Балансирующий метод декомпозиции домена
В численном анализе метод разложения балансирующей области (BDD) представляет собой итерационный метод поиска решения симметричной положительно определенной системы линейных алгебраических уравнений, возникающей в результате метода конечных элементов . [1] На каждой итерации он объединяет решение локальных проблем на непересекающихся поддоменах с грубой проблемой, созданной из нулевых пространств поддоменов . BDD требует только решения проблем подобласти, а не доступа к матрицам этих проблем, поэтому он применим к ситуациям, когда доступны только операторы решения, например, при нефтяного пласта моделировании с помощью смешанных конечных элементов . [2] В своей первоначальной формулировке BDD хорошо работает только для задач 2-го порядка, таких как эластичность в 2D и 3D. Для задач 4-го порядка, таких как изгиб пластины , ее необходимо модифицировать, добавив к грубой задаче специальные базовые функции, которые обеспечивают непрерывность решения в углах подобласти: [3] однако это делает его более дорогим. Метод BDDC использует те же угловые базисные функции, что и [3] но аддитивным, а не мультипликативным образом. [4] Двойным аналогом BDD является FETI , который обеспечивает равенство решения между подобластями с помощью множителей Лагранжа. Базовые версии BDD и FETI математически не эквивалентны, хотя специальная версия FETI разработана для решения сложных задач. [5] имеет те же собственные значения и, следовательно, по существу ту же производительность, что и BDD. [6] [7]
Оператор системы, решаемой с помощью BDD, тот же, что и полученный путем исключения неизвестных внутри подобласти, что сводит задачу к дополнению Шура на интерфейсе подобласти. Поскольку предобуславливатель BDD включает решение задач Неймана во всей подобласти, он является членом класса методов Неймана-Неймана , названного так потому, что они решают задачу Неймана по обе стороны интерфейса между подобластями.
В простейшем случае грубое пространство BDD состоит из функций, постоянных на каждой подобласти и усредненных на интерфейсах. В более общем смысле, в каждом поддомене грубое пространство должно содержать только нулевое пространство задачи в качестве подпространства.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Дж. Мандель, Балансирующая декомпозиция домена , Comm. Число. Methods Engrg., 9 (1993), стр. 233–241. два : 10.1002/cnm.1640090307
- ^ LC Cowsar, J. Mandel и MF Wheeler, Разложение балансирующей области для смешанных конечных элементов , Math. Комп., 64 (1995), стр. 989–1015. два : 10.1090/S0025-5718-1995-1297465-9
- ^ Jump up to: а б П. Ле Таллек, Дж. Мандель и М. Видраску, Алгоритм разложения области Неймана-Неймана для решения задач о пластинах и оболочках , SIAM Journal on Numerical Analysis, 35 (1998), стр. 836–867. дои : 10.1137/S0036142995291019
- ^ Дж. Мандель и К.Р. Дорманн, Сходимость разложения балансирующей области с помощью ограничений и минимизации энергии , Numer. Приложение линейной алгебры, 10 (2003), стр. 639–659. дои : 10.1002/большой.341
- ^ М. Бхардвадж, Д. Дэй, К. Фархат, М. Лесуан, К. Пирсон и Д. Риксен, Применение метода FETI к проблемам ASCI - результаты масштабируемости на 1000 процессорах и обсуждение весьма гетерогенных проблем , Международный журнал для Численные методы в технике, 47 (2000), стр. 513–535. doi : 10.1002/(SICI)1097-0207(20000110/30)47:1/3<513::AID-NME782>3.0.CO;2-V
- ^ Ю. Фрагакис, Двойственность силы и смещения в методах разложения доменов для механики твердого тела и конструкций . Чтобы появиться в Comput. Методы Прикл. Мех. англ., 2007.
- ^ Б. Соуседик и Дж. Мандель, Об эквивалентности предварительных условий первичного и двойственного подструктурирования . arXiv:math/0802.4328, 2008.