Численные методы для уравнений в частных производных
Численные методы для уравнений в частных производных — это раздел численного анализа , изучающий численное решение уравнений в частных производных (ЧДУ). [1] [2]
В принципе, специализированные методы для гиперболических , [3] параболический [4] или эллиптические уравнения в частных производных [5] существовать. [6] [7]
Обзор методов [ править ]
Метод конечных разностей [ править ]
В этом методе функции представлены их значениями в определенных точках сетки, а производные аппроксимируются через разности этих значений.
Метод линий [ править ]
Метод линий (МОЛ, НМОЛ, НУМОЛ [8] [9] [10] ) — это метод решения уравнений в частных производных (УЧП), в котором все измерения, кроме одного, дискретизированы. стандартные методы и программное обеспечение общего назначения, разработанные для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциально-алгебраических уравнений MOL позволяет использовать (ДАУ). За прошедшие годы на многих различных языках программирования было разработано большое количество процедур интеграции, а некоторые из них были опубликованы как с открытым исходным кодом . ресурсы [11]
Метод линий чаще всего относится к построению или анализу численных методов для уравнений в частных производных, который предполагает сначала дискретизацию только пространственных производных и оставление переменной времени непрерывной. Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой можно применить численный метод для начальных обыкновенных уравнений. Метод линий в этом контексте восходит как минимум к началу 1960-х годов. [12]
Метод конечных элементов [ править ]
Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод поиска приближенных решений краевых задач для дифференциальных уравнений . Он использует вариационные методы ( вариационное исчисление ) для минимизации функции ошибок и получения устойчивого решения. Аналогично идее о том, что соединение множества крошечных прямых линий может аппроксимировать больший круг, FEM включает в себя все методы соединения множества простых уравнений элементов во многих небольших подобластях, называемых конечными элементами, для аппроксимации более сложного уравнения в большей области .
Метод градиентной дискретизации
Метод градиентной дискретизации (GDM) — это численный метод , который включает в себя несколько стандартных или новейших методов. Он основан на раздельной аппроксимации функции и ее градиента. Основные свойства обеспечивают сходимость метода для ряда линейных и нелинейных задач, и поэтому все методы, входящие в структуру GDM (соответствующие и несоответствующие конечные элементы, смешанные конечные элементы, миметическая конечная разность...), наследуют эти свойства сходимости.
Метод конечного объема [ править ]
Метод конечного объема представляет собой численный метод представления и оценки уравнений в частных производных в форме алгебраических уравнений [LeVeque, 2002; Торо, 1999]. Подобно методу конечных разностей или методу конечных элементов , значения вычисляются в дискретных местах сетчатой геометрии. «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку сетки. В методе конечных объемов объемные интегралы в уравнении в частных производных, содержащие член дивергенции , преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о дивергенции . Эти члены затем оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативными . Еще одним преимуществом метода конечных объемов является то, что его легко сформулировать для учета неструктурированных сеток. Этот метод используется во многих пакетах вычислительной гидродинамики .
Спектральный метод [ править ]
Спектральные методы — это методы, используемые в прикладной математике и научных вычислениях для численного решения некоторых дифференциальных уравнений , часто с использованием быстрого преобразования Фурье . Идея состоит в том, чтобы записать решение дифференциального уравнения в виде суммы определенных «базисных функций» (например, в виде ряда Фурье , который представляет собой сумму синусоид ), а затем подобрать в сумме коэффициенты, которые наилучшим образом удовлетворяют дифференциальному уравнению. уравнение.
Спектральные методы и методы конечных элементов тесно связаны и построены на одних и тех же идеях; Основное различие между ними состоит в том, что спектральные методы используют базисные функции, отличные от нуля во всей области, тогда как методы конечных элементов используют базисные функции, которые отличны от нуля только в небольших подобластях. Другими словами, спектральные методы используют глобальный подход , тогда как методы конечных элементов используют локальный подход . Частично по этой причине спектральные методы обладают отличными свойствами погрешностей, причем так называемая «экспоненциальная сходимость» является наиболее быстрой из возможных, когда решение является гладким . Однако неизвестны результаты трехмерного однодоменного спектрального захвата ударов . [13] В сообществе конечных элементов метод, в котором степень элементов очень высока или увеличивается по мере уменьшения параметра сетки h до нуля, иногда называется методом спектральных элементов .
Бессеточные методы [ править ]
Бессеточные методы не требуют сетки, соединяющей точки данных области моделирования. [14] Бессеточные методы позволяют моделировать некоторые сложные типы задач за счет дополнительного вычислительного времени и усилий по программированию.
Методы декомпозиции домена [ править ]
Методы декомпозиции области решают краевую задачу путем разделения ее на более мелкие краевые задачи в подобластях и повторения для координации решения между соседними подобластями. Грубая задача с одним или несколькими неизвестными на каждый поддомен используется для дальнейшей глобальной координации решения между поддоменами. Задачи в поддоменах независимы, что делает методы декомпозиции доменов пригодными для параллельных вычислений . Методы декомпозиции области обычно используются в качестве предварительных условий для пространства Крылова итерационных методов , таких как метод сопряженных градиентов или GMRES .
В методах декомпозиции перекрывающихся доменов поддомены перекрываются больше, чем интерфейс. Методы декомпозиции перекрывающихся областей включают альтернативный метод Шварца и аддитивный метод Шварца . Многие методы декомпозиции области могут быть написаны и проанализированы как частный случай абстрактного аддитивного метода Шварца .
В непересекающихся методах поддомены пересекаются только на своем интерфейсе. В основных методах, таких как балансирующая декомпозиция домена и BDDC , непрерывность решения через интерфейс поддомена обеспечивается путем представления значения решения на всех соседних поддоменах одним и тем же неизвестным. В двойных методах, таких как FETI , непрерывность решения по интерфейсу субдоменов обеспечивается множителями Лагранжа . Метод FETI-DP представляет собой гибрид двойного и первичного метода.
Методы декомпозиции непересекающихся областей также называются итерационными методами подструктурирования .
Методы раствора — это методы дискретизации уравнений в частных производных, которые используют отдельную дискретизацию в непересекающихся подобластях. Сетки в подобластях не совпадают на интерфейсе, а равенство решения обеспечивается множителями Лагранжа, разумно выбранными для сохранения точности решения. В инженерной практике в методе конечных элементов непрерывность решений между несовпадающими подобластями реализуется многоточечными ограничениями .
Моделирование моделей среднего размера методом конечных элементов требует решения линейных систем с миллионами неизвестных. Несколько часов на один временной шаг — это среднее время последовательной работы, поэтому параллельные вычисления необходимы. Методы декомпозиции области содержат большой потенциал для распараллеливания методов конечных элементов и служат основой для распределенных параллельных вычислений.
Многосеточные методы [ править ]
Многосеточные (МГ) методы в численном анализе представляют собой группу алгоритмов решения дифференциальных уравнений использованием иерархии дискретизаций с . Они являются примером класса методов, называемых методами мультиразрешения , которые очень полезны (но не ограничиваются ими) в задачах, демонстрирующих множественные масштабы поведения. Например, многие базовые методы релаксации демонстрируют разные скорости сходимости для коротковолновых и длинноволновых компонентов, что предполагает различное отношение к этим различным масштабам, как в подходе анализа Фурье к многосеточным методам. [15] Методы MG могут использоваться как в качестве решателей, так и в качестве предобуславливателей .
Основная идея многосеточного подхода заключается в ускорении сходимости базового итерационного метода путем глобальной время от времени коррекции, достигаемой путем решения грубой задачи . Этот принцип аналогичен интерполяции между более грубой и более мелкой сеткой. Типичное применение многосеточного метода — численное решение эллиптических уравнений в частных производных в двух или более измерениях. [16]
Многосеточные методы могут применяться в сочетании с любыми распространенными методами дискретизации. Например, метод конечных элементов можно преобразовать в многосеточный метод. [17] В этих случаях многосеточные методы являются одними из самых быстрых методов решения, известных сегодня. В отличие от других методов, многосеточные методы являются общими, поскольку они могут обрабатывать произвольные области и граничные условия . Они не зависят от разделимости уравнений или других специальных свойств уравнения. Они также широко использовались для более сложных несимметричных и нелинейных систем уравнений, таких как Ламе система упругости или уравнения Навье – Стокса . [18]
Сравнение [ править ]
Метод конечных разностей часто рассматривается как самый простой метод для изучения и использования. Методы конечных элементов и конечных объемов широко используются в технике и вычислительной гидродинамике и хорошо подходят для решения задач сложной геометрии.Спектральные методы, как правило, являются наиболее точными при условии, что решения достаточно гладкие.
См. также [ править ]
- Список тем численного анализа#Численные методы для уравнений в частных производных
- Численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Дальнейшее чтение [ править ]
- ЛеВек, Рэндалл Дж. (1992). Численные методы исследования законов сохранения . Базель: Биркхойзер Базель. дои : 10.1007/978-3-0348-8629-1 . ISBN 9783764327231 . Проверено 15 ноября 2021 г.
- Андерсон, Дейл А.; Плетчер, Ричард Х.; Таннехилл, Джон К. (2013). Вычислительная механика жидкости и теплопередача . Серия по вычислительным и физическим процессам в механике и теплотехнике (3-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press, Taylor & Francisco Group. ISBN 9781591690375 .
Ссылки [ править ]
- ^ Пиндер, Джордж Ф. (2018). Численные методы решения уравнений в частных производных: всеобъемлющее введение для ученых и инженеров . Хобокен, Нью-Джерси. ISBN 978-1-119-31636-7 . OCLC 1015215158 .
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) - ^ Рубинштейн, Джейкоб; Пинчовер, Иегуда, ред. (2005), «Численные методы» , Введение в уравнения в частных производных , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 309–336, doi : 10.1017/cbo9780511801228.012 , ISBN 978-0-511-80122-8 , получено 15 ноября 2021 г.
- ^ «Гиперболическое уравнение в частных производных, численные методы — Энциклопедия математики» . энциклопедияofmath.org . Проверено 15 ноября 2021 г.
- ^ «Параболическое уравнение в частных производных, численные методы — Энциклопедия математики» . энциклопедияofmath.org . Проверено 15 ноября 2021 г.
- ^ «Эллиптическое уравнение в частных производных, численные методы — Энциклопедия математики» . энциклопедияofmath.org . Проверено 15 ноября 2021 г.
- ^ Эванс, Гвинн (2000). Численные методы решения уравнений в частных производных . Дж. М. Блэкледж, П. Ярдли. Лондон: Спрингер. ISBN 3-540-76125-Х . OCLC 41572731 .
- ^ Гроссманн, Кристиан (2007). Численная обработка уравнений в частных производных . Ханс-Гёрг Роос, М. Стайнс. Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-71584-9 . OCLC 191468303 .
- ^ Шиссер, МЫ (1991). Численный метод линий . Академическая пресса. ISBN 0-12-624130-9 .
- ^ Хамди, С., В.Е. Шиссер и Г.В. Гриффитс (2007), Метод линий , Scholarpedia , 2 (7): 2859.
- ^ Шиссер, МЫ; Гриффитс, GW (2009). Сборник моделей уравнений в частных производных: метод анализа линий с помощью Matlab . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-51986-1 .
- ^ Ли, HJ; Шиссер, МЫ (2004). Подпрограммы для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных на C, C++, Fortran, Java, Maple и Matlab . ЦРК Пресс. ISBN 1-58488-423-1 .
- ^ Е. Н. Сармин, Л. А. Чудов (1963), Об устойчивости численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающего при использовании метода прямых, Вычислительная математика и математическая физика СССР , 3 (6), (1537–1543) .
- ^ стр. 235, Спектральные методы : эволюция к сложной геометрии и приложения к гидродинамике, Кануто, Хуссаини, Квартерони и Занг, Springer, 2007.
- ^ Чен, Шан-Ин; Вэй, Цзянь-Ю; Сюй, Го-Чин (01 октября 2023 г.). «Ассимиляция данных для моделирования подземных потоков в реальном времени с динамически адаптивной бессеточной корректировкой узлов» . Инженерное дело с компьютерами . дои : 10.1007/s00366-023-01897-6 . ISSN 1435-5663 .
- ^ Роман Винандс; Вольфганг Йоппих (2005). Практический анализ Фурье для многосеточных методов . ЦРК Пресс. п. 17. ISBN 1-58488-492-4 .
- ^ У. Троттенберг; CW Остерли; А. Шуллер (2001). Многосеточный . Академическая пресса. ISBN 0-12-701070-Х .
- ^ Ю Чжу; Андреас К. Кангелларис (2006). Многосеточные методы конечных элементов для моделирования электромагнитного поля . Уайли. п. 132 и далее . ISBN 0-471-74110-8 .
- ^ Шах, Тасним Мохаммад (1989). Анализ многосеточного метода (Диссертация). Оксфордский университет. Бибкод : 1989STIN...9123418S .
Внешние ссылки [ править ]
- Курс «Численные методы для уравнений в частных производных» в MIT OpenCourseWare .
- IMS , дополнение IMTEK Mathematica с открытым исходным кодом (IMS)
- Численные методы PDE для ученых и инженеров , лекции и коды открытого доступа для числовых PDE