Одиннадцатимерная супергравитация

В суперсимметрии одиннадцатимерная супергравитация — это теория супергравитации в наибольшем количестве измерений, разрешенных суперсимметричной теорией. Оно содержит гравитон , гравитино и калибровочное поле 3-формы , взаимодействия которых однозначно фиксируются суперсимметрией. Открытая в 1978 году Эженом Креммером , Бернаром Джулией и Жоэлем Шерком , она быстро стала популярным кандидатом на роль теории всего в 1980-е годы. Однако интерес к нему вскоре угас из-за многочисленных трудностей, возникающих при попытке построения физически реалистичных моделей. Оно снова приобрело известность в середине 1990-х годов, когда было обнаружено, что это нижний энергетический предел , М-теории что сделало его решающим для понимания различных аспектов теории струн .

История

Супергравитация была открыта в 1976 году посредством построения чистой четырёхмерной супергравитации с одним гравитино. Одним из важных направлений программы супергравитации была попытка построить четырехмерную систему. ${\mathcal {N}}=8$ супергравитация , поскольку она была привлекательным кандидатом на роль теории всего, поскольку она объединяет частицы всех физически допустимых спинов в один мультиплет . Кроме того, теория может быть ограничена УФ-излучением. Вернер Нам показал в 1978 году, что суперсимметрия со спином, меньшим или равным двум, возможна только в одиннадцати измерениях или ниже. Руководствуясь этим, позже в том же году Эжен Креммер, Бернар Джулия и Жоэль Шерк построили одиннадцатимерную супергравитацию. с целью размерного уменьшения его до четырех измерений, чтобы получить ${\mathcal {N}}=8$ теории, что было сделано в 1979 году.

В 1980-е годы 11D-супергравитация сама по себе представляла большой интерес как возможная фундаментальная теория природы. Это началось в 1980 году, когда Питер Фройнд и Марк Рубен показали, что супергравитация преимущественно компактизируется до четырех или семи измерений при использовании фона, на котором тензор напряженности поля . включен Кроме того, Эдвард Виттен утверждал в 1981 году, что одиннадцать измерений также являются минимальным количеством измерений, необходимых для приобретения Стандартной модели группы , предполагая, что она возникает как подгруппа группы изометрии компактного . многообразия калибровочной

Основной областью исследований было понимание того, как 11D супергравитация уплотняется до четырех измерений . Хотя существует множество способов сделать это, в зависимости от выбора компактного многообразия, самым популярным из них было использование 7-сферы . Однако в этих подходах быстро был выявлен ряд проблем, которые в конечном итоге привели к отказу от программы. Одна из главных проблем заключалась в том, что многие из хорошо мотивированных многообразий не могли соответствовать калибровочной группе Стандартной модели. Другая проблема того времени заключалась в том, что стандартная компактификация Калуцы-Клейна затрудняла приобретение киральных фермионов, необходимых для построения Стандартной модели. Кроме того, эти компактификации обычно приводили к очень большим отрицательным космологическим константам , которые было трудно удалить. Наконец, квантование теории привело к появлению квантовых аномалий , которые было трудно устранить. Некоторые из этих проблем можно преодолеть с помощью более современных методов, неизвестных в то время. Например, киральные фермионы можно получить, используя сингулярные многообразия , используя некомпактные многообразия, используя 9-брану конца света теории или используя дуальности струн , которые связывают 11D-теорию с киральными теориями струн. Точно так же наличие бран можно использовать для построения более крупных калибровочных групп.

Из-за этих проблем в конце 1980-х годов от супергравитации 11D отказались, хотя она оставалась интригующей теорией. Действительно, в 1988 году Майкл Грин , Джон Шварц и Эдвард Виттен написали об этом, что

Трудно поверить, что его существование — просто случайность, но и трудно в настоящее время высказать убедительное предположение о том, какова может быть его роль в схеме вещей.

В 1995 году Эдвард Виттен открыл М-теорию. чей низкоэнергетический предел — 11D-супергравитация, что возвращает эту теорию на передний план физики и придает ей важное место в теории струн.

Теория

В суперсимметрии максимальное количество реальных суперзарядов , дающих супермультиплеты, содержащие частицы со спином меньше или равным двум, равно 32. Суперзаряды с большим количеством компонентов приводят к появлению супермультиплетов, которые обязательно включают состояния с более высоким спином , что делает такие теории нефизическими. Поскольку суперзаряды являются спинорами , суперсимметрия может быть реализована только в измерениях, которые допускают спиноральные представления, содержащие не более 32 компонентов, что происходит только в одиннадцати или меньшем количестве измерений.

Одиннадцатимерная супергравитация однозначно фиксируется суперсимметрией, при этом ее структура относительно проста по сравнению с теориями супергравитации в других измерениях . Единственным свободным параметром является планковская масса , задающая масштаб теории. Он имеет единственный мультиплет, состоящий из гравитона, майорановского гравитино и калибровочного поля трех форм. Необходимость поля 3-формы можно увидеть, если отметить, что оно обеспечивает недостающие 84 бозонные степени свободы, необходимые для завершения мультиплета, поскольку гравитон имеет 44 степени свободы, а гравитино - 128.

Супералгебра

Максимально расширенная алгебра суперсимметрии в одиннадцати измерениях имеет вид

$\{Q_{\alpha },Q_{\beta }\}=(C\gamma )_{\alpha \beta }^{\mu }P_{\mu }+(C\gamma )_{\alpha \beta }^{\mu \nu }Z_{\mu \nu }+(C\gamma )_{\alpha \beta }^{\mu \nu \rho \sigma \gamma }Z_{\mu \nu \rho \sigma \gamma },$

где $C$ – оператор зарядового сопряжения , обеспечивающий выполнение комбинации $C\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$ является либо симметричным , либо антисимметричным . Поскольку антикоммутатор симметричен, единственными допустимыми элементами в правой части являются те, которые симметричны по своим спинорным индексам, что в одиннадцати измерениях встречается только для одного, двух и пяти индексов пространства-времени , а остальные эквивалентны с точностью до Пуанкаре. двойственность . Соответствующие коэффициенты $Z_{\mu \nu }$ и $Z_{\mu \nu \rho \sigma \gamma }$ известны как квазицентральные заряды. Они не являются регулярными центральными зарядами в теоретико-групповом смысле, поскольку они не являются скалярами Лоренца и поэтому не коммутируют с генераторами Лоренца , но их интерпретация та же. Они указывают на то, что существуют расширенные объекты, сохраняющие некоторую долю суперсимметрии, например М2-брана и М5-брана . Кроме того, не существует группы R-симметрии .

Супергравитационное действие

Действие выражением одиннадцатимерной супергравитации определяется

$S={\frac {1}{2\kappa _{11}^{2}}}\int d^{11}x\ e{\bigg [}R(\omega )-{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }({\tfrac {1}{2}}(\omega +{\hat {\omega }}))\psi _{\rho }-{\frac {1}{24}}F_{\mu \nu \rho \sigma }F^{\mu \nu \rho \sigma }$

$-{\frac {\sqrt {2}}{192}}({\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\alpha \beta \gamma \delta \nu \rho }\psi _{\rho }+12{\bar {\psi }}^{\gamma }\gamma ^{\alpha \beta }\psi ^{\delta })(F_{\alpha \beta \gamma \delta }+{\hat {F}}_{\alpha \beta \gamma \delta })$

$-{\frac {2{\sqrt {2}}}{(144)^{2}}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta \alpha '\beta '\gamma '\delta '\mu \nu \rho }F_{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\alpha '\beta '\gamma '\delta '}A_{\mu \nu \rho }{\bigg ]}.$

Здесь гравитация описывается с помощью формализма Вильбейна $e_{\mu }^{a}$ с одиннадцатимерной константой гравитационной связи $\kappa _{11}$ и

$\omega _{\mu ab}=\omega _{\mu ab}(e)+K_{\mu ab},$

${\hat {\omega }}_{\mu ab}=\omega _{\mu ab}-{\tfrac {1}{8}}{\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\nu \rho }{}_{\mu ab}\psi _{\rho },$

$K_{\mu ab}=-{\tfrac {1}{4}}({\bar {\psi }}_{\mu }\gamma _{b}\psi _{a}-{\bar {\psi }}_{a}\gamma _{\mu }\psi _{b}+{\bar {\psi }}_{b}\gamma _{a}\psi _{\mu })+{\tfrac {1}{8}}{\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\nu \rho }{}_{\mu ab}\psi _{\rho },$

${\hat {F}}_{\mu \nu \rho \sigma }=F_{\mu \nu \rho \sigma }+{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {2}}{\bar {\psi }}_{[\mu }\gamma _{\nu \rho }\psi _{\sigma ]}.$

Соединение без кручения определяется выражением $\omega _{\mu ab}(e)$, пока $K_{\mu ab}$ – тензор конторсии . Тем временем, $D_{\nu }(\omega )$ — ковариантная производная со спиновой связью $\omega$, которое, действуя на спиноры, принимает вид

$D_{\mu }(\omega )\psi _{\nu }=\partial _{\mu }\psi _{\nu }+{\tfrac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab}\psi _{\nu },$

где $\gamma _{ab}=\gamma _{[a}\gamma _{b]}$. Регулярные гамма-матрицы, удовлетворяющие алгебре Дирака, обозначаются через $\gamma _{a}$, пока $\gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}$ являются позиционно-зависимыми полями . Первая строка действия содержит ковариантизированные кинетические члены, заданные действием Эйнштейна–Гильберта , уравнением Рариты–Швингера и калибровочным кинетическим действием . Вторая строка соответствует членам кубического гравитонно-калибровочного поля, а также некоторым гравитино-членам четвертой степени . Последняя строка лагранжиана представляет собой член Черна – Саймонса .

Правила преобразования суперсимметрии имеют вид

$\delta _{s}e_{\mu }^{a}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },$

$\delta _{s}\psi _{\mu }=D_{\mu }({\hat {\omega }})\epsilon +{\tfrac {\sqrt {2}}{288}}(\gamma ^{\alpha \beta \gamma \delta }{}_{\mu }-8\gamma ^{\beta \gamma \delta }\delta _{\mu }^{\alpha }){\hat {F}}_{\alpha \beta \gamma \delta }\epsilon ,$

$\delta _{s}A_{\mu \nu \rho }=-{\tfrac {3{\sqrt {2}}}{4}}{\bar {\epsilon }}\gamma _{[\mu \nu }\psi _{\rho ]},$

где $\epsilon$ – калибровочный параметр Майораны суперсимметрии. Все заштрихованные переменные суперковариантны в том смысле, что они не зависят от производной параметра суперсимметрии. $\partial _{\mu }\epsilon$. Действие дополнительно инвариантно относительно четности , при этом калибровочное поле преобразуется как псевдотензор $A\rightarrow -A$. Уравнения движения этой супергравитации также обладают жесткой симметрией, известной как симметрия тромбона, при которой $g_{\mu \nu }\rightarrow \alpha ^{2}g_{\mu \nu }$ и $A_{\mu \nu \rho }\rightarrow \alpha ^{3}A_{\mu \nu \rho }$.

Специальные решения

В 11D-супергравитации существует ряд особых решений, наиболее заметными из которых являются pp-волна , М2-браны, М5-браны, КК-монополи и М9-браны. Решения бран — это солитонные объекты в супергравитации, которые являются низкоэнергетическим пределом соответствующих бран М-теории. Калибровочное поле 3-формы электрически связано с М2-бранами и магнитно с М5-бранами. Известны явные супергравитационные солитонные решения для М2-бран и М5-бран.

М2-браны и М5-браны имеют регулярный невырожденный горизонт событий которого в постоянном времени , сечения представляют собой топологически 7-сферы и 4-сферы соответственно. крайней Блигоризонтный предел М2 - браны определяется выражением $AdS_{4}\times S^{7}$ геометрии , а для крайней М5-браны она имеет вид $AdS_{7}\times S^{4}$. Эти предельно-предельные решения сохраняют половину суперсимметрии вакуумного решения , а это означает, что как крайние M2-браны, так и M5-браны можно рассматривать как солитоны, интерполирующие между двумя максимально суперсимметричными вакуумами Минковского на бесконечности с $AdS_{4}\times S^{7}$ или $AdS_{6}\times S^{4}$ горизонт соответственно.

Компактификация

Компактификация 11D-супергравитации Фрейнда -Рубина показывает, что она преимущественно компактизируется до семи и четырех измерений, что привело к ее широкому изучению на протяжении 1980-х годов. Эту компактификацию легче всего достичь, потребовав, чтобы компактные и некомпактные многообразия имели тензор Риччи , пропорциональный метрике , а это означает, что они являются многообразиями Эйнштейна . Кроме того, требуется, чтобы решение было устойчиво к флуктуациям, что в антидеситтеровском пространстве-времени требует выполнения границы Бретенлонера – Фридмана. Устойчивость гарантирована, если существует некоторая ненарушенная суперсимметрия, хотя существуют и классически устойчивые решения, полностью нарушающие суперсимметрию.

Одним из основных изученных многообразий компактификации была 7-сфера. Многообразие имеет 8 спиноров Киллинга , что означает, что результирующая четырехмерная теория имеет ${\mathcal {N}}=8$ суперсимметрия. Кроме того, это также приводит к ${\text{SO}}(8)$ Калибровочная группа , соответствующая группе изометрии сферы. Подобная широко изученная компактификация заключалась в использовании сжатой 7-сферы, которую можно получить, вложив 7-сферу в кватернионное проективное пространство , что дало калибровочную группу ${\text{SO}}(5)\times {\text{SU}}(2)$.

Ключевым свойством 7-сферных компактификаций Калуцы-Клейна является то, что их усечение непротиворечиво, что не обязательно имеет место для других многообразий Эйнштейна, кроме 7-тора . Несогласованное усечение означает, что полученная четырехмерная теория не согласуется с уравнениями поля более высокой размерности . Физически это не должно быть проблемой при компактификации пространства-времени Минковского, поскольку несогласованное усечение просто приводит к появлению дополнительных нерелевантных операторов в действии. Однако большинство компактификаций многообразий Эйнштейна относятся к антидеситтеровским пространствам-временям, которые имеют относительно большую космологическую постоянную. В этом случае нерелевантные операторы можно преобразовать в релевантные посредством уравнения движения.

Связанные теории

В то время как одиннадцатимерная супергравитация является уникальной супергравитацией в одиннадцати измерениях на уровне действия, родственную теорию можно получить на уровне уравнений движения, известную как модифицированная 11D супергравитация. Это осуществляется путем замены спиновой связи на ту, которая конформно связана с исходной. Такая теория неэквивалентна стандартной 11D-супергравитации только в неодносвязных пространствах . Действие для массивной 11D-теории также можно получить, введя вспомогательное нединамическое векторное поле Киллинга , при этом эта теория сводится к массивной супергравитации типа IIA при уменьшении размерностей. Это не настоящая одиннадцатимерная теория, поскольку поля явно не зависят ни от одной из координат, но тем не менее она полезна для изучения массивных бран.

Уменьшение супергравитации 11D до десяти измерений приводит к супергравитации типа IIA, а уменьшение ее размеров до четырех измерений может дать ${\mathcal {N}}=8$ супергравитация, которая была одной из первоначальных мотиваций для построения теории. Хотя одиннадцатимерная супергравитация не является конечной УФ-диапазоном, это нижний энергетический предел М-теории. Супергравитация также получает поправки на квантовом уровне , причем эти поправки иногда играют важную роль в различных механизмах компактификации.

В отличие от супергравитации в других измерениях, расширения одиннадцатимерного антидеситтеровского пространства-времени не существует. Хотя эта теория является суперсимметричной теорией в наибольшем количестве измерений, следует отметить, что это справедливо только для сигнатур пространства-времени с одним временным измерением. Если допускаются произвольные сигнатуры пространства-времени, то также существует супергравитация в двенадцати измерениях с двумя временными измерениями .