{R^{3}}}\,d\tau \right]d^{3}\mathbf {r} '.$$
2. Дальнейшие калибровочные преобразования, сохраняющие калибровочное условие Кулона, могут быть выполнены с калибровочными функциями, удовлетворяющими ∇ ² ψ = 0 , но поскольку единственным решением этого уравнения, которое обращается в нуль на бесконечности (где все поля должны обращаться в нуль), является ψ ( r , t ) = 0 , никакого калибровочного произвола не остается. Из-за этого кулоновская калибровка называется полной калибровкой, в отличие от калибровок, в которых сохраняется некоторая калибровочная произвольность, таких как калибровка Лоренца ниже.
3. Кулоновская калибровка является минимальной калибровкой в ​​том смысле, что интеграл от A ² по всему пространству минимальна для этой калибровки: все остальные калибровки дают больший интеграл. Минимальное значение, данное кулоновской калибровкой, равно
   $$\int \mathbf {A} ^{2}(\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\iint {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {r} '.$$
4. В областях, далеких от электрического заряда, скалярный потенциал становится равным нулю. Это известно как датчик радиации . электромагнитное излучение . В этом датчике впервые было квантовано
5. Кулоновская калибровка допускает естественную гамильтонову формулировку уравнений эволюции электромагнитного поля, взаимодействующего с сохраняющимся током: что является преимуществом для квантования теории. Однако кулоновская калибровка не является лоренц-ковариантной. Если преобразование Лоренца выполняется в новую инерциальную систему отсчета, необходимо выполнить дальнейшее калибровочное преобразование, чтобы сохранить кулоновское калибровочное условие. По этой причине кулоновская калибровка не используется в ковариантной теории возмущений, которая стала стандартной для рассмотрения релятивистских квантовых теорий поля, таких как квантовая электродинамика (КЭД). В этих теориях обычно используются лоренц-ковариантные калибровки, такие как калибровка Лоренца. Амплитуды физических процессов в КЭД в нековариантной кулоновской калибровке совпадают с амплитудами в ковариантной калибровке Лоренца.
6. Для однородного и постоянного магнитного поля B векторный потенциал в кулоновской калибровке можно выразить в так называемой симметричной калибровке как
   $${\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {1}{2}}\mathbf {r} \times \mathbf {B}$$
   плюс градиент любого скалярного поля (калибровочная функция), что можно подтвердить, вычислив div и ротор A . Расходимость А на бесконечности является следствием нефизического предположения, что магнитное поле однородно во всем пространстве. Хотя этот векторный потенциал в целом нереалистичен, он может обеспечить хорошее приближение к потенциалу в конечном объеме пространства, в котором магнитное поле однородно. Другим распространенным выбором для однородных постоянных полей является калибровка Ландау (не путать с калибровкой R _ξ Ландау из следующего раздела), где $\mathbf {B} =B{\hat {z}}$ и
   $$\mathbf {A} =B(\mathbf {r} \cdot {\hat {x}}){\hat {y}},$$
   где ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$ являются унитарными векторами декартовой системы координат (ось z ориентирована по магнитному полю).
7. Вследствие вышеизложенных соображений электромагнитные потенциалы могут быть выражены в наиболее общих формах через электромагнитные поля как
   $$\varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\nabla '\cdot {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '-{\frac {\partial {\psi (\mathbf {r} ,t)}}{\partial t}}$$
   $$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\nabla \times \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '+\nabla \psi (\mathbf {r} ,t)$$
   где ψ ( r , t ) — произвольное скалярное поле, называемое калибровочной функцией. Поля, являющиеся производными калибровочной функции, известны как чистые калибровочные поля, а произвол, связанный с калибровочной функцией, известен как калибровочная свобода. В правильно выполненном расчете чистые калибровочные члены не оказывают влияния ни на одну физическую наблюдаемую. Величина или выражение, которое не зависит от калибровочной функции, называется калибровочно-инвариантным: все физические наблюдаемые должны быть калибровочно-инвариантными. Калибровочное преобразование из кулоновской калибровки в другую калибровку осуществляется путем принятия калибровочной функции в качестве суммы определенной функции, которая даст желаемое калибровочное преобразование и произвольную функцию. Если затем произвольная функция приравнивается к нулю, говорят, что калибровка фиксирована. Расчеты могут проводиться в фиксированной калибровке, но они должны выполняться способом, инвариантным по калибровке.

Манометр Лоренца

Основная статья: Состояние калибровки Лоренца

Смотрите также: Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

Калибр Лоренца определяется в СИ единицах следующим образом:

$$\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$$

и в гауссовских единицах :

$$\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.$$

Это можно переписать как:

$$\partial _{\mu }A^{\mu }=0.$$

где $A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]$ — электромагнитный четырехпотенциал , ∂ _µ — 4-градиент [с использованием метрической сигнатуры (+, −, −, −)].

Он уникален среди калибровок ограничений тем, что сохраняет явную лоренц-инвариантность . Однако обратите внимание, что этот датчик первоначально был назван в честь датского физика Людвига Лоренца , а не в честь Хендрика Лоренца ; его часто пишут с ошибкой «калибровка Лоренца». (Ни один из них не был первым, кто использовал его в расчетах; он был введен в 1888 году Джорджем Фрэнсисом Фитцджеральдом .)

Калибровка Лоренца приводит к следующим неоднородным волновым уравнениям для потенциалов:

$${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$$

$${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J}$$

Из этих уравнений видно, что в отсутствие тока и заряда решениями являются потенциалы, распространяющиеся со скоростью света.

Калибровка Лоренца в некотором смысле неполна : остается подпространство калибровочных преобразований, которое также может сохранять ограничение. Эти оставшиеся степени свободы соответствуют калибровочным функциям, удовлетворяющим волновому уравнению

$${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi$$

Эти оставшиеся калибровочные степени свободы распространяются со скоростью света. Чтобы получить полностью фиксированную калибровку, необходимо добавить граничные условия вдоль светового конуса экспериментальной области.

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца упрощаются до

$$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }$$

где $j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]$ является четырехтоковым .

Два решения этих уравнений для одной и той же конфигурации тока отличаются решением вакуумно-волнового уравнения

$$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0.$$

В этой форме ясно, что компоненты потенциала по отдельности удовлетворяют уравнению Клейна – Гордона и, следовательно, калибровочное условие Лоренца допускает поперечно, продольно и «времяподобные» поляризованные волны в четырехпотенциале. Поперечные поляризации соответствуют классическому излучению, т. е. поперечно поляризованным волнам напряженности поля. Чтобы подавить «нефизические» продольные и времяподобные состояния поляризации, которые не наблюдаются в экспериментах на классических масштабах расстояний, необходимо также использовать вспомогательные ограничения, известные как тождества Уорда . Классически эти тождества эквивалентны уравнению неразрывности

$$\partial _{\mu }j^{\mu }=0.$$

Многие различия между классической и квантовой электродинамикой можно объяснить той ролью, которую продольная и времяподобная поляризации играют во взаимодействиях между заряженными частицами на микроскопических расстояниях.

R _ξ датчики

Калибры R _ξ представляют собой обобщение калибровки Лоренца, применимое к теориям, выраженным в терминах принципа действия с лагранжевой плотностью. ${\mathcal {L}}$. Вместо того, чтобы фиксировать калибровку путем ограничения калибровочного поля априорного с помощью вспомогательного уравнения, нарушающий к «физическому» (калибровочно-инвариантному) лагранжиану добавляется член, калибровку.

$$\delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}$$

Выбор параметра ξ определяет выбор калибровки. Калибровка R _ξ Ландау классически эквивалентна калибровке Лоренца: она получается в пределе ξ → 0, но откладывает переход к этому пределу до тех пор, пока теория не будет квантована. Это повышает строгость некоторых доказательств существования и эквивалентности. Большинство вычислений квантовой теории поля проще всего проводить в калибровке Фейнмана – Хофта , в которой ξ = 1 ; некоторые из них более удобны в других калибровках R _ξ , таких как Йенни калибровка ξ = 3 .

Эквивалентная формулировка калибровки R _ξ использует вспомогательное поле , скалярное поле B без независимой динамики:

$$\delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}$$

Вспомогательное поле, иногда называемое полем Наканиши – Лаутрупа , можно исключить, «дополнив квадрат», чтобы получить предыдущую форму. С математической точки зрения вспомогательное поле представляет собой разновидность бозона Голдстоуна , и его использование имеет преимущества при выявлении асимптотических состояний теории и особенно при обобщении за пределы КЭД.

Исторически использование датчиков R _ξ было значительным техническим достижением в расширении квантовой электродинамики вычислений за пределы однопетлевого порядка . Помимо сохранения явной лоренц-инвариантности , рецепт R _ξ нарушает симметрию при локальных калибровочных преобразованиях , сохраняя при этом отношение функциональных мер любых двух физически различных калибровочных конфигураций . Это допускает замену переменных, при которой бесконечно малые возмущения вдоль «физических» направлений в конфигурационном пространстве полностью отделены от возмущений вдоль «нефизических» направлений, позволяя последним поглощаться физически бессмысленной нормализацией функционального интеграла . Когда ξ конечно, каждая физическая конфигурация (орбита группы калибровочных преобразований) представляется не единственным решением уравнения связи, а гауссовым распределением с центром в экстремуме калибровочного члена. С точки зрения правил Фейнмана теории с фиксированной калибровкой это выглядит как вклад в Распространитель фотонов для внутренних линий из виртуальных фотонов нефизической поляризации .

Пропагатор фотонов, который является мультипликативным фактором, соответствующим внутреннему фотону в разложении диаграммы Фейнмана расчета КЭД, содержит коэффициент g _µν, соответствующий метрике Минковского . Разложение этого множителя как суммы по поляризациям фотонов включает члены, содержащие все четыре возможные поляризации. Поперечно поляризованное излучение можно выразить математически как сумму по линейной или циркулярной поляризации . Точно так же можно объединить продольную и времениподобную калибровочную поляризации, чтобы получить «прямую» и «обратную» поляризации; это форма координат светового конуса , в которой метрика недиагональна. Разложение фактора g _µν по координатам циркулярной поляризации (спин ±1) и светового конуса называется спиновой суммой . Спиновые суммы могут быть очень полезны как для упрощения выражений, так и для получения физического понимания экспериментальных эффектов, связанных с различными членами в теоретических расчетах.

Ричард Фейнман использовал примерно эти аргументы в основном для обоснования процедур вычислений, которые давали последовательные, конечные и высокоточные результаты для важных наблюдаемых параметров, таких как аномальный магнитный момент электрона. Хотя его аргументам иногда не хватало математической строгости даже по стандартам физиков и замалчивались такие детали, как вывод тождеств Уорда – Такахаши квантовой теории, его расчеты работали, и Фримен Дайсон вскоре продемонстрировал, что его метод по существу эквивалентен методам Джулиана Швингера. и Син-Итиро Томонага , с которым Фейнман разделил Нобелевскую премию по физике 1965 года .

Излучение прямой и обратной поляризации можно исключить в асимптотических состояниях квантовой теории поля (см. тождество Уорда – Такахаши ). По этой причине, а также потому, что их появление в спиновых суммах можно рассматривать как простой математический аппарат в КЭД (очень похоже на электромагнитный четырехпотенциал в классической электродинамике), о них часто говорят как о «нефизических». Но в отличие от описанных выше процедур установления калибровки на основе ограничений, калибровка R _ξ хорошо обобщается на неабелевы калибровочные группы, такие как SU(3) из КХД . Связи между физическими и нефизическими осями возмущений не исчезают полностью при соответствующей замене переменных; для получения правильных результатов необходимо учитывать нетривиальный якобиан вложения осей калибровочной свободы в пространство детальных конфигураций. Это приводит к явному появлению в диаграммах Фейнмана калибровочных бозонов с прямой и обратной поляризацией, а также призраков Фаддеева–Попова , которые еще более «нефизичны», поскольку нарушают закон теорема о спин-статистике . Связь между этими объектами и причины, по которым они не проявляются как частицы в квантово-механическом смысле, становятся более очевидными в БРСТ-формализме квантования.

абелева

В любой неабелевой калибровочной теории любая максимальная абелева калибровка является неполной калибровкой, фиксирующей калибровочную свободу вне максимальной абелевой подгруппы . Примеры:

• Для калибровочной теории SU(2) в D измерениях максимальная абелева подгруппа является подгруппой U(1). Если выбрана калибровка, порожденная матрицей Паули σ3 _, то максимальная абелева калибровка — это та, которая максимизирует функцию
  $$\int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,$$
  где
  $${\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.$$
• Для калибровочной теории SU(3) в D измерениях максимальная абелева подгруппа представляет собой подгруппу U(1)×U(1). Если выбрана матрица, порожденная матрицами Гелл-Манна λ ₃ и λ ₈ , то максимальная абелева калибровка — это та, которая максимизирует функцию
  $$\int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,$$
  где
  $${\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}$$

Это регулярно применяется в высших алгебрах (группах алгебр), например, в алгебре Клиффорда, и так же регулярно.

Менее часто используемые датчики

В литературе появились различные другие меры, которые могут быть полезны в конкретных ситуациях.

Калибр Вейля

Калибровка Вейля (также известная как гамильтониан или временная калибровка ) — неполная калибровка, полученная выбором

$$\varphi =0$$

Он назван в честь Германа Вейля . отрицательной нормы Он устраняет призрак , лишен явной лоренц-инвариантности и требует продольных фотонов и ограничений на состояния.

Многополярный датчик

Калибровочное состояние многополярной калибровки (также известной как линейная калибровка , точечная калибровка или калибровка Пуанкаре (названной в честь Анри Пуанкаре )) таково:

$$\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0.$$

Это еще одна калибровка, в которой потенциалы можно просто выразить через мгновенные поля.

$$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \times \int _{0}^{1}\mathbf {B} (u\mathbf {r} ,t)u\,du$$

$$\varphi (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \cdot \int _{0}^{1}\mathbf {E} (u\mathbf {r} ,t)du.$$

Калибр стрелы – Швингера

Калибровочное условие калибровки Фока – Швингера (названной в честь Владимира Фока и Джулиана Швингера ; иногда также называемой релятивистской калибровкой Пуанкаре ):

$$x^{\mu }A_{\mu }=0$$

где х ^м это положение четырех-вектора .

Манометр Дирака

Нелинейное калибровочное условие Дирака (названное в честь Поля Дирака ):

$$A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}$$

Дальнейшее чтение

• Ландау, Лев ; Лифшиц, Евгений (2007). Классическая теория полей . Амстердам: Эльзевир Баттерворт Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-2768-9 .
• Джексон, JD (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN  0-471-30932-Х .