Уменьшение размеров

Сокращение размерностей — это предел компактифицированной теории , при котором размер компактной размерности стремится к нулю. В физике теорию в D пространства-времени измерениях можно переопределить в меньшем числе измерений d , приняв все поля независимыми от местоположения в дополнительных измерениях D - d .

Например, рассмотрим периодическую компактную размерность с L. периодом Пусть x будет координатой в этом измерении. Любое поле $\phi$ можно описать как сумму следующих слагаемых:

\phi _{n}(x)=A_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)

где A _{n —} константа. Согласно квантовой механике , такой член имеет импульс nh / L вдоль x , где h — постоянная Планка . ^[1] Следовательно, когда L стремится к нулю, импульс стремится к бесконечности, как и энергия , если только n = 0. Однако n = 0 дает поле, постоянное по отношению к x . Итак, в этом пределе и при конечной энергии $\phi$ не будет зависеть от х .

Этот аргумент обобщает. Компактная размерность накладывает определенные граничные условия на все поля, например, периодические граничные условия в случае периодической размерности и, как правило, Неймана или граничные условия Дирихле в других случаях. Теперь предположим, что размер компактного измерения равен L ; тогда возможные собственные значения при градиенте вдоль этого измерения будут целыми или полуцелыми кратными 1/ L (в зависимости от точных граничных условий). В квантовой механике это собственное значение представляет собой импульс поля и, следовательно, связано с его энергией. При L → 0 все собственные значения, кроме нуля, стремятся к бесконечности, как и энергия. Следовательно, в этом пределе, при конечной энергии, ноль является единственным возможным собственным значением при градиенте вдоль компактного измерения, а это означает, что от этого измерения ничего не зависит.

Уменьшение размерностей также относится к специфическому устранению расходимостей в диаграммах Фейнмана. Его выдвинули Амнон Ахарони , Йозеф Имри и Шан-кенг Ма, доказавшие в 1976 году, что «для всех порядков разложения по возмущениям критические показатели в d -мерной ( 4 < d < 6 ) системе с короткодействующим обменом и случайное замороженное поле такие же, как и в ( d − 2 )-мерной чистой системе». ^[2] Их аргументы указывали на то, что «диаграммы Фейнмана, которые дают ведущее сингулярное поведение для случайного случая, тождественно, за исключением комбинаторных факторов, идентичны соответствующим диаграммам Фейнмана для чистого случая в двух измерениях меньше». ^[3] Это уменьшение размерностей было дополнительно исследовано в контексте суперсимметричной теории стохастических дифференциальных уравнений Ланжевена Джорджо Паризи и Николя Сурла . ^[4] который «заметил, что диаграммы с наибольшим инфракрасным расхождением — это диаграммы с максимальным количеством вставок случайных источников, и, если пренебречь другими диаграммами, остается диаграммное разложение классической теории поля в присутствии случайных источников... Паризи и Сурлас объяснили это уменьшение размеров скрытой суперсимметрией». ^[3]

См. также

Ссылки

^ Строго говоря, $\phi _{n}$ представляет собой линейную комбинацию двух волновых функций с импульсом $\pm nh/L$ .
^ Ахарони, А.; Имри, Ю.; Ма, СК (1976). «Понижение размерности при фазовых переходах со случайными полями». Письма о физических отзывах . 37 (20): 1364–1367. Бибкод : 1976PhRvL..37.1364A . дои : 10.1103/PhysRevLett.37.1364 .
^ Jump up to: ^а ^б Кляйн, А .; Ландау, ЖЖ; Перес, Дж. Ф. (1984). «Суперсимметрия и размерная редукция Паризи-Сурла: строгое доказательство» . Связь в математической физике . 94 (4): 459–482. Бибкод : 1984CMaPh..94..459K . дои : 10.1007/BF01403882 . S2CID 120640917 .
^ Паризи, Г.; Сурлас, Н. (1979). «Случайные магнитные поля, суперсимметрия и отрицательные измерения». Письма о физических отзывах . 43 (11): 744–745. Бибкод : 1979PhRvL..43..744P . дои : 10.1103/PhysRevLett.43.744 .

[1] Строго говоря, $\phi _{n}$ представляет собой линейную комбинацию двух волновых функций с импульсом $\pm nh/L$ .

[2] Ахарони, А.; Имри, Ю.; Ма, СК (1976). «Понижение размерности при фазовых переходах со случайными полями». Письма о физических отзывах . 37 (20): 1364–1367. Бибкод : 1976PhRvL..37.1364A . дои : 10.1103/PhysRevLett.37.1364 .

[SUSY1984_1-3] Jump up to: ^а ^б Кляйн, А .; Ландау, ЖЖ; Перес, Дж. Ф. (1984). «Суперсимметрия и размерная редукция Паризи-Сурла: строгое доказательство» . Связь в математической физике . 94 (4): 459–482. Бибкод : 1984CMaPh..94..459K . дои : 10.1007/BF01403882 . S2CID 120640917 .

[4] Паризи, Г.; Сурлас, Н. (1979). «Случайные магнитные поля, суперсимметрия и отрицательные измерения». Письма о физических отзывах . 43 (11): 744–745. Бибкод : 1979PhRvL..43..744P . дои : 10.1103/PhysRevLett.43.744 .

[1]

[2]

[3]

[4]