Методы декомпозиции домена

В математике , численном анализе и численных уравнениях в частных производных методы декомпозиции области решают краевую задачу путем разделения ее на более мелкие краевые задачи в подобластях и повторения для координации решения между соседними подобластями. Грубая задача с одним или несколькими неизвестными на каждый поддомен используется для дальнейшей глобальной координации решения между поддоменами. Задачи в поддоменах независимы, что делает методы декомпозиции доменов пригодными для параллельных вычислений . Методы декомпозиции области обычно используются в качестве предобуславливателей для пространства Крылова итерационных методов , таких как метод сопряженных градиентов , GMRES и LOBPCG .

В методах декомпозиции перекрывающихся доменов поддомены перекрываются больше, чем интерфейс. Методы декомпозиции перекрывающихся областей включают альтернативный метод Шварца и аддитивный метод Шварца . Многие методы декомпозиции области могут быть написаны и проанализированы как частный случай абстрактного аддитивного метода Шварца .

В непересекающихся методах поддомены пересекаются только на своем интерфейсе. В основных методах, таких как балансирующая декомпозиция домена и BDDC , непрерывность решения через интерфейс поддомена обеспечивается путем представления значения решения на всех соседних поддоменах одним и тем же неизвестным. В двойных методах, таких как FETI , непрерывность решения по интерфейсу субдоменов обеспечивается множителями Лагранжа . Метод FETI-DP представляет собой гибрид двойного и первичного метода.

Методы декомпозиции непересекающихся областей также называются итерационными методами подструктурирования .

Методы раствора — это методы дискретизации уравнений в частных производных, которые используют отдельную дискретизацию в непересекающихся подобластях. Сетки в подобластях не совпадают на интерфейсе, а равенство решения обеспечивается множителями Лагранжа, разумно выбранными для сохранения точности решения. В инженерной практике в методе конечных элементов непрерывность решений между несовпадающими подобластями реализуется многоточечными ограничениями .

Моделирование моделей среднего размера методом конечных элементов требует решения линейных систем с миллионами неизвестных. Несколько часов на один временной шаг — это среднее время последовательной работы, поэтому параллельные вычисления необходимы. Методы декомпозиции области содержат большой потенциал для распараллеливания методов конечных элементов и служат основой для распределенных параллельных вычислений.

Пример 1: 1D линейный BVP

$u''(x)-u(x)=0$
$u(0)=0,u(1)=1$
Точное решение:
$u(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}}$
Разделите домен на два поддомена, один из $\left[0,{\frac {1}{2}}\right]$ и еще один из $\left[{\frac {1}{2}},1\right]$ . В левой подобласти определите интерполирующую функцию $v_{1}(x)$ и правильно определить $v_{2}(x)$ . На интерфейсе между этими двумя поддоменами должны быть наложены следующие условия интерфейса:
$v_{1}\left({\frac {1}{2}}\right)=v_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)$
$v_{1}'\left({\frac {1}{2}}\right)=v_{2}'\left({\frac {1}{2}}\right)$
Пусть интерполирующие функции определены как:
$v_{1}(x)=\sum _{n=0}^{N}u_{n}T_{n}(y_{1}(x))$
$v_{2}(x)=\sum _{n=0}^{N}u_{n+N}T_{n}(y_{2}(x))$
$y_{1}(x)=4x-1$
$y_{2}(x)=4x-3$
Где $T_{n}(y)$ — n-я кардинальная функция полиномов Чебышева первого рода с входным аргументом y.
Если N=4, то по этой схеме получается следующее приближение:
$u_{1}=0.06236$
$u_{2}=0.21495$
$u_{3}=0.37428$
$u_{4}=0.44341$
$u_{5}=0.51492$
$u_{6}=0.69972$
$u_{7}=0.90645$
Это было получено с помощью следующего кода MATLAB.

clear all
N = 4;
a1 = 0; b1 = 1/2; 

[T D1 D2 E1 E2 x xsub] = cheb(N,a1,b1); % the diff matrices on [0,1/2] are the same
%as those on [1/2 1].
I = eye(N+1);
H = D2-I;
H1 = [[1 zeros(1,N)]; H(2:end-1,:); [zeros(1,N) 1]];
H1 = [H1 [zeros(N,N+1); -[1 zeros(1,N)]]];
H2 = [D1(1,:); H(2:end-1,:); [zeros(1,N) 1]];
H2 = [[-D1(N+1,:); zeros(N,N+1)] H2];
K = [H1; H2];
F = [zeros(2*N+1,1); 1];
u = K\F;
xx = -cos(pi*(0:N)'/N);
x1 = 1/4*(xx+1); x2 = 1/4*(xx+3);
x = [x1; x2];
uex = (exp(x)-exp(-x))./(exp(1)-exp(-1));

См. также

Многосеточный метод

Внешние ссылки

Официальная страница методов декомпозиции домена
«Разложение предметной области — страница численного моделирования» . Архивировано из оригинала 26 января 2021 г.