Парареал

Parareal — это параллельный алгоритм численного анализа , используемый для решения задач начального значения . ^[1]Он был представлен в 2001 году компаниями Lions , Maday и Turinici. С тех пор он стал одним из наиболее широко изучаемых методов параллельной во времени интеграции. ^{[ нужна ссылка ]}

Иллюстрация первой итерации Parareal (адаптировано из оригинальной версии) ^[2]).

Методы параллельной во времени интеграции

В отличие, например, от методов Рунге-Кутты или многоэтапных методов, некоторые вычисления в Parareal могут выполняться параллельно , и поэтому Parareal является одним из примеров метода параллельного во времени интегрирования . Хотя исторически большинство усилий по распараллеливанию численного решения уравнений в частных производных было сосредоточено на пространственной дискретизации, ввиду проблем, связанных с экзафлопсными вычислениями , параллельные методы временной дискретизации были идентифицированы как возможный способ повышения параллелизма в числовом программном обеспечении . ^[3]Поскольку Parareal вычисляет численное решение для нескольких временных шагов параллельно, оно классифицируется как метод параллельных шагов . ^[4]В этом отличие от подходов, использующих параллелизм в рамках метода, таких как параллельные методы Рунге-Кутты или экстраполяции, где независимые этапы могут рассчитываться параллельно или параллельно с использованием системных методов, таких как релаксация формы сигнала. ^[5]^[6]

История

Парареалистический метод может быть получен либо как многосеточный метод во времени, либо как метод многократной съемки по оси времени. ^[7]Обе идеи, многосеточные во времени, а также использование множественной съемки для интеграции времени, восходят к 1980-м и 1990-м годам. ^[8]^[9]Парареал — это широко изученный метод, который использовался и модифицировался для множества различных приложений. ^[10]Идеи распараллеливания решения задач с начальными значениями берут свое начало еще дальше: первая статья, предлагающая метод параллельного во времени интегрирования, появилась в 1964 году. ^[11]

Алгоритм

Проблема

Цель состоит в том, чтобы решить задачу начального значения вида

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=f(t,u)\quad {\text{over}}\quad t\in [t_{0},T]\quad {\text{with}}\quad u(t_{0})=u^{0}.$

Правая сторона $f$ предполагается гладкой (возможно, нелинейной) функцией. Это также может соответствовать пространственной дискретизации уравнения в частных производных в методе прямых . Мы хотим решить эту проблему на временной сетке $N+1$ равноотстоящие точки $(t_{0},t_{1},\ldots ,t_{N})$ , где $t_{j+1}=t_{j}+\Delta T$ и $\Delta T=(T-t_{0})/N$ . Выполняя эту дискретизацию, мы получаем разделенный интервал времени, состоящий из временных интервалов. $[t_{j},t_{j+1}]$ для $j=0,\ldots ,N-1$ .

Цель состоит в том, чтобы рассчитать числовые аппроксимации. $U_{j}$ к точному решению $u(t_{j})$ с использованием метода последовательного временного шага (например, Рунге-Кутты), который имеет высокую числовую точность (и, следовательно, высокую вычислительную стоимость). Мы называем этот метод точным решателем. ${\mathcal {F}}$ , который распространяет начальное значение $U_{j}$ во время $t_{j}$ до конечной стоимости $U_{j+1}$ во время $t_{j+1}$ . Цель состоит в том, чтобы вычислить решение (с высокой числовой точностью), используя ${\mathcal {F}}$ такой, что мы получаем

$U_{j+1}={\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}),\quad {\text{where}}\quad U_{0}=u^{0}.$

Проблема этого решения (и в первую очередь причина попыток параллельного решения) заключается в том, что расчеты в реальном времени невозможно выполнить с вычислительной точки зрения.

Как это работает

Вместо использования одного процессора для решения задачи начального значения (как это делается в классических методах временного шага), Parareal использует $N$ процессоры. Цель состоит в том, чтобы использовать $N$ процессоры для решения $N$ меньшие задачи с начальным значением (по одной на каждый временной интервал) параллельно. Например, в коде на основе MPI : $N$ будет числом процессов, тогда как в OpenMP коде на основе $N$ будет равно количеству потоков .

Parareal использует второй метод временного шага для параллельного решения этой задачи с начальным значением, называемый грубым решателем. ${\mathcal {G}}$ .Грубый решатель работает так же, как и точный, распространяя начальное значение на интервал времени длиной $\Delta T$ , однако он делает это с гораздо меньшей числовой точностью, чем ${\mathcal {F}}$ (и, следовательно, с гораздо меньшими вычислительными затратами). Наличие грубого решателя, который требует гораздо меньше вычислительных затрат, чем точный решатель, является ключом к достижению параллельного ускорения с помощью Parareal.

В дальнейшем будем обозначать парареалистическое решение в момент времени $t_{j}$ и итерация $k$ к $U_{j}^{k}$ .

Нулевая итерация

Во-первых, запустите грубый решатель последовательно на протяжении всего временного интервала. $[t_{0},T]$ чтобы вычислить приблизительное начальное предположение решения:

$U_{j+1}^{0}={\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{0}),\quad j=0,\ldots ,N-1.$

Последующие итерации

Затем запустите точный решатель на каждом временном интервале параллельно, исходя из самых последних значений решения:

${\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1}),\quad j=0,\ldots ,N-1.$

Теперь обновите значения парареалистического решения последовательно, используя предиктор-корректор:

$U_{j+1}^{k}={\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k})+{\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1})-{\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1}),\quad j=0,\ldots ,N-1.$

На этом этапе можно использовать критерий остановки, чтобы определить, не изменяются ли значения решения больше на каждой итерации. Например, можно проверить это, проверив,

$|U_{j}^{k}-U_{j}^{k-1}|<\varepsilon \quad \forall \ j\leq N,$

и немного терпимости $\varepsilon >0$ . Если этот критерий не удовлетворяется, последующие итерации могут быть запущены путем параллельного применения точного решателя, а затем предиктора-корректора. Однако если критерий удовлетворен, говорят, что алгоритм сошелся к $k\leq N$ итерации. Обратите внимание, что существует другой критерий остановки, который был успешно протестирован в Parareal.

Примечания

Parareal должен воспроизвести решение, полученное последовательным применением точного решателя, и сходится максимум за $N$ итерации. ^[7]Однако для того, чтобы Parareal мог обеспечить ускорение, он должен сходиться за число итераций, значительно меньшее количества временных интервалов, т.е. $k\ll N$ .

В парареалистической итерации дорогостоящая в вычислительном отношении оценка ${\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1})$ могут выполняться параллельно $N$ блоки обработки.Напротив, зависимость $U_{j+1}^{k}$ на ${\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k})$ означает, что грубая поправка должна рассчитываться в последовательном порядке.

Обычно для грубого и тонкого интегратора выбирается та или иная форма метода Рунге-Кутты, где ${\mathcal {G}}$ может иметь более низкий порядок и использовать больший временной шаг, чем ${\mathcal {F}}$ .Если проблема начального значения возникает из-за дискретизации УЧП, ${\mathcal {G}}$ можно также использовать более грубую пространственную дискретизацию, но это может отрицательно повлиять на сходимость, если не используется интерполяция высокого порядка. ^[12]

Визуализация алгоритма Parareal. Грубый пропагатор здесь помечен

{\bar {\varphi }}

тогда как тонкий распространитель помечен

\varphi

.

Ускорение

простую теоретическую модель ускорения Parareal . При некоторых предположениях можно вывести ^[13]Хотя в приложениях эти предположения могут быть слишком ограничительными, модель по-прежнему полезна для иллюстрации компромиссов, связанных с получением ускорения с помощью Parareal.

Во-первых, предположим, что каждый временной интервал $[t_{j},t_{j+1}]$ состоит из ровно $N_{f}$ шаги тонкого интегратора и $N_{c}$ шаги грубого интегратора.Это включает в себя, в частности, предположение, что все временные интервалы имеют одинаковую длину и что как грубый, так и точный интегратор используют постоянный размер шага в течение всего моделирования.Во-вторых, обозначим $\tau _{f}$ и $\tau _{c}$ время вычисления, необходимое для одного шага тонкого и грубого методов соответственно, и предположим, что оба являются постоянными.Обычно это не совсем так, когда используется неявный метод, поскольку тогда время выполнения варьируется в зависимости от количества итераций, требуемых итеративным решателем .

При этих двух предположениях время выполнения тонкого метода интегрирования по $P$ временные интервалы могут быть смоделированы как

$c_{\text{fine}}=PN_{f}\tau _{f}.$

Среда выполнения Parareal с использованием $P$ блоки обработки и выполнения $k$ итерации

$c_{\text{parareal}}=(k+1)PN_{c}\tau _{c}+kN_{f}\tau _{f}.$

Ускорение Parareal тогда есть

$S_{p}={\frac {c_{\text{fine}}}{c_{\text{parareal}}}}={\frac {1}{(k+1){\frac {N_{c}}{N_{f}}}{\frac {\tau _{c}}{\tau _{f}}}+{\frac {k}{P}}}}\leq \min \left\{{\frac {N_{f}\tau _{f}}{N_{c}\tau _{c}}},{\frac {P}{k}}\right\}.$

Эти две границы иллюстрируют компромисс, который необходимо сделать при выборе грубого метода: с одной стороны, он должен быть дешевым и/или использовать гораздо больший временной шаг, чтобы сделать первую оценку максимально большой, с другой передайте количество итераций $k$ должен быть низким, чтобы вторая граница оставалась большой.В частности, параллельная эффективность Parareal ограничена

$E_{p}={\frac {S_{p}}{P}}\leq {\frac {1}{k}},$

то есть обратное количество требуемых итераций.

Нестабильность мнимых собственных значений

В ванильной версии Parareal есть проблемы с мнимыми собственными значениями . ^[7] Обычно он сходится только к самым последним итерациям, то есть $k$ подходы $N$ , и ускорение $S_{p}$ всегда будет меньше единицы. Таким образом, либо число итераций мало и Parareal нестабилен, либо, если $k$ достаточно велик, чтобы сделать Parareal стабильным, ускорение невозможно. Это также означает, что парареал обычно неустойчив для гиперболических уравнений. ^[14] Несмотря на то, что формальный анализ Гандера и Вандевалле охватывает только линейные задачи с постоянными коэффициентами, проблема также возникает, когда Parareal применяется к нелинейным уравнениям Навье – Стокса , когда коэффициент вязкости становится слишком маленьким, а число Рейнольдса слишком большим. ^[15] Существуют разные подходы к стабилизации Парареала, ^[16]^[17]^[18] один из них — Крылов-подпространство, улучшенное Парареал.

Варианты

Существует множество алгоритмов, которые напрямую основаны или, по крайней мере, вдохновлены оригинальным алгоритмом Parareal.

Крылов-подпространство, улучшенное Parareal

Вначале было признано, что для линейных задач информация, полученная с помощью тонкого метода, ${\mathcal {F}}_{\delta t}$ можно использовать для повышения точности грубого метода ${\mathcal {G}}_{\Delta t}$ . ^[17] Первоначально идея была сформулирована для параллельного неявного интегратора времени PITA: ^[19] метод, тесно связанный с Parareal, но с небольшими отличиями в том, как выполняется коррекция. В каждой итерации $k$ результат ${\mathcal {F}}_{\delta t}(U_{j}^{k})$ вычисляется для значений $u_{j}^{k}\in \mathbb {R} ^{d}$ для $j=0,\ldots ,N-1$ . На основе этой информации подпространство

$S_{k}:=\left\{U_{j}^{k'}:0\leq k'\leq k,j=0,\ldots ,N-1\right\}$

определяется и обновляется после каждой итерации Parareal. ^[20] Обозначим как $P_{k}$ ортогональная проекция из $\mathbb {R} ^{d}$ к $S_{k}$ . Затем замените грубый метод улучшенным интегратором. ${\mathcal {K}}_{\Delta t}(u)={\mathcal {F}}_{\delta t}(P_{k}u)+{\mathcal {G}}_{\Delta t}((I-P_{k})u)$ .

По мере увеличения количества итераций пространство $S_{k}$ будет расти и модифицированный пропагатор ${\mathcal {K}}_{\Delta t}$ станет точнее. Это приведет к более быстрому сближению. Эта версия Parareal также может стабильно интегрировать линейные гиперболические уравнения в частных производных. ^[21] Существует также расширение нелинейных задач, основанное на методе приведенного базиса. ^[18]

Гибридные парареалистические спектральные отложенные поправки

Метод с повышенной параллельной эффективностью, основанный на сочетании Parareal со спектральными отложенными поправками (SDC). ^[22] был предложен М. Миньоном. ^[23] Это ограничивает выбор грубого и тонкого интегратора SDC, жертвуя гибкостью ради повышения параллельной эффективности. Вместо предела $1/k$ , граница параллельной эффективности в гибридном методе становится

$E_{p}\leq {\frac {k_{s}}{k_{p}}}$

с $k_{s}$ количество итераций базового метода последовательного SDC и $k_{p}$ обычно большее количество итераций параллельного гибридного метода. Гибрид Parareal-SDC был дополнительно улучшен за счет добавления схемы полной аппроксимации , используемой в нелинейных многосеточных системах . Это привело к разработке параллельной схемы полной аппроксимации в пространстве и времени (PFASST). ^[24] Производительность PFASST была изучена для PEPC, решателя частиц на основе древовидного кода Барнса-Хата , разработанного в Суперкомпьютерном центре Юлиха . Моделирование с использованием всех 262 144 ядер в системе IBM BlueGene /P JUGENE показало, что PFASST может обеспечить дополнительное ускорение помимо насыщения распараллеливания пространственного дерева. ^[25]

Многосетевое сокращение времени (MGRIT)

Метод многосеточного сокращения времени (MGRIT) обобщает интерпретацию Parareal как многосеточного алгоритма во времени на несколько уровней с использованием различных сглаживателей. ^[26] Это более общий подход, но для конкретного выбора параметров он эквивалентен Parareal. Библиотека XBraid , реализующая MGRIT, разрабатывается Ливерморской национальной лабораторией Лоуренса .

ПараЭксп

ParaExp использует экспоненциальные интеграторы в Parareal. ^[27] Хотя он ограничен линейными задачами, он может обеспечить почти оптимальное параллельное ускорение.

Ссылки

^ Львы, Жак-Луи; Мадей, Ивон; Туриничи, Габриэль (2015). [ Lions maday «Парареалистическая» во времени дискретизация PDE's]]. Доклады Академии наук, серия I. 332 (7): 661–668. Бибкод : 2001CRASM.332..661L . дои : 10.1016/S0764-4442(00)01793-6 . {{cite journal}}: Проверять |url= ценность ( помощь )
^ Пентланд, Кямран; Тамборрино, Массимилиано; Самаддар, Дебасмита; Аппель, Линтон (2022). «Стохастический парареал: применение вероятностных методов к распараллеливанию времени» (PDF) . SIAM Журнал по научным вычислениям . 45 (3): С82–С102. дои : 10.1137/21M1414231 . S2CID 235485544 .
^ Джек Донгарра; Джеффри Хиттингер; Джон Белл; Луис Чакон; Роберт Фалгоут; Майкл Геру; Пол Ховланд; Эсмонд Нг; Клейтон Вебстер; Стефан Вильд (март 2014 г.). Прикладные математические исследования для экзафлопсных вычислений (PDF) (Отчет). Министерство энергетики США . Проверено 29 августа 2015 г.
^ Беррейдж, Кевин (1997). «Параллельные методы для ОДУ». Достижения в области вычислительной математики . 7 (1–2): 1–31. дои : 10.1023/А:1018997130884 . S2CID 15778447 .
^ Изерлес, А.; НЁРСЕТТ, СП (1 октября 1990 г.). «К теории параллельных методов Рунге-Кутты». Журнал IMA численного анализа . 10 (4): 463–488. дои : 10.1093/иманум/10.4.463 . ISSN 0272-4979 .
^ Кетчесон, Дэвид; Вахид, Умайр бин (13 июня 2014 г.). «Сравнение явных методов Рунге – Кутты высокого порядка, экстраполяции и отложенных методов коррекции последовательно и параллельно». Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 9 (2): 175–200. arXiv : 1305.6165 . дои : 10.2140/camcos.2014.9.175 . ISSN 2157-5452 . S2CID 15242644 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Гандер, Мартин Дж.; Вандевалле, Стефан (2007). «Анализ парареального метода интегрирования во времени и параллельном времени». SIAM Журнал по научным вычислениям . 29 (2): 556–578. CiteSeerX 10.1.1.154.6042 . дои : 10.1137/05064607X .
^ Хакбуш, Вольфганг (1985). Параболические многосеточные методы . стр. 189–197. ISBN 9780444875976 . Проверено 29 августа 2015 г. {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
^ Киль, Мартин (1994). «Параллельная многократная съемка для решения задач начального значения». Параллельные вычисления . 20 (3): 275–295. дои : 10.1016/S0167-8191(06)80013-X .
^ Гандер, Мартин Дж. (2015). 50 лет интеграции параллельного времени . Вклад в математические и вычислительные науки. Том. 9 (1-е изд.). Международное издательство Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-23321-5 . ISBN 978-3-319-23321-5 .
^ Нивергельт, Юрг (1964). «Параллельные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений» . Коммуникации АКМ . 7 (12): 731–733. дои : 10.1145/355588.365137 . S2CID 6361754 .
^ Рупрехт, Дэниел (1 декабря 2014 г.). «Конвергенция Парареализма с пространственным огрублением» (PDF) . Труды по прикладной математике и механике . 14 (1): 1031–1034. дои : 10.1002/pamm.201410490 . ISSN 1617-7061 . S2CID 26356904 .
^ Миньон, Майкл Л. (2010). «Гибридный парареалистический спектральный метод отложенных поправок» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 5 (2): 265–301. дои : 10.2140/camcos.2010.5.265 .
^ Персонал, Гуннар Андреас; Ренквист, Эйнар М. (1 января 2005 г.). Барт, Тимоти Дж.; Грибель, Майкл; Киз, Дэвид Э.; Ниеминен, Ристо М.; Руз, Дирк; Шлик, Тамар; Корнхубер, Ральф; Хоппе, Рональд; Перио, Жак (ред.). Устойчивость парареалистического алгоритма . Конспекты лекций по вычислительной технике и технике. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 449–456. дои : 10.1007/3-540-26825-1_46 . ISBN 9783540225232 .
^ Штайнер, Йоханнес; Рупрехт, Дэниел; Спек, Роберт; Краузе, Рольф (01 января 2015 г.). «Сходимость парареалистических уравнений Навье-Стокса в зависимости от числа Рейнольдса». В Абдулле, Ассир; Депари, Симона; Кресснер, Дэниел; Нобиле, Фабио; Пикассо, Марко (ред.). Численная математика и расширенные приложения — ENUMATH 2013 . Конспекты лекций по вычислительной технике и технике. Том. 103. Международное издательство Спрингер. стр. 195–202. CiteSeerX 10.1.1.764.6242 . дои : 10.1007/978-3-319-10705-9_19 . ISBN 9783319107042 .
^ Дай, X.; Мадей, Ю. (1 января 2013 г.). «Устойчивый парареалистический во времени метод для гиперболических систем первого и второго порядка». SIAM Журнал по научным вычислениям . 35 (1): А52–А78. arXiv : 1201.1064 . Бибкод : 2013ГАК...35А..52Д . дои : 10.1137/110861002 . ISSN 1064-8275 . S2CID 32336370 .
^ Jump up to: ^а ^б Фархат, Шарбель; Кортиаль, Жюльен; Дастиллунг, Климен; Бавестрелло, Анри (30 июля 2006 г.). «Неявные интеграторы, параллельные во времени, для прогнозирования линейных структурных динамических реакций в режиме, близком к реальному времени». Международный журнал численных методов в технике . 67 (5): 697–724. Бибкод : 2006IJNME..67..697F . дои : 10.1002/nme.1653 . ISSN 1097-0207 . S2CID 121254646 .
^ Jump up to: ^а ^б Чен, Фэн; Хестхавен, Ян С.; Чжу, Сюэю (01 января 2014 г.). «Об использовании методов приведенного базиса для ускорения и стабилизации парареалистического метода». В Квартерони, Альфио ; Роцца, Джанлуиджи (ред.). Методы пониженного порядка для моделирования и сокращения вычислений . MS&A - Моделирование, симуляция и приложения. Международное издательство Спрингер. стр. 187–214. дои : 10.1007/978-3-319-02090-7_7 . ISBN 9783319020891 .
^ Фархат, Шарбель; Чандесрис, Мэрион (7 ноября 2003 г.). «Параллельные интеграторы времени с разложением по времени: теория и технико-экономические обоснования для приложений жидкости, структуры и жидкости-структуры». Международный журнал численных методов в технике . 58 (9): 1397–1434. Бибкод : 2003IJNME..58.1397F . дои : 10.1002/nme.860 . ISSN 1097-0207 . S2CID 61667246 .
^ Гандер, М.; Петку, М. (2008). «Анализ парареалистического алгоритма, расширенного подпространством Крылова, для линейных задач» . ЕСАИМ: Труды . 25 : 114–129. дои : 10.1051/проц:082508 .
^ Рупрехт, Д.; Краузе, Р. (30 апреля 2012 г.). «Явная параллельная во времени интеграция линейной акустико-адвекционной системы». Компьютеры и жидкости . 59 : 72–83. arXiv : 1510.02237 . doi : 10.1016/j.compfluid.2012.02.015 . S2CID 15703896 .
^ Датт, Алок; Грингард, Лесли; Рохлин, Владимир (01.06.2000). «Спектральные методы отложенной коррекции обыкновенных дифференциальных уравнений». БИТ Численная математика . 40 (2): 241–266. дои : 10.1023/А:1022338906936 . ISSN 0006-3835 . S2CID 43449672 .
^ Миньон, Майкл (5 января 2011 г.). «Гибридный парареалистический метод спектральных отложенных коррекций» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 5 (2): 265–301. дои : 10.2140/camcos.2010.5.265 . ISSN 2157-5452 .
^ Эммет, Мэтью; Миньон, Майкл (28 марта 2012 г.). «На пути к эффективному методу параллелей во времени для уравнений в частных производных» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 7 (1): 105–132. дои : 10.2140/camcos.2012.7.105 . ISSN 2157-5452 .
^ Спек, Р.; Рупрехт, Д.; Краузе, Р.; Эммет, М.; Миньон, М.; Винкель, М.; Гиббон, П. (1 ноября 2012 г.). «Массовый параллельный решатель N-тел в пространстве и времени». 2012 Международная конференция по высокопроизводительным вычислениям, сетям, хранению и анализу . стр. 1–11. дои : 10.1109/SC.2012.6 . ISBN 978-1-4673-0805-2 . S2CID 1620219 .
^ Фалгоут, Р.; Фридхофф, С.; Колев Т.; Маклахлан, С.; Шредер, Дж. (1 января 2014 г.). «Параллельная временная интеграция с Multigrid». SIAM Журнал по научным вычислениям . 36 (6): C635–C661. Бибкод : 2014SJSC...36C.635F . CiteSeerX 10.1.1.701.2603 . дои : 10.1137/130944230 . ISSN 1064-8275 .
^ Гандер, М.; Гюттель, С. (1 января 2013 г.). «PARAEXP: параллельный интегратор для линейных задач начального значения». SIAM Журнал по научным вычислениям . 35 (2): C123–C142. Бибкод : 2013ГАК...35С.123Г . CiteSeerX 10.1.1.800.5938 . дои : 10.1137/110856137 . ISSN 1064-8275 .

Внешние ссылки

parallel-in-time.org

[1] Львы, Жак-Луи; Мадей, Ивон; Туриничи, Габриэль (2015). [ Lions maday «Парареалистическая» во времени дискретизация PDE's]]. Доклады Академии наук, серия I. 332 (7): 661–668. Бибкод : 2001CRASM.332..661L . дои : 10.1016/S0764-4442(00)01793-6 . {{cite journal}}: Проверять |url= ценность ( помощь )

[2] Пентланд, Кямран; Тамборрино, Массимилиано; Самаддар, Дебасмита; Аппель, Линтон (2022). «Стохастический парареал: применение вероятностных методов к распараллеливанию времени» (PDF) . SIAM Журнал по научным вычислениям . 45 (3): С82–С102. дои : 10.1137/21M1414231 . S2CID 235485544 .

[3] Джек Донгарра; Джеффри Хиттингер; Джон Белл; Луис Чакон; Роберт Фалгоут; Майкл Геру; Пол Ховланд; Эсмонд Нг; Клейтон Вебстер; Стефан Вильд (март 2014 г.). Прикладные математические исследования для экзафлопсных вычислений (PDF) (Отчет). Министерство энергетики США . Проверено 29 августа 2015 г.

[4] Беррейдж, Кевин (1997). «Параллельные методы для ОДУ». Достижения в области вычислительной математики . 7 (1–2): 1–31. дои : 10.1023/А:1018997130884 . S2CID 15778447 .

[5] Изерлес, А.; НЁРСЕТТ, СП (1 октября 1990 г.). «К теории параллельных методов Рунге-Кутты». Журнал IMA численного анализа . 10 (4): 463–488. дои : 10.1093/иманум/10.4.463 . ISSN 0272-4979 .

[6] Кетчесон, Дэвид; Вахид, Умайр бин (13 июня 2014 г.). «Сравнение явных методов Рунге – Кутты высокого порядка, экстраполяции и отложенных методов коррекции последовательно и параллельно». Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 9 (2): 175–200. arXiv : 1305.6165 . дои : 10.2140/camcos.2014.9.175 . ISSN 2157-5452 . S2CID 15242644 .

[gander2007-7] Jump up to: ^а ^б ^с Гандер, Мартин Дж.; Вандевалле, Стефан (2007). «Анализ парареального метода интегрирования во времени и параллельном времени». SIAM Журнал по научным вычислениям . 29 (2): 556–578. CiteSeerX 10.1.1.154.6042 . дои : 10.1137/05064607X .

[8] Хакбуш, Вольфганг (1985). Параболические многосеточные методы . стр. 189–197. ISBN 9780444875976 . Проверено 29 августа 2015 г. {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )

[9] Киль, Мартин (1994). «Параллельная многократная съемка для решения задач начального значения». Параллельные вычисления . 20 (3): 275–295. дои : 10.1016/S0167-8191(06)80013-X .

[10] Гандер, Мартин Дж. (2015). 50 лет интеграции параллельного времени . Вклад в математические и вычислительные науки. Том. 9 (1-е изд.). Международное издательство Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-23321-5 . ISBN 978-3-319-23321-5 .

[11] Нивергельт, Юрг (1964). «Параллельные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений» . Коммуникации АКМ . 7 (12): 731–733. дои : 10.1145/355588.365137 . S2CID 6361754 .

[12] Рупрехт, Дэниел (1 декабря 2014 г.). «Конвергенция Парареализма с пространственным огрублением» (PDF) . Труды по прикладной математике и механике . 14 (1): 1031–1034. дои : 10.1002/pamm.201410490 . ISSN 1617-7061 . S2CID 26356904 .

[13] Миньон, Майкл Л. (2010). «Гибридный парареалистический спектральный метод отложенных поправок» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 5 (2): 265–301. дои : 10.2140/camcos.2010.5.265 .

[14] Персонал, Гуннар Андреас; Ренквист, Эйнар М. (1 января 2005 г.). Барт, Тимоти Дж.; Грибель, Майкл; Киз, Дэвид Э.; Ниеминен, Ристо М.; Руз, Дирк; Шлик, Тамар; Корнхубер, Ральф; Хоппе, Рональд; Перио, Жак (ред.). Устойчивость парареалистического алгоритма . Конспекты лекций по вычислительной технике и технике. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 449–456. дои : 10.1007/3-540-26825-1_46 . ISBN 9783540225232 .

[15] Штайнер, Йоханнес; Рупрехт, Дэниел; Спек, Роберт; Краузе, Рольф (01 января 2015 г.). «Сходимость парареалистических уравнений Навье-Стокса в зависимости от числа Рейнольдса». В Абдулле, Ассир; Депари, Симона; Кресснер, Дэниел; Нобиле, Фабио; Пикассо, Марко (ред.). Численная математика и расширенные приложения — ENUMATH 2013 . Конспекты лекций по вычислительной технике и технике. Том. 103. Международное издательство Спрингер. стр. 195–202. CiteSeerX 10.1.1.764.6242 . дои : 10.1007/978-3-319-10705-9_19 . ISBN 9783319107042 .

[16] Дай, X.; Мадей, Ю. (1 января 2013 г.). «Устойчивый парареалистический во времени метод для гиперболических систем первого и второго порядка». SIAM Журнал по научным вычислениям . 35 (1): А52–А78. arXiv : 1201.1064 . Бибкод : 2013ГАК...35А..52Д . дои : 10.1137/110861002 . ISSN 1064-8275 . S2CID 32336370 .

[:0-17] Jump up to: ^а ^б Фархат, Шарбель; Кортиаль, Жюльен; Дастиллунг, Климен; Бавестрелло, Анри (30 июля 2006 г.). «Неявные интеграторы, параллельные во времени, для прогнозирования линейных структурных динамических реакций в режиме, близком к реальному времени». Международный журнал численных методов в технике . 67 (5): 697–724. Бибкод : 2006IJNME..67..697F . дои : 10.1002/nme.1653 . ISSN 1097-0207 . S2CID 121254646 .

[:1-18] Jump up to: ^а ^б Чен, Фэн; Хестхавен, Ян С.; Чжу, Сюэю (01 января 2014 г.). «Об использовании методов приведенного базиса для ускорения и стабилизации парареалистического метода». В Квартерони, Альфио ; Роцца, Джанлуиджи (ред.). Методы пониженного порядка для моделирования и сокращения вычислений . MS&A - Моделирование, симуляция и приложения. Международное издательство Спрингер. стр. 187–214. дои : 10.1007/978-3-319-02090-7_7 . ISBN 9783319020891 .

[19] Фархат, Шарбель; Чандесрис, Мэрион (7 ноября 2003 г.). «Параллельные интеграторы времени с разложением по времени: теория и технико-экономические обоснования для приложений жидкости, структуры и жидкости-структуры». Международный журнал численных методов в технике . 58 (9): 1397–1434. Бибкод : 2003IJNME..58.1397F . дои : 10.1002/nme.860 . ISSN 1097-0207 . S2CID 61667246 .

[20] Гандер, М.; Петку, М. (2008). «Анализ парареалистического алгоритма, расширенного подпространством Крылова, для линейных задач» . ЕСАИМ: Труды . 25 : 114–129. дои : 10.1051/проц:082508 .

[21] Рупрехт, Д.; Краузе, Р. (30 апреля 2012 г.). «Явная параллельная во времени интеграция линейной акустико-адвекционной системы». Компьютеры и жидкости . 59 : 72–83. arXiv : 1510.02237 . doi : 10.1016/j.compfluid.2012.02.015 . S2CID 15703896 .

[22] Датт, Алок; Грингард, Лесли; Рохлин, Владимир (01.06.2000). «Спектральные методы отложенной коррекции обыкновенных дифференциальных уравнений». БИТ Численная математика . 40 (2): 241–266. дои : 10.1023/А:1022338906936 . ISSN 0006-3835 . S2CID 43449672 .

[23] Миньон, Майкл (5 января 2011 г.). «Гибридный парареалистический метод спектральных отложенных коррекций» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 5 (2): 265–301. дои : 10.2140/camcos.2010.5.265 . ISSN 2157-5452 .

[24] Эммет, Мэтью; Миньон, Майкл (28 марта 2012 г.). «На пути к эффективному методу параллелей во времени для уравнений в частных производных» . Коммуникации в прикладной математике и вычислительной технике . 7 (1): 105–132. дои : 10.2140/camcos.2012.7.105 . ISSN 2157-5452 .

[25] Спек, Р.; Рупрехт, Д.; Краузе, Р.; Эммет, М.; Миньон, М.; Винкель, М.; Гиббон, П. (1 ноября 2012 г.). «Массовый параллельный решатель N-тел в пространстве и времени». 2012 Международная конференция по высокопроизводительным вычислениям, сетям, хранению и анализу . стр. 1–11. дои : 10.1109/SC.2012.6 . ISBN 978-1-4673-0805-2 . S2CID 1620219 .

[26] Фалгоут, Р.; Фридхофф, С.; Колев Т.; Маклахлан, С.; Шредер, Дж. (1 января 2014 г.). «Параллельная временная интеграция с Multigrid». SIAM Журнал по научным вычислениям . 36 (6): C635–C661. Бибкод : 2014SJSC...36C.635F . CiteSeerX 10.1.1.701.2603 . дои : 10.1137/130944230 . ISSN 1064-8275 .

[27] Гандер, М.; Гюттель, С. (1 января 2013 г.). «PARAEXP: параллельный интегратор для линейных задач начального значения». SIAM Журнал по научным вычислениям . 35 (2): C123–C142. Бибкод : 2013ГАК...35С.123Г . CiteSeerX 10.1.1.800.5938 . дои : 10.1137/110856137 . ISSN 1064-8275 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]