Краевая задача

Показывает область, в которой дифференциальное уравнение , и связанные с ним граничные значения. действует

При изучении дифференциальных уравнений краевая задача представляет собой дифференциальное уравнение, на которое наложены ограничения, называемые граничными условиями . Решением краевой задачи является решение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничным условиям.

Краевые задачи возникают в нескольких разделах физики, поскольку они есть в любом физическом дифференциальном уравнении. Проблемы, связанные с волновым уравнением , такие как определение нормальных мод , часто формулируются как краевые задачи. Большим классом важных краевых задач являются задачи Штурма–Лиувилля . Анализ этих задач в линейном случае предполагает использование собственных функций дифференциального оператора .

Чтобы быть полезной в приложениях, краевая задача должна быть корректно поставлена . Это означает, что при наличии входных данных для задачи существует единственное решение, которое непрерывно зависит от входных данных. Большая теоретическая работа в области уравнений в частных производных посвящена доказательству корректности краевых задач, возникающих из научных и технических приложений.

Среди первых краевых задач, подлежащих изучению, — задача Дирихле о нахождении гармонических функций (решений уравнения Лапласа ); решение было дано по принципу Дирихле .

Объяснение

Краевые задачи аналогичны задачам начального значения . Краевая задача имеет условия, заданные на крайних значениях («границах») независимой переменной в уравнении, тогда как задача с начальным значением имеет все условия, заданные при одном и том же значении независимой переменной (и это значение находится на нижней границе). домена, отсюда и термин «начальное» значение). Граничное значение — это значение данных, которое соответствует минимальному или максимальному входному, внутреннему или выходному значению, указанному для системы или компонента.

Например, если независимой переменной является время в области [0,1], граничная задача будет определять значения для $y(t)$ в обоих $t=0$ и $t=1$, тогда как задача начального значения будет определять значение $y(t)$ и $y'(t)$ вовремя $t=0$.

Определение температуры во всех точках железного стержня, у которого один конец находится при абсолютном нуле , а другой — при температуре замерзания воды, было бы краевой задачей.

Если проблема зависит как от пространства, так и от времени, можно указать значение проблемы в данной точке за все время или в данный момент времени для всего пространства.

Конкретно, примером краевой задачи (в одном пространственном измерении) является

$y''(x)+y(x)=0$

нужно решить для неизвестной функции $y(x)$ с граничными условиями

$y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.$

Без граничных условий общее решение этого уравнения имеет вид

$y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).$

Из граничного условия $y(0)=0$ получается

$0=A\cdot 0+B\cdot 1$

что подразумевает, что $B=0.$ Из граничного условия $y(\pi /2)=2$ можно найти

$2=A\cdot 1$

и так $A=2.$ Видно, что наложение граничных условий позволило найти единственное решение, которым в данном случае является

$y(x)=2\sin(x).$

Виды краевых задач

Краевые условия

Поиск функции, описывающей температуру этого идеализированного двумерного стержня, представляет собой краевую задачу с граничными условиями Дирихле . Любая функция решения одновременно решает уравнение теплопроводности и удовлетворяет граничным условиям температуры 0 К на левой границе и температуры 273,15 К на правой границе.

Граничное условие, которое определяет значение самой функции, является граничным условием Дирихле или граничным условием первого типа. Например, если один конец железного стержня удерживать при абсолютном нуле, то значение проблемы будет известно в этой точке пространства.

Граничное условие, которое определяет значение нормальной производной функции, представляет собой граничное условие Неймана или граничное условие второго типа. Например, если на одном конце железного стержня имеется нагреватель, то энергия будет добавляться с постоянной скоростью, но фактическая температура не будет известна.

Если граница имеет форму кривой или поверхности, которая придает значение нормальной производной и самой переменной, то это граничное условие Коши .

Примеры

Сводка граничных условий для неизвестной функции, $y$, константы $c_{0}$ и $c_{1}$ заданные граничными условиями и известными скалярными функциями $f$ и $g$ заданные граничными условиями.

Имя	Форма на 1-й части границы	Форма на 2-й части границы
Дирихле	$y=f$
Нойманн	${\partial y \over \partial n}=f$
Робин	$c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f$
Смешанный	$y=f$	$c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=g$
Коши	оба $y=f$ и ${\partial y \over \partial n}=g$

Дифференциальные операторы

Помимо граничного условия, краевые задачи также классифицируются по типу используемого дифференциального оператора. Для эллиптического оператора обсуждаются эллиптические краевые задачи . Для гиперболического оператора обсуждаются гиперболические краевые задачи . Эти категории далее подразделяются на линейные и различные нелинейные типы.

Приложения

Электромагнитный потенциал

См. Также: уравнение Лапласа § Граничные условия.

В электростатике распространенной проблемой является поиск функции, описывающей электрический потенциал данной области. Если область не содержит заряда, потенциал должен быть решением уравнения Лапласа (так называемая гармоническая функция ). Граничными условиями в этом случае являются условия границы раздела электромагнитных полей . Если в области нет плотности тока можно определить и магнитный скалярный потенциал , аналогичной процедурой .

См. также

Сопутствующая математика:

• Проблема начального значения
• функция Грина
• Случайные процессы и краевые задачи
• Теория Штурма – Лиувилля
• Радиационное состояние Зоммерфельда
• Идеальное состояние термического контакта

Физические приложения:

• Волны
• Нормальный режим
• Электростатика
• Потенциальная теория
• Расчет затухания радиоволн в атмосфере
• Черная дыра

Численные алгоритмы:

• Метод съемки
• Метод прямой многократной съемки
• Метод прогулки по сферам
• Метод конечных разностей
• Метод граничных элементов

Ссылки

• А. Д. Полянин и В. Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN   1-58488-297-2 .
• А. Д. Полянин, Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2002. ISBN   1-58488-299-9 .

Внешние ссылки

• «Краевые задачи в теории потенциала» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Краевая задача, методы комплексных переменных» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейные дифференциальные уравнения в частных производных: точные решения и краевые задачи в EqWorld: мир математических уравнений.
• «Краевая задача» . Схоларпедия .