Метод прямой многократной съемки

В области математики, известной как численные обыкновенные дифференциальные уравнения , метод прямого многократного выстрела является численным методом решения краевых задач . Метод делит интервал, на котором ищется решение, на несколько меньших интервалов, решает начальную задачу на каждом из меньших интервалов и накладывает дополнительные условия совмещения для формирования решения на всем интервале. Этот метод представляет собой значительное улучшение распределения нелинейности и числовой стабильности по сравнению с методами одиночной съемки .

Методы одиночной стрельбы

Методы стрельбы можно использовать для решения краевых задач (БВП) типа $y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{a})=y_{a},\quad y(t_{b})=y_{b},$ в котором моменты времени t _a и t _b известны, и мы ищем $y(t),\quad t\in (t_{a},t_{b}).$

Способы одиночной стрельбы действуют следующим образом. Пусть y ( t ; t0 _ИВП , y0 ₎ ) обозначает решение начальной задачи ( $y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=p$ Определите функцию F ( p ) как разность между y ( t _b ; p ) и указанным граничным значением y _b : F ( p ) = y ( t _b ; p ) − y _b . решения ya ₎ , yb _, краевой ya _задачи = y0 ₍ а yb _имеем соответствует корню F. каждого Тогда для Этот корень можно найти любым методом поиска корня при условии, что выполнены определенные предварительные условия, зависящие от метода. Это часто требует первоначальных предположений о y _a и y _b . Обычно аналитический поиск корня невозможен, и итерационные методы, такие как метод Ньютона для этой задачи используются .

Применение однократной съемки для численного решения краевых задач имеет ряд недостатков.

Для данного начального значения y0 _ta решение IVP, очевидно, должно существовать на интервале [ , _чтобы tb ] _, мы могли вычислить функцию F , корень которой ищем.

Для сильно нелинейных или нестабильных ОДУ это требует, чтобы начальное предположение y ₀ было чрезвычайно близко к фактическому, но неизвестному решению y _a . Начальные значения, выбранные немного отличающиеся от истинного решения, могут привести к сингулярностям или поломке метода решателя ОДУ. Однако выбор таких решений неизбежен в итерационном методе поиска корней.

Численные числа конечной точности могут вообще сделать невозможным поиск начальных значений, позволяющих решить ОДУ на всем интервале времени.
Нелинейность ОДУ фактически становится нелинейностью F и требует метода поиска корней, способного решать нелинейные системы. Такие методы обычно сходятся медленнее, поскольку нелинейности становятся более серьезными. От этого страдает производительность решателя краевых задач.
Даже стабильные и хорошо обусловленные ODE могут привести к нестабильным и плохо обусловленным BVP. Небольшое изменение начального значения y ₀ может привести к чрезвычайно большому шагу в решении ОДУ y ( t _b ; t _a , y ₀ ) и, следовательно, в значениях функции F , корень которой ищется. Неаналитические методы поиска корней редко могут справиться с таким поведением.

Многократная съемка

Метод прямой многократной съемки разделяет интервал [ t _a , t _b ] путем введения дополнительных точек сетки. $t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}.$ Метод начинается с угадывания значений y во всех точках сетки t _k с $0 \leq k \leq N - 1$ . Обозначим эти предположения через y _k . Пусть y ( t ; tk _- , yk _k ) обозначает решение, исходящее из го узла сетки, то есть решение начальной задачи $y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{k})=y_{k}.$ Все эти решения можно соединить вместе, чтобы сформировать непрерывную траекторию, если значения y совпадают в точках сетки. Таким образом, решения краевой задачи соответствуют решениям следующей системы N уравнений: ${\begin{aligned}y(t_{1};t_{0},y_{0})&=y_{1}\\&\;\,\vdots \\y(t_{N-1};t_{N-2},y_{N-2})&=y_{N-1}\\y(t_{N};t_{N-1},y_{N-1})&=y_{b}.\end{aligned}}$ Центральные уравнения N −2 представляют собой условия сшивки, а первое и последнее уравнения — это условия $y (t a) = y a$ и $y (t b) = y b$ из краевой задачи. Метод многократной стрельбы решает краевую задачу путем решения этой системы уравнений. модификация метода Ньютона Обычно для последней задачи используется .

Множественная съемка и методы параллельных во времени

Множественная стрельба была принята для получения параллельных решателей для задач начального значения . ^[1]Например, метод параллельного интегрирования Parareal во времени можно вывести как алгоритм многократной съемки со специальной аппроксимацией якобиана . ^[2]

Ссылки

^ Киль, Мартин (1994). «Параллельная многократная съемка для решения задач начального значения». Параллельные вычисления . 20 (3): 275–295. дои : 10.1016/S0167-8191(06)80013-X .
^ Гандер, Мартин Дж.; Вандевалле, Стефан (2007). «Анализ метода интегрирования парареального времени и параллельного времени». Журнал SIAM по научным вычислениям . 29 (2): 556–578. CiteSeerX 10.1.1.92.9922 . дои : 10.1137/05064607X .

Стер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002), Введение в численный анализ (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3 . См. разделы 7.3.5 и далее.
Бок, Ханс Георг; Плитт, Карл Дж. (1984), «Алгоритм многократной стрельбы для прямого решения задач оптимального управления», Труды 9-го Всемирного конгресса IFAC , 9-й Всемирный конгресс IFAC: Мост между наукой управления и технологией, Будапешт, Венгрия, 2- 6 июля 1984 г., вып. 17, Будапешт, стр. 1603–1608, doi : 10.1016/S1474-6670(17)61205-9. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Моррисон, Дэвид Д.; Райли, Джеймс Д.; Занканаро, Джон Ф. (декабрь 1962 г.), «Метод многократной стрельбы для двухточечных краевых задач» (PDF) , Commun. ACM , 5 (12): 613–614, doi : 10.1145/355580.369128 , S2CID 8774159

[1] Киль, Мартин (1994). «Параллельная многократная съемка для решения задач начального значения». Параллельные вычисления . 20 (3): 275–295. дои : 10.1016/S0167-8191(06)80013-X .

[gander2007-2] Гандер, Мартин Дж.; Вандевалле, Стефан (2007). «Анализ метода интегрирования парареального времени и параллельного времени». Журнал SIAM по научным вычислениям . 29 (2): 556–578. CiteSeerX 10.1.1.92.9922 . дои : 10.1137/05064607X .

[1]

[2]