Полюс Ландау

В физике полюс Ландау (или московский ноль , или призрак Ландау ) - это масштаб импульса (или энергии), при котором константа связи (сила взаимодействия) квантовой теории поля становится бесконечной. На такую ​​возможность указали физик Лев Ландау и его коллеги. Тот факт, что связи зависят от масштаба импульса (или длины), является центральной идеей, лежащей в основе ренормгруппы .

Полюсы Ландау появляются в теориях, которые не являются асимптотически свободными , таких как квантовая электродинамика (КЭД) или φ ⁴ теория — скалярное поле с взаимодействием четвертой степени — такое, которое может описать бозон Хиггса . В этих теориях перенормированная константа связи растет с энергией. Полюс Ландау появляется, когда связь становится бесконечной в конечном масштабе энергии. В теории, претендующей на завершенность, это можно было бы считать математической несогласованностью. Возможное решение состоит в том, что перенормированный заряд может стать нулевым при удалении обрезания, а это означает, что заряд полностью экранируется квантовыми флуктуациями ( вакуумная поляризация ). Это случай квантовой тривиальности , это означает, что квантовые поправки полностью подавляют взаимодействия в отсутствие обрезания.

Поскольку полюс Ландау обычно идентифицируется посредством пертурбативных однопетлевых или двухпетлевых вычислений, возможно, что полюс является просто признаком того, что пертурбативное приближение нарушается при сильной связи. Теория возмущений также может оказаться недействительной, если существуют неадиабатические состояния . Калибровочная теория решетки предоставляет средства для решения вопросов квантовой теории поля, выходящих за рамки теории возмущений, и поэтому использовалась для попытки решить этот вопрос.

Численные расчеты, выполненные в этой рамках, похоже, подтверждают вывод Ландау о том, что в КЭД перенормированный заряд полностью исчезает при бесконечном обрезании.

Краткая история

По мнению Ландау, Абрикосова и Халатникова , связь наблюдаемого заряда g _obs с «затравленным» зарядом g ₀ для перенормируемых теорий поля, когда Λ ≫ m, определяется выражением

$$g_{\text{obs}}={\frac {g_{0}}{1+\beta _{2}g_{0}\ln \Lambda /m}}$$

( 1 )

где m — масса частицы, а Λ — обрезание импульса. Если g ₀ < ∞ и Λ → ∞, то g _obs → 0 и теория выглядит тривиальной. Фактически, инвертируя уравнение 1 , так что g ₀ (связанный с масштабом длины Λ ⁻¹ ) показывает точное gobs _{значение} ,

$$g_{0}={\frac {g_{\text{obs}}}{1-\beta _{2}g_{\text{obs}}\ln \Lambda /m}}.$$

( 2 )

По мере роста Λ затравочный заряд g ₀ = g (Λ) увеличивается и, наконец, расходится в точке перенормировки

$$\Lambda _{\text{Landau}}=m\exp \left[{\frac {1}{\beta _{2}g_{\text{obs}}}}\right].$$

( 3 )

Эта особенность представляет собой полюс Ландау с отрицательным вычетом , g (Λ) ≈ −Λ _Ландау / ( β ₂ (Λ − Λ _Ландау )) .

Однако на самом деле рост g ₀ недействительными делает уравнения . 1 , 2 в области g ₀ ≈ 1 , так как они были получены для g ₀ ≪ 1 , так что непертурбативное существование полюса Ландау становится сомнительным.

Реальное поведение заряда g ( µ ) в зависимости от масштаба импульса µ определяется Гелл-Манна – Лоу уравнением

$${\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} \ln \mu }}=\beta (g)=\beta _{2}g^{2}+\beta _{3}g^{3}+\cdots$$

( 4 )

что дает уравнения 1 , 2 , если оно интегрируется при условиях g ( µ ) = g _obs для µ = m и g ( µ ) = g ₀ для µ = Λ только член с β ₂ , когда в правой части сохраняется . Общее поведение g ( µ ) зависит от вида функции β ( g ) .

По классификации Боголюбова и Ширкова, есть три качественно различных случая:

1. если β ( g ) имеет нуль при конечном значении g ^∗ , то рост g является насыщенным, т.е. g ( µ ) → g ^∗ при µ → ∞ ;
2. если β ( g ) не является переменным и ведет себя как β ( g ) ∝ g ^а при α ≤ 1 для больших g рост g ( µ ) продолжается до бесконечности;
3. если β ( г ) ∝ г ^а при α > 1 для больших g , то g ( µ ) расходится при конечном значении µ ₀ и возникает реальный полюс Ландау: теория внутренне противоречива из-за неопределенности g ( µ ) при µ > µ ₀ .

Ландау и Померанчук попытался обосновать возможность (в) в случае КЭД и φ ⁴ теория. Они отметили, что рост g ₀ в уравнении. 1 доводит наблюдаемый заряд g _obs до постоянного предела, который не зависит от g ₀ . Такое же поведение можно получить и из функциональных интегралов, опуская в действии квадратичные члены. Если пренебрежение квадратичными членами справедливо уже для g ₀ ≪ 1 , то оно тем более справедливо для g ₀ порядка или большего единицы: это дает повод рассмотреть уравнение (2). 1 справедливо для произвольного g ₀ . Справедливость этих соображений на количественном уровне исключается неквадратичной формой β -функции.

Тем не менее качественно они могут быть правильными. Действительно, результат g _obs = const( g ₀ ) может быть получен из функциональных интегралов только для g ₀ ≫ 1 , тогда как его справедливость для g ₀ ≪ 1 на основе уравнения ( 1 , может быть связано с другими причинами; при g ₀ ≈ 1 этот результат, вероятно, нарушается, но из условия сшивки можно ожидать совпадения двух значений констант по порядку величины. Результаты -Карло Монте кажется, подтверждает качественную обоснованность аргументов Ландау–Померанчука, хотя возможна и другая интерпретация.

Случай (с) в классификации Боголюбова и Ширкова соответствует квантовой тривиальности в полной теории (вне контекста ее возмущений), как это можно увидеть с помощью доведения до абсурда . Действительно, если g _obs < ∞ , теория внутренне противоречива. Единственный способ избежать этого — использовать µ ₀ → ∞ , что возможно только при g _obs → 0 . Это широко распространенное убеждение что и КЭД, и φ ⁴ теории тривиальны в континуальном пределе .

Феноменологические аспекты

В теории, предназначенной для представления физического взаимодействия, где константа связи, как известно, не равна нулю, полюсы Ландау или тривиальность могут рассматриваться как признак неполноты теории . Например, в QED обычно не верят. быть полной теорией сама по себе, поскольку она не описывает другие фундаментальные взаимодействия и содержит полюс Ландау. Традиционно КЭД является частью более фундаментальной электрослабой теории . Группа U(1) _Y электрослабой теории также имеет полюс Ландау, который обычно считают быть сигналом о необходимости окончательного внедрения в Теорию Великого Объединения . Масштаб Великого объединения обеспечил бы естественное отсечение значительно ниже масштаба Ландау, предотвращая появление наблюдаемых физических последствий полюса.

Проблема полюса Ландау в КЭД представляет чисто академический интерес по следующей причине. Роль gobs _в уравнениях . 1 , 2 играет постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137 , а масштаб Ландау для КЭД оценивается как 10 ²⁸⁶ эВ , что выходит далеко за рамки любой энергетической шкалы, имеющей отношение к наблюдаемой физике. Для сравнения: максимальные энергии, доступные на Большом адронном коллайдере, составляют порядка 10. ¹³ эВ , в то время как планковский масштаб , при котором квантовая гравитация становится важной и актуальность самой квантовой теории поля может быть поставлена ​​под сомнение, составляет 10 эВ . ²⁸ эВ .

Бозон Хиггса в Стандартной модели физики элементарных частиц описывается φ ⁴ теория (см. Квартическое взаимодействие ). Если последний имеет полюс Ландау, то этот факт используется при установлении «границы тривиальности» массы Хиггса. Граница зависит от масштаба, в котором предполагается появление новой физики, и максимального разрешенного значения квартической связи (ее физическое значение неизвестно). Для больших связей необходимы непертурбативные методы. Это может даже привести к предсказуемой массе Хиггса в асимптотических сценариях безопасности . Решеточные расчеты также оказались полезными в этом контексте.

со

Более глубокое понимание физического смысла и обобщениеПроцесс перенормировки, приводящий к полюсам Ландау, исходит из физики конденсированного состояния. В статье Лео П. Каданова в 1966 году была предложена ренормгруппа «блочного спина». Идея блокировки — это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как совокупность компонентов на более коротких расстояниях. Этот подход был разработан Кеннетом Уилсоном . За этот решающий вклад в 1982 году он был удостоен Нобелевской премии.

Предположим, что у нас есть теория, описываемая некоторой функцией Z переменных состояния { s _i } и набором констант связи { J _k } . Эта функция может быть статистической суммой , действием или гамильтонианом .Рассмотрим определенное блокирующее преобразование переменных состояния { s _i } → { ~ s _i } , число ~ s _i должно быть меньше количества s _i . Теперь попробуем переписать Z только через ~ s _i . Если это достижимо некоторым изменением параметров { J _k } → { ~ J _k } , то теория называется перенормируемой . Самой важной информацией в потоке РГ являются его неподвижные точки . Возможные макроскопические состояния системы в большом масштабе задаются этим набором фиксированных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовую тривиальность и обладает полюсом Ландау. Многочисленные неподвижные точки появляются при изучении решеточных теорий Хиггса , но неизвестно, соответствуют ли они теориям свободного поля.

большого

Решение задачи полюса Ландау требует расчета функции Гелла-Манна–Лоу β ( g ) при произвольном g и, в частности, ее асимптотического поведения при g → ∞ . Диаграммные расчеты позволяют получить лишь несколько коэффициентов разложения β ₂ , β ₃ , ... , что не позволяет исследовать β- функцию в целом. Прогресс стал возможен после разработки метода Липатова для расчета больших порядков теории возмущений: Теперь можно попытаться интерполировать известные коэффициенты β ₂ , β ₃ , ... с их поведением большого порядка, а затем суммировать ряды возмущений.

Первые попытки восстановления β- функции этим методом основываются на тривиальности φ ⁴ теория. Применение более совершенных методов суммирования позволило получить показатель степени α в асимптотическом поведении β ( g ) ∝ g ^а , значение, близкое к единице. Гипотеза об асимптотическом поведении β ( g ) ∝ g была недавно представлена ​​аналитически для φ ⁴ теория и КЭД. Вместе с положительностью β ( g ) , полученной суммированием ряда, это предполагает случай (б) приведенной выше классификации Боголюбова и Ширкова и, следовательно, отсутствие полюса Ландау в этих теориях в предположении справедливости теории возмущений (см. обсуждение выше во введении).

См. также

• Масса полюса
• Квантовая тривиальность