Компактификация Фрейнда – Рубина
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( ноябрь 2016 г. ) |
Теория струн |
---|
![]() |
Фундаментальные объекты |
Пертурбативная теория |
|
Непертурбативные результаты |
Феноменология |
Математика |
Компактификация Фрейнда – Рубина — это форма размерной редукции , в которой теория поля в d -мерном пространстве-времени содержит гравитацию и некоторое поле , напряженность поля которого ранга s является антисимметричным тензором , «предпочитает» быть сведенным к пространству-времени с размерностью s или ds .
Вывод
[ редактировать ]Рассмотрим общую теорию относительности в d измерениях пространства-времени. При наличии антисимметричного тензорного поля (без внешних источников) уравнения поля Эйнштейна и уравнения движения антисимметричного тензора имеют вид
Где тензор энергии-импульса принимает вид
Будучи антисимметричным тензором ранга s , напряженность поля имеет естественный анзац для своего решения, пропорциональный тензору Леви-Чивита на некотором s -мерном многообразии .
Здесь индексы перебор s измерений окружающего d -мерного пространства-времени, есть определитель метрики этого s -мерного подпространства, а — некоторая константа с размерами квадрата массы (в натуральных единицах ).
Поскольку напряженность поля отлична от нуля только на s -мерном подмногообразии, метрика естественным образом разделяется на две части блочно-диагональной формы
с , , и распространяющийся на те же измерения , что и напряженность поля , и , , и покрывающие остальные размеры ds . Разделив наше d -мерное пространство на произведение двух подпространств, уравнения поля Эйнштейна позволяют нам определить кривизну этих двух подмногообразий, и мы находим
Мы находим, что Риччи s- кривизны и (ds) -мерных подмногообразий обязательно имеют противоположный знак. Одно должно иметь положительную кривизну , а другое — отрицательную кривизну , и поэтому одно из этих многообразий должно быть компактным . Следовательно, на масштабах, значительно больших, чем у компактного многообразия, Вселенная, по-видимому, имеет либо s , либо (ds) измерения, в отличие от основного d .
Важным примером этого является одиннадцатимерная супергравитация , которая содержит антисимметричный тензор трех форм с напряженностью поля четырех форм и, следовательно, предпочитает компактифицировать семь или четыре своих пространственноподобных измерения, поэтому крупномасштабное пространство-время должно быть либо четырехмерным, либо четырехмерным. или семимерный, первый из которых привлекателен с феноменологической точки зрения [ 1 ]
Перспектива теории струн
[ редактировать ]Некоторые важные примеры компактификации Фрейнда-Рубина взяты из изучения поведения бран в теории струн . Подобно тому, как взаимодействие с электромагнитным полем стабилизирует электрически заряженные частицы, наличие антисимметричных тензорных полей различного ранга в теории струн стабилизирует браны различных размерностей. В свою очередь геометрия пространства-времени вблизи стопок бран искажается таким образом, что реализуется компактификация Фрейнда–Рубина. В теории струн типа IIB , которая требует десяти измерений пространства-времени, существует пять форм напряженности поля: это допускает трехмерные D-браны , а ближняя к горизонту геометрия стопки D3-бран представляет собой пятимерное антидеситтеровское пространство, умноженное на пятимерную сферу , , компактный в пяти измерениях. Эта геометрия является важной частью соответствия AdS/CFT. [ 2 ]
Точно так же М-теория и ее низкоэнергетический предел одиннадцатимерной супергравитации содержат напряженность поля 4-й формы, которая стабилизирует браны M2 и M5. Ближняя геометрия стопок этих бран такова: и , соответственно.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Фройнд, Питер ГО; Рубин, Марк А. (1 декабря 1980 г.). «Динамика размерного уменьшения» . Буквы по физике Б. 97 (2): 233–235. Бибкод : 1980PhLB...97..233F . дои : 10.1016/0370-2693(80)90590-0 . ISSN 0370-2693 .
- ^ Мальдасена, Хуан (апрель 1999 г.). «Предел большого числа суперконформных теорий поля и супергравитации». Международный журнал теоретической физики . 38 (4): 1113–1133. arXiv : hep-th/9711200 . Бибкод : 1999IJTP...38.1113M . дои : 10.1023/А:1026654312961 . ISSN 0020-7748 . S2CID 12613310 .