Квартическое взаимодействие

В квантовой теории поля квартическое взаимодействие — это тип самодействия в скалярном поле . Другие типы квартических взаимодействий можно найти в теме четырехфермионных взаимодействий . Классическое свободное скалярное поле $\varphi$ удовлетворяет уравнению Клейна–Гордона . Если скалярное поле обозначается $\varphi$ , взаимодействие четвертой степени представляется добавлением члена потенциальной энергии $({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}$ к лагранжевой плотности . связи Константа $\lambda$ безразмерен пространстве в 4-мерном -времени .

В этой статье используется $(+---)$ метрическая сигнатура пространства Минковского .

Лагранжиан реального скалярного поля

Плотность лагранжиана для реального скалярного поля с взаимодействием четвертой степени равна

{\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.

Этот лагранжиан имеет глобальное Z2 _. отображение симметрии $\varphi \to -\varphi$ .

Лагранжиан комплексного скалярного поля

Лагранжиан для комплексного скалярного поля можно мотивировать следующим образом. Для двух скалярных полей $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ лагранжиан имеет вид

{\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},

которое можно записать более кратко, введя комплексное скалярное поле $\phi$ определяется как

\phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),

\phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).

Выраженный через это комплексное скалярное поле, приведенный выше лагранжиан становится

{\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},

что, таким образом, эквивалентно модели SO(2) реальных скалярных полей $\varphi _{1},\varphi _{2}$ , как можно увидеть, разложив комплексное поле $\phi$ в действительной и мнимой частях.

С $N$ реальные скалярные поля, мы можем иметь $\varphi ^{4}$ модель с глобальной SO(N) -симметрией, заданной лагранжианом

{\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.

Разложение комплексного поля на действительную и мнимую части показывает, что оно эквивалентно модели действительных скалярных полей SO(2).

Во всех вышеприведенных моделях константа связи $\lambda$ должно быть положительным, так как в противном случае потенциал был бы неограниченным снизу и не было бы устойчивого вакуума. Кроме того, обсуждаемый ниже интеграл по путям Фейнмана будет неточно определен. В 4 измерениях, $\phi ^{4}$ теории имеют полюс Ландау . Это означает, что без обрезания в масштабе высоких энергий перенормировка сделала бы теорию тривиальной .

The $\phi ^{4}$ модель относится к классу Гриффитса-Саймона, ^[1] это означает, что его также можно представить как слабый предел модели Изинга на графе определенного типа. Тривиальность обоих $\phi ^{4}$ модель и модель Изинга в $d\geq 4$ может быть показано с помощью графического представления, известного как разложение случайного тока. ^[2]

Фейнмановское интегральное квантование

Разложение диаграммы Фейнмана может быть получено также из формулировки интеграла по траекториям Фейнмана . ^[3] вакуумные Упорядоченные по времени средние значения полиномов от φ, известные как n -частичные функции Грина, строятся путем интегрирования по всем возможным полям, нормализованным вакуумным средним значением без внешних полей.

\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda  \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda  \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.

Все эти функции Грина могут быть получены путем разложения экспоненты в J ( x )φ( x ) в производящую функцию

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda  \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .

Вращение фитиля можно применить, чтобы сделать время мнимым. Изменение подписи на (++++) дает φ ⁴ статистическая механика интеграл по 4-мерному евклидову пространству ,

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda  \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.

Обычно это применяется к рассеянию частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае преобразование Фурье полезно , дающее вместо этого

{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda  \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.

где $\delta (x)$ – дельта-функция Дирака .

Стандартный прием вычисления этого функционального интеграла состоит в том, чтобы схематически записать его как произведение экспоненциальных множителей:

{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].

Вторые два экспоненциальных множителя можно разложить в виде степенного ряда , а комбинаторику этого разложения можно представить графически. Интеграл с λ = 0 можно рассматривать как произведение бесконечного числа элементарных гауссовских интегралов, а результат можно выразить как сумму диаграмм Фейнмана , рассчитанную по следующим правилам Фейнмана:

Каждое поле ${\tilde {\phi }}(p)$ в n -точке евклидова функция Грина представлена внешней линией (полуребром) на графике и связана с импульсом p .
Каждая вершина представлена фактором -λ .
При заданном порядке λ ^к, все диаграммы с n внешними линиями и k вершинами построены так, что импульсы, входящие в каждую вершину, равны нулю. Каждая внутренняя линия представлена коэффициентом 1/( q ² + м ²), где q — импульс, текущий через эту линию.
Любые неограниченные импульсы интегрируются по всем значениям.
Результат делится на коэффициент симметрии, который представляет собой количество способов перестановки линий и вершин графа без изменения его связности.
Не включайте графики, содержащие «пузыри вакуума», связанные подграфы без внешних линий.

Последнее правило учитывает эффект деления на ${\tilde {Z}}[0]$ . Правила Фейнмана в пространстве Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена $-i\lambda$ , а каждая внутренняя линия представлена коэффициентом i /( q ²- м ² + i ε ), где член ε представляет собой небольшое виковское вращение, необходимое для сходимости гауссовского интеграла в пространстве Минковского.

Перенормировка

Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми интегралами», в графиках Фейнмана обычно расходятся. Обычно это решается перенормировкой , которая представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, чтобы диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контрчленов, были конечными. ^[4] При этом необходимо ввести масштаб перенормировки, от которого зависят константа связи и масса. Именно эта зависимость приводит к упомянутому ранее полюсу Ландау и требует, чтобы обрезание оставалось конечным. В качестве альтернативы, если обрезанию разрешено стремиться к бесконечности, полюса Ландау можно избежать только в том случае, если перенормированная связь стремится к нулю, что делает теорию тривиальной . ^[5]

Спонтанное нарушение симметрии

Интересная особенность может возникнуть, если m ² становится отрицательным, но λ остается положительным. В этом случае вакуум состоит из двух состояний с наименьшей энергией, каждое из которых спонтанно нарушает глобальную симметрию Z ₂ исходной теории. Это приводит к появлению интересных коллективных состояний, таких как доменные границы . В теории O (2) вакуум лежал бы на окружности, и выбор одного из них спонтанно нарушил бы симметрию O (2). Непрерывная нарушенная симметрия приводит к бозону Голдстоуна . Этот тип спонтанного нарушения симметрии является существенным компонентом механизма Хиггса . ^[6]

Спонтанное нарушение дискретных симметрий

Простейшая релятивистская система, в которой мы можем наблюдать спонтанное нарушение симметрии, — это система с одним скалярным полем. $\varphi$ с лагранжианом

{\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),

где $\mu ^{2}>0$ и

V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.

Минимизация потенциала по отношению к $\varphi$ приводит к

V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.

Теперь мы расширяем поле вокруг этого минимального написания.

\varphi (x)=v+\sigma (x),

и подставив в лагранжиан, получим

{\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.

где мы замечаем, что скаляр $\sigma$ теперь имеет положительный массовый член.

Мышление в терминах вакуумных математических ожиданий позволяет нам понять, что происходит с симметрией, когда она спонтанно нарушается. Исходный лагранжиан был инвариантным относительно $Z_{2}$ симметрия $\varphi \rightarrow -\varphi$ . С

\langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}

оба являются минимумами, должно быть два разных вакуума: $|\Omega _{\pm }\rangle$ с

\langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.

Поскольку $Z_{2}$ симметрия берет $\varphi \rightarrow -\varphi$ , это должно занять $|\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle$ также.Два возможных вакуума для теории эквивалентны, но необходимо выбрать один. Хотя кажется, что в новом лагранжиане $Z_{2}$ симметрия исчезла, она все еще есть, но теперь действует как $\sigma \rightarrow -\sigma -2v.$ Это общая особенность спонтанно нарушенных симметрий: вакуум нарушает их, но в лагранжиане они на самом деле не нарушены, а просто скрыты и часто реализуются только нелинейным образом. ^[7]

Точные решения

Существует множество точных классических решений уравнения движения теории, записанного в виде

\partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0

что можно написать для безмассового, $\mu _{0}=0$ , случай как ^[8]

\varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,i),

где $\,{\rm {sn\!}}$ - эллиптическая синусоидальная функция Якоби и $\,\mu ,\theta$ следующее дисперсионное соотношение - две константы интегрирования при условии, что выполняется

p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.

Интересный момент заключается в том, что мы начали с безмассового уравнения, но точное решение описывает волну с законом дисперсии, свойственным массивному решению. Когда массовый член не равен нулю, получается

\varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)

теперь это дисперсионное соотношение

p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.

Наконец, для случая нарушения симметрии имеем

\varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),

существование $v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}$ и имеет место следующее дисперсионное соотношение

p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.

Эти волновые решения интересны тем, что, несмотря на то, что мы начали с уравнения с неправильным знаком массы, дисперсионное соотношение имеет правильный. Кроме того, функция Якоби $\,{\rm {dn}}\!$ не имеет действительных нулей, поэтому поле никогда не бывает нулевым, а движется вокруг заданного постоянного значения, которое изначально выбрано, описывающее спонтанное нарушение симметрии.

Доказательство единственности можно дать, если заметить, что решение можно искать в виде $\varphi =\varphi (\xi )$ существование $\xi =p\cdot x$ . Затем уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, которое определяет эллиптическую функцию Якоби с $p$ удовлетворяющее правильному дисперсионному соотношению.

См. также

Ссылки

^ Саймон, Барри; Гриффитс, Роберт Б. (1 июня 1973 г.). «Теория поля (φ4)2 как классическая модель Изинга» . Связь в математической физике . 33 (2): 145–164. Бибкод : 1973CMaPh..33..145S . CiteSeerX 10.1.1.210.9639 . дои : 10.1007/BF01645626 . ISSN 1432-0916 . S2CID 123201243 .
^ Айзенман, Майкл; Думинил-Копен, Хьюго (01 июля 2021 г.). «Предельная тривиальность пределов масштабирования критических 4D-моделей Изинга и $\phi_4^4$». Анналы математики . 194 (1). arXiv : 1912.07973 . дои : 10.4007/анналы.2021.194.1.3 . ISSN 0003-486X . S2CID 209386716 .
^ Общая ссылка на этот раздел: Рамон, Пьер (21 декабря 2001 г.). Теория поля: современный учебник для начинающих (второе изд.). США: Вествью Пресс. ISBN 0-201-30450-3 . .
^ См. предыдущую ссылку или более подробную информацию: Ицыксон, Зубер; Зубер, Жан-Бернар (24 февраля 2006 г.). Квантовая теория поля . Дувр. .
^ DJE Каллауэй (1988). «Погоня за тривиальностью: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Отчеты по физике . 167 (5): 241–320. Бибкод : 1988PhR...167..241C . дои : 10.1016/0370-1573(88)90008-7 .
^ Базовое описание спонтанного нарушения симметрии можно найти в двух предыдущих ссылках или в большинстве других книг по квантовой теории поля.
^ Шварц, Квантовая теория поля и стандартная модель, глава 28.1
^ Марко Фраска (2011). «Точные решения классических уравнений скалярного поля». Журнал нелинейной математической физики . 18 (2): 291–297. arXiv : 0907.4053 . Бибкод : 2011JNMP...18..291F . дои : 10.1142/S1402925111001441 . S2CID 17314344 .

Дальнейшее чтение

'т Хоофт, Г. , «Концептуальные основы квантовой теории поля» ( онлайн-версия ).

[1] Саймон, Барри; Гриффитс, Роберт Б. (1 июня 1973 г.). «Теория поля (φ4)2 как классическая модель Изинга» . Связь в математической физике . 33 (2): 145–164. Бибкод : 1973CMaPh..33..145S . CiteSeerX 10.1.1.210.9639 . дои : 10.1007/BF01645626 . ISSN 1432-0916 . S2CID 123201243 .

[2] Айзенман, Майкл; Думинил-Копен, Хьюго (01 июля 2021 г.). «Предельная тривиальность пределов масштабирования критических 4D-моделей Изинга и $\phi_4^4$». Анналы математики . 194 (1). arXiv : 1912.07973 . дои : 10.4007/анналы.2021.194.1.3 . ISSN 0003-486X . S2CID 209386716 .

[3] Общая ссылка на этот раздел: Рамон, Пьер (21 декабря 2001 г.). Теория поля: современный учебник для начинающих (второе изд.). США: Вествью Пресс. ISBN 0-201-30450-3 . .

[4] См. предыдущую ссылку или более подробную информацию: Ицыксон, Зубер; Зубер, Жан-Бернар (24 февраля 2006 г.). Квантовая теория поля . Дувр. .

[TrivPurs-5] DJE Каллауэй (1988). «Погоня за тривиальностью: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Отчеты по физике . 167 (5): 241–320. Бибкод : 1988PhR...167..241C . дои : 10.1016/0370-1573(88)90008-7 .

[6] Базовое описание спонтанного нарушения симметрии можно найти в двух предыдущих ссылках или в большинстве других книг по квантовой теории поля.

[7] Шварц, Квантовая теория поля и стандартная модель, глава 28.1

[asf2-8] Марко Фраска (2011). «Точные решения классических уравнений скалярного поля». Журнал нелинейной математической физики . 18 (2): 291–297. arXiv : 0907.4053 . Бибкод : 2011JNMP...18..291F . дои : 10.1142/S1402925111001441 . S2CID 17314344 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]