Компактификация Фрейнда – Рубина

Компактификация Фрейнда – Рубина — это форма размерной редукции , в которой теория поля в d -мерном пространстве-времени содержит гравитацию и некоторое поле , напряженность поля которого $F$ ранга s является антисимметричным тензором , «предпочитает» быть сведенным к пространству-времени с размерностью s или ds .

Вывод

Рассмотрим общую теорию относительности в d измерениях пространства-времени. При наличии антисимметричного тензорного поля (без внешних источников) уравнения поля Эйнштейна и уравнения движения антисимметричного тензора имеют вид

{\begin{aligned}R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg^{\mu \nu }=8\pi T^{\mu \nu },~~~~\nabla _{\mu }F^{\mu \,\alpha _{2}...\alpha _{s}}=0\end{aligned}}

Где тензор энергии-импульса принимает вид

T^{\mu \nu }=F_{\alpha _{1}...\alpha _{s-1}}~^{\mu }F^{\alpha _{1}...\alpha _{s-1}\nu }-{\frac {1}{2s}}F_{\alpha _{1}...\alpha _{s}}F^{\alpha _{1}...\alpha _{s}}g^{\mu \nu }

Будучи антисимметричным тензором ранга s , напряженность поля $F$ имеет естественный анзац для своего решения, пропорциональный тензору Леви-Чивита на некотором s -мерном многообразии .

F^{\mu _{1}...\mu _{s}}=(\epsilon ^{\mu _{1}...\mu _{s}}/{\sqrt {g_{s}}})f

Здесь индексы $\mu _{i}$ перебор s измерений окружающего d -мерного пространства-времени, $g_{s}$ есть определитель метрики этого s -мерного подпространства, а $f$ — некоторая константа с размерами квадрата массы (в натуральных единицах ).

Поскольку напряженность поля отлична от нуля только на s -мерном подмногообразии, метрика $g$ естественным образом разделяется на две части блочно-диагональной формы

g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}g_{mn}(x^{p})&0\\0&g_{{\bar {m}}{\bar {n}}}(x^{\bar {p}})\end{bmatrix}}

с $m$ , $n$ , и $p$ распространяющийся на те же измерения , что и напряженность поля $F$ , и ${\bar {m}}$ , ${\bar {n}}$ , и ${\bar {p}}$ покрывающие остальные размеры ds . Разделив наше d -мерное пространство на произведение двух подпространств, уравнения поля Эйнштейна позволяют нам определить кривизну этих двух подмногообразий, и мы находим

{\begin{aligned}R_{d-s}&={\frac {(s-1)(d-s)}{(d-2)}}\lambda ,~~R_{s}=-{\frac {s(d-s-1)}{(d-2)}}\lambda \\\lambda &=8\pi G\operatorname {sgn}(g_{s})f^{2}\end{aligned}}

Мы находим, что Риччи s- кривизны и (ds) -мерных подмногообразий обязательно имеют противоположный знак. Одно должно иметь положительную кривизну , а другое — отрицательную кривизну , и поэтому одно из этих многообразий должно быть компактным . Следовательно, на масштабах, значительно больших, чем у компактного многообразия, Вселенная, по-видимому, имеет либо s , либо (ds) измерения, в отличие от основного d .

Важным примером этого является одиннадцатимерная супергравитация , которая содержит антисимметричный тензор трех форм с напряженностью поля четырех форм и, следовательно, предпочитает компактифицировать семь или четыре своих пространственноподобных измерения, поэтому крупномасштабное пространство-время должно быть либо четырехмерным, либо четырехмерным. или семимерный, первый из которых привлекателен с феноменологической точки зрения ^{[ 1 ]}

Перспектива теории струн

Некоторые важные примеры компактификации Фрейнда-Рубина взяты из изучения поведения бран в теории струн . Подобно тому, как взаимодействие с электромагнитным полем стабилизирует электрически заряженные частицы, наличие антисимметричных тензорных полей различного ранга в теории струн стабилизирует браны различных размерностей. В свою очередь геометрия пространства-времени вблизи стопок бран искажается таким образом, что реализуется компактификация Фрейнда–Рубина. В теории струн типа IIB , которая требует десяти измерений пространства-времени, существует пять форм напряженности поля: $F_{5}$ это допускает трехмерные D-браны , а ближняя к горизонту геометрия стопки D3-бран представляет собой пятимерное антидеситтеровское пространство, умноженное на пятимерную сферу , $AdS_{5}\times S^{5}$ , компактный в пяти измерениях. Эта геометрия является важной частью соответствия AdS/CFT. ^{[ 2 ]}

Точно так же М-теория и ее низкоэнергетический предел одиннадцатимерной супергравитации содержат напряженность поля 4-й формы, которая стабилизирует браны M2 и M5. Ближняя геометрия стопок этих бран такова: $AdS_{4}\times S^{7}$ и $AdS_{7}\times S^{4}$ , соответственно.

Ссылки

^ Фройнд, Питер ГО; Рубин, Марк А. (1 декабря 1980 г.). «Динамика размерного уменьшения» . Буквы по физике Б. 97 (2): 233–235. Бибкод : 1980PhLB...97..233F . дои : 10.1016/0370-2693(80)90590-0 . ISSN 0370-2693 .
^ Мальдасена, Хуан (апрель 1999 г.). «Предел большого числа суперконформных теорий поля и супергравитации». Международный журнал теоретической физики . 38 (4): 1113–1133. arXiv : hep-th/9711200 . Бибкод : 1999IJTP...38.1113M . дои : 10.1023/А:1026654312961 . ISSN 0020-7748 . S2CID 12613310 .

Эта теории струн статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Фройнд, Питер ГО; Рубин, Марк А. (1 декабря 1980 г.). «Динамика размерного уменьшения» . Буквы по физике Б. 97 (2): 233–235. Бибкод : 1980PhLB...97..233F . дои : 10.1016/0370-2693(80)90590-0 . ISSN 0370-2693 .

[2] Мальдасена, Хуан (апрель 1999 г.). «Предел большого числа суперконформных теорий поля и супергравитации». Международный журнал теоретической физики . 38 (4): 1113–1133. arXiv : hep-th/9711200 . Бибкод : 1999IJTP...38.1113M . дои : 10.1023/А:1026654312961 . ISSN 0020-7748 . S2CID 12613310 .

[ 1 ]

[ 2 ]