Метод материальной точки

Метод материальной точки ( MPM ) — это численный метод, используемый для моделирования поведения твердых тел , жидкостей , газов и любых других непрерывных материалов. В частности, это надежный метод пространственной дискретизации для моделирования многофазных взаимодействий (твердое тело-жидкость-газ). В MPM континуальное тело описывается рядом небольших лагранжевых элементов, называемых «материальными точками». Эти материальные точки окружены фоновой сеткой/сеткой, которая используется для расчета таких условий, как градиент деформации. В отличие от других методов, основанных на сетках, таких как метод конечных элементов , метод конечных объемов или метод конечных разностей , MPM не является методом, основанным на сетке, а вместо этого классифицируется как метод без сетки/без сетки или метод частиц на основе непрерывной среды, примерами которого являются сглаженные частицы. гидродинамика и перидинамика . Несмотря на наличие фоновой сетки, MPM не имеет недостатков сеточных методов (высокая деформация, запутывание, ошибки адвекции и т. д.), что делает его перспективным и мощным инструментом в вычислительная механика .

Первоначально MPM был предложен как расширение аналогичного метода, известного как FLIP (дальнейшее расширение метода под названием PIC ) для вычислительной динамики твердого тела, в начале 1990 года профессорами Деборой Л. Сульски , Чжэнь Ченом и Говардом Л. Шрайером в Университет Нью-Мексико. После этой первоначальной разработки MPM получил дальнейшее развитие как в национальных лабораториях, так и в Университете Нью-Мексико , Университете штата Орегон , Университете Юты и других местах в США и во всем мире. В последнее время число учреждений, исследующих MPM, росло, а популярность и осведомленность возросли из различных источников, таких как использование MPM в диснеевском фильме « Холодное сердце» .

Алгоритм

Моделирование MPM состоит из следующих этапов:

(До этапа интеграции времени)

Инициализация сетки и материальных точек.
1. Геометрия дискретизируется на набор материальных точек, каждая из которых имеет свои собственные свойства материала и начальные условия (скорость, напряжение, температура и т. д.).
2. Сетка, используемая только для обеспечения места для вычислений градиента, обычно создается для покрытия области, достаточно большой, чтобы заполнить ожидаемую протяженность вычислительной области, необходимой для моделирования.

(На этапе временной интеграции – явная формулировка )

Количества материальных точек экстраполируются на узлы сетки.
1. Материальная точечная масса ( ${\textstyle m_{mp}}$ ), momenta ( ${\textstyle {\vec {P_{mp}}}}$ ), напряжения ( ${\boldsymbol {\bar {\bar {\sigma }}}}_{mp}$ ) и внешние силы ( ${\vec {b}}$ ) экстраполируются на узлы в углах ячеек, внутри которых находятся материальные точки. Чаще всего это делается с использованием стандартных функций линейной формы ( ${\textstyle N_{nd-mp}}$ ), то же самое, что используется в FEM.
2. Сетка использует значения материальных точек для создания масс ( ${\textstyle M_{node}}$ ), скорости ( ${\textstyle {\vec {V_{node}}}}$ ), векторы внутренних и внешних сил ( ${\textstyle {\vec {F_{node}^{\mathsf {internal}}}}}$ , ${\textstyle {\vec {F_{node}^{\mathsf {external}}}}}$ ) для узлов: $M_{node}=\sum _{mp}m_{mp}~~N_{mp-nd}$ ${\vec {V_{node}}}={1 \over M_{node}}~~\sum _{mp}{\vec {P_{mp}}}~~N_{mp-nd}$ ${\vec {F_{node}^{internal}}}=\sum _{mp}~~{\bar {\bar {\sigma }}}_{mp}~~\nabla N_{mp-nd}$ ${\vec {F_{node}^{\mathsf {external}}}}=\sum _{mp}{\vec {b}}~~N_{mp-nd}$
Уравнения движения решаются на сетке.
1. Второй закон Ньютона решается для получения узлового ускорения ( ${\vec {A_{node}}}$ ) ${\vec {A_{node}}}={\vec {F_{node}^{external}+{\vec {F_{node}^{internal}}} \over M_{node}}}$
2. Найдены новые узловые скорости ( ${\tilde {\vec {V_{node}}}}$ ). ${\tilde {\vec {V_{node}}}}={\vec {V_{node}}}+{\vec {A_{node}}}\mathrm {d} t$
Производные члены экстраполируются обратно к материальным точкам.
1. Ускорение материальной точки ( ${\vec {a_{mp}}}$ ), градиент деформации ( ${\mathcal {\bar {\bar {F_{mp}}}}}$ ) (или скорость деформации ( ${\bar {\bar {{\dot {\varepsilon }}_{mp}}}}$ ) в зависимости от используемой теории деформации ) экстраполируется из окружающих узлов с использованием функций формы, аналогичных предыдущим ( $N_{nd-mp}$ ). ${\vec {a_{mp}}}=\sum _{nd}{\vec {A_{node}}}~~N_{nd-mp}$ ${\bar {\bar {{\dot {\varepsilon }}_{mp}}}}=\sum _{nd}~{1 \over 2}~~[{\vec {V_{node}}}\nabla N_{nd-mp}+(V_{node}\nabla N_{nd-mp})^{T}]$
2. Переменные в материальных точках: положения, скорости, деформации, напряжения и т. д. затем обновляются с этими скоростями в зависимости от схемы интегрирования выбранной и подходящей конститутивной модели .
Сброс сетки.
Теперь, когда материальные точки полностью обновляются на следующем временном шаге, сетка сбрасывается, чтобы можно было начать следующий временной шаг.

История ПИК/МПМ

Первоначально PIC был задуман для решения задач гидродинамики и разработан Харлоу в Национальной лаборатории Лос-Аламоса в 1957 году. ^[1] Одним из первых кодов PIC была программа Fluid-Implicit Particle (FLIP), созданная Брэкбиллом в 1986 году. ^[2] и с тех пор постоянно находится в развитии. До 1990-х годов метод PIC использовался в основном в гидродинамике.

Движимые необходимостью лучшего моделирования проблем проникновения в твердой динамике, Сульски, Чен и Шрейер в 1993 году начали переформулировать PIC и разрабатывать MPM при финансовой поддержке Sandia National Laboratories. ^[3] Первоначальный MPM был затем расширен Bardenhagen et al. . включить фрикционный контакт, ^[4] что позволило моделировать поток гранул, ^[5] и Нэрном, чтобы включить явные трещины ^[6] и распространение трещин (известное как CRAMP).

Недавно была реализована реализация MPM, основанная на микрополярном континууме Коссера. ^[7] использовался для моделирования потока гранулированных материалов с высоким сдвигом, например, при разгрузке силоса. Использование MPM было дополнительно расширено в геотехнической инженерии с недавней разработкой квазистатического неявного решателя MPM, который обеспечивает численно стабильный анализ задач большой деформации в механике грунтов . ^[8]

Ежегодные семинары по использованию MPM проводятся в различных местах США. Пятый семинар по MPM прошел в Университете штата Орегон , в Корваллисе, штат Орегон , 2 и 3 апреля 2009 года.

Применение PIC/MPM

Использование метода PIC или MPM можно разделить на две широкие категории: во-первых, существует множество приложений, включающих гидродинамику, физику плазмы, магнитогидродинамику и многофазные приложения. Ко второй категории приложений относятся задачи механики твердого тела.

Гидродинамика и многофазное моделирование

Метод PIC использовался для моделирования широкого спектра взаимодействий жидкости и твердого тела, включая динамику морского льда, ^[9] проникновение в биологические мягкие ткани, ^[10] фрагментация газонаполненных канистр, ^[11] рассеивание атмосферных загрязнителей, ^[12] многомасштабное моделирование, связывающее молекулярную динамику с MPM, ^[13]^[14] и взаимодействие жидкость-мембрана. ^[15] Кроме того, код FLIP на основе PIC применялся в инструментах магнитной гидродинамики и плазменной обработки, а также в моделировании астрофизики и течений на свободной поверхности. ^[16]

В результате совместных усилий математического факультета Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе и студии Walt Disney Animation Studios MPM успешно использовалась для имитации снега в анимационном фильме 2013 года «Холодное сердце» . ^[17]^[18]^[19]

Твердая механика

MPM также широко используется в механике твердого тела для моделирования удара, проникновения, столкновения и отскока, а также распространения трещин. ^[20]^[21] MPM также стал широко используемым методом в области механики грунтов: его использовали для моделирования потока гранул, проверки быстроты чувствительных глин, ^[22] оползни, ^[23]^[24]^[25] разгрузка силоса, забивка свай, испытание на падение конуса, ^[26]^[27]^[28]^[29] наполнение ковша и разрушение материала; и моделировать распределение напряжений в почве, ^[30] уплотнение и затвердевание. В настоящее время он используется в задачах механики древесины, таких как моделирование поперечного сжатия на клеточном уровне, включая контакт клеточной стенки. ^[31] Работа также получила премию Джорджа Марры как «бумага года» от Общества науки и технологии древесины. ^[32]

Классификация кодов PIC/MPM

MPM в контексте численных методов

Одним из подмножеств численных методов являются методы Meshfree , которые определяются как методы, для которых «предопределенная сетка не требуется, по крайней мере, при интерполяции полевых переменных». В идеале бессеточный метод не использует сетку «на протяжении всего процесса решения задачи, описываемой уравнениями в частных производных, в заданной произвольной области с учетом всех видов граничных условий», хотя существующие методы не идеальны и неэффективны в хотя бы одно из этих уважений. Бессеточные методы, которые также иногда называют методами частиц, имеют «общую особенность: история переменных состояния прослеживается в точках (частицах), которые не связаны ни с какой сеткой элементов, искажение которой является источником численных трудностей». Как видно из этих различных интерпретаций, некоторые ученые считают MPM бессеточным методом, а другие - нет. Однако все согласны с тем, что MPM — это метод частиц.

Методы произвольного лагранжа-эйлера (ALE) образуют еще одно подмножество численных методов, которое включает MPM. Чисто лагранжевы методы используют структуру, в которой пространство дискретизируется на начальные подобъемы, пути потока которых затем наносятся на карту с течением времени. С другой стороны, чисто эйлеровы методы используют структуру, в которой движение материала описывается относительно сетки, которая остается фиксированной в пространстве на протяжении всего расчета. Как следует из названия, методы ALE сочетают в себе лагранжеву и эйлерову системы отсчета.

Подклассификация MPM/PIC

Методы PIC могут быть основаны либо на коллокации в сильной форме, либо на дискретизации в слабой форме основного уравнения в частных производных (PDE). Методы, основанные на сильной форме, правильно называются методами PIC конечного объема. Те, которые основаны на дискретизации слабой формы PDE, могут называться PIC или MPM.

Решатели MPM могут моделировать проблемы в одном, двух или трех пространственных измерениях, а также моделировать осесимметричные задачи. MPM может быть реализован для решения квазистатических или динамических уравнений движения , в зависимости от типа моделируемой задачи. Несколько версий MPM включают метод обобщенной интерполяции материальной точки. ^[33];Метод интерполяции области конвекционных частиц; ^[34] Метод интерполяции конвекционных частиц наименьших квадратов. ^[35]

Интеграция по времени, используемая для MPM, может быть явной или неявной . Преимущество неявной интеграции заключается в гарантированной стабильности даже на больших временных шагах. С другой стороны, явная интеграция выполняется намного быстрее и ее проще реализовать.

Преимущества

По сравнению с ФЭМ

В отличие от FEM , MPM не требует периодических шагов по изменению сетки и переназначения переменных состояния и, следовательно, лучше подходит для моделирования больших деформаций материала. В MPM всю информацию о состоянии расчета хранят частицы, а не точки сетки. Таким образом, возвращение сетки в исходное положение после каждого цикла расчета не приводит к числовой ошибке, и алгоритм повторного создания сетки не требуется.

Частичная основа MPM позволяет ему обрабатывать распространение трещин и другие неоднородности лучше, чем FEM, который, как известно, влияет на ориентацию сетки при распространении трещин в материале. Кроме того, методы частиц лучше справляются с исторически-зависимыми конститутивными моделями.

По сравнению с методами чистых частиц

Поскольку в MPM узлы остаются фиксированными на регулярной сетке, расчет градиентов тривиален.

В симуляциях с двумя или более фазами довольно легко обнаружить контакт между объектами, поскольку частицы могут взаимодействовать через сетку с другими частицами в том же теле, с другими твердыми телами и с жидкостями.

Недостатки МПМ

MPM дороже с точки зрения хранения, чем другие методы, поскольку MPM использует как сетку, так и данные частиц. MPM требует больше вычислительных затрат, чем FEM, поскольку сетка должна быть сброшена в конце каждого шага расчета MPM и повторно инициализирована в начале следующего шага. Ложные колебания могут возникать, когда частицы пересекают границы сетки в MPM, хотя этот эффект можно свести к минимуму с помощью методов обобщенной интерполяции (GIMP). В MPM, как и в FEM, размер и ориентация сетки могут влиять на результаты расчета: например, в MPM известно, что локализация деформации особенно чувствительна к измельчению сетки. Одной из проблем стабильности в MPM, которая не возникает в FEM, являются ошибки пересечения ячеек и ошибки нулевого пространства. ^[36] потому что количество точек интегрирования (материальных точек) не остается постоянным в ячейке.

Примечания

^ Джонсон, Нидерланды (1996). «Наследие и будущее CFD в Лос-Аламосе». Материалы Канадской конференции CFD 1996 года . ОСТИ 244662 .
^ Брэкбилл, Ю.; Руппель, HM (1986). «FLIP: метод адаптивно зональных расчетов потоков жидкости в двух измерениях по принципу частиц в ячейках». Журнал вычислительной физики . 65 (2): 314–343. Бибкод : 1986JCoPh..65..314B . дои : 10.1016/0021-9991(86)90211-1 . ISSN 0021-9991 .
^ Сульский, Д.; Чен, З.; Шрайер, Х.Л. (1994). «Метод частиц для материалов, зависящих от истории» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 118 (1): 179–196. дои : 10.1016/0045-7825(94)90112-0 . ISSN 0045-7825 .
^ Барденхаген, СГ; Брэкбилл, Ю.; Сульский, Д.Л. (1998). «Сдвиговая деформация сыпучих материалов» . дои : 10.2172/329539 . ОСТИ 329539 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Венцковский, Здзислав; Юн, Сон Ки; Ён, Чон Хым (1999). «Решение проблемы разгрузки бункера по принципу частиц в ячейках». Международный журнал численных методов в технике . 45 (9): 1203–1225. Бибкод : 1999IJNME..45.1203W . doi : 10.1002/(SICI)1097-0207(19990730)45:9<1203::AID-NME626>3.0.CO;2-C . ISSN 1097-0207 .
^ Нэрн, Дж. А. (2003). «Расчеты методом материальной точки с явными трещинами». Компьютерное моделирование в технике и науках . 4 (6): 649–664. дои : 10.3970/cmes.2003.004.649 .
^ Кутзи, Корн Дж. (2004). Моделирование течения гранулятов методом частиц в ячейках (кандидатская диссертация). Стелленбош: Университет Стелленбоша.
^ Бет, Л., Кутзи, К.Дж., Боннье, П. и ван ден Берг, П. «Формулировка и проверка метода квазистатической материальной точки». На 10-м Международном симпозиуме по численным методам в геомеханике, 2007 г.
^ Ван, Р.-Х; Джи, С.-Ю.; Шен, Хун Тао; Юэ, К.-Дж. (2005). «Модифицированный метод PIC для динамики морского льда» . Китайская океанотехника . 19 : 457–468 – через ResearchGate.
^ Ионеску И., Гилки Дж., Берзиньш М., Кирби Р. и Вайс Дж. « Вычислительное моделирование проникающей травмы биологических мягких тканей с использованием MPM ».
^ Банерджи, Бисваджит (2012). «Моделирование фрагментации цилиндров методом материальной точки» . Исследовательские ворота . arXiv : 1201.2439 . Бибкод : 2012arXiv1201.2439B . Проверено 18 июня 2019 г.
^ Патанкар, Северная Каролина; Джозеф, Д.Д. (2001). «Лагранжево численное моделирование потоков твердых частиц». Международный журнал многофазного потока . 27 (10): 1685–1706. дои : 10.1016/S0301-9322(01)00025-8 . ISSN 0301-9322 .
^ Лу, Х.; Дафалапуркар, Северная Каролина; Ван, Б.; Рой, С.; Командури, Р. (2006). «Многомасштабное моделирование от атомистического до континуального – сочетание молекулярной динамики (МД) с методом материальной точки (MPM)». Философский журнал . 86 (20): 2971–2994. Бибкод : 2006PMag...86.2971L . дои : 10.1080/14786430600625578 . ISSN 1478-6435 . S2CID 137383632 .
^ Ма, Джин (2006). Многомасштабное моделирование с использованием обобщенного интерполяционного метода материальных точек, дискретных дислокаций и молекулярной динамики (кандидатская диссертация). Государственный университет Оклахомы.
^ Йорк, Аллен Р.; Сульски, Дебора; Шрайер, Ховард Л. (2000). «Взаимодействие жидкости и мембраны на основе метода материальной точки». Международный журнал численных методов в технике . 48 (6): 901–924. Бибкод : 2000IJNME..48..901Y . doi : 10.1002/(SICI)1097-0207(20000630)48:6<901::AID-NME910>3.0.CO;2-T . ISSN 1097-0207 .
^ Лю, Винг Кам; Ли, Шаофань (2002). «Бессеточные методы и методы частиц и их приложения». Обзоры прикладной механики . 55 (1): 1–34. Бибкод : 2002ApMRv..55....1L . дои : 10.1115/1.1431547 . ISSN 0003-6900 . S2CID 17197495 .
^ Маркес, Летисия (27 февраля 2014 г.). «Математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе оживляют снег для диснеевского мультфильма «Холодное сердце » . Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе сегодня . Архивировано из оригинала 10 марта 2014 года . Проверено 6 марта 2014 г.
^ Алексей Стомахин; Крейг Шредер; Лоуренс Чай; Джозеф Теран; Эндрю Селле (август 2013 г.). «Метод материальной точки для моделирования снега» (PDF) . Анимационная студия Уолта Диснея . Архивировано из оригинала (PDF) 24 марта 2014 года . Проверено 6 марта 2014 г.
^ «Создание мультфильма «Холодное сердце» Диснея: метод материальных точек для моделирования снега» . Встреча CG . 21 ноября 2013 года . Проверено 18 января 2014 г.
^ Каруппиа, Венкатеш (2004). Реализация нерегулярной сетки в MPM для моделирования смешанного режима раскрытия трещин при растяжении (магистерская диссертация). Государственный университет Оклахомы.
^ Дафалапуркар, Нитин П.; Лу, Хунбин; Кокер, Демир; Командури, Ранга (1 января 2007 г.). «Моделирование динамического роста трещин с использованием метода обобщенной интерполяции материальной точки (GIMP)». Международный журнал переломов . 143 (1): 79–102. дои : 10.1007/s10704-007-9051-z . ISSN 1573-2673 . S2CID 20013793 .
^ Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех; Тхакур, Викас; Карстунен, Минна (2017). «Моделирование испытания на быстроту чувствительных глин с использованием обобщенного метода интерполяции материальных точек» . Оползни в чувствительных глинах . Достижения в области исследований природных и техногенных опасностей. Том. 46. С. 323–326. дои : 10.1007/978-3-319-56487-6_29 . ISBN 978-3-319-56486-9 .
^ Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех (2019). «Обобщенное интерполяционное моделирование проблем больших деформаций методом материальной точки, включая эффекты скорости деформации – применение к проблемам проникновения и прогрессирующего разрушения» . Компьютеры и геотехника . 106 (1): 249–265. Бибкод : 2019CGeot.106..249T . дои : 10.1016/j.compgeo.2018.10.020 .
^ Ллано-Серна, Марсело А.; Фариас, Марсио М.; Педросо, Доривал М. (2016). «Оценка метода материальной точки для моделирования крупномасштабных процессов истощения оползней». Оползни . 13 (5): 1057–1066. дои : 10.1007/s10346-015-0664-4 . ISSN 1612-510X . S2CID 130645666 .
^ Льяно Серна, Марсело Алехандро; Мунис-де Фариас, Марсио; Мартинес-Карвахаль, Эрнан Эдуардо (21 декабря 2015 г.). «Численное моделирование оползня Альто-Верде с использованием метода материальной точки» . ДИНА . 82 (194): 150–159. дои : 10.15446/dyna.v82n194.48179 . ISSN 2346-2183 .
^ Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех (2019). «Обобщенное интерполяционное моделирование проблем больших деформаций методом материальной точки, включая эффекты скорости деформации – применение к проблемам проникновения и прогрессирующего разрушения» . Компьютеры и геотехника . 106 (1): 249–265. Бибкод : 2019CGeot.106..249T . дои : 10.1016/j.compgeo.2018.10.020 .
^ Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех; Карстунен, Минна; Коркиала-Танттуа, Лина (2017). «Моделирование испытаний на падение конуса с эффектом скорости деформации» . Процедия Инжиниринг . 175 : 293–301. дои : 10.1016/j.proeng.2017.01.029 .
^ Льяно-Серна, Массачусетс; Фариас, ММ; Педросо, DM; Уильямс, Дэвид Дж.; Шэн, Д. (2016). «Моделирование испытания падающего конуса в механике грунтов с использованием метода материальной точки». Прикладная механика и материалы . 846 : 336–341. дои : 10.4028/www.scientific.net/AMM.846.336 . ISSN 1662-7482 . S2CID 113653285 .
^ Льяно-Серна, М; Фариас, М. (3 июня 2014 г.), Хикс, Майкл; Бринкгрев, Рональд; Роэ, Александр (ред.), «Использование обобщенного метода материальной точки (GIMP) для моделирования неглубокого проникновения клина», Численные методы в геотехнической инженерии , CRC Press, стр. 259–264, doi : 10.1201/b17017-48 , ISBN 9781138001466
^ Льяно-Серна, Массачусетс; Фариас, ММ (2016). «Численное, теоретическое и экспериментальное обоснование метода материальной точки для решения геотехнических задач» . Международный журнал численных методов расчета и проектирования в технике (на испанском языке). 32 (2): 110–115. дои : 10.1016/j.rimni.2015.02.008 . hdl : 2117/167257 .
^ Нэрн, Джон А. (2007). «Численное моделирование поперечного сжатия и уплотнения древесины» . Наука о дереве и волокнах . 38 (4): 576–591. ISSN 0735-6161 .
^ «Общество науки и технологии древесины: лауреаты премии Джорджа Марры» . 2007. Архивировано из оригинала 23 сентября 2007 г. Проверено 18 июня 2019 г.
^ Барденхаген, СГ; Кобер, Э.М. (2004). «Обобщенный метод интерполяции материальных точек» . Компьютерное моделирование в технике и науках . 5 : 477–496. дои : 10.3970/cmes.2004.005.477 .
^ Садегирад, А.; Брэннон, РМ; Бургхардт, Дж. (2011). «Техника интерполяции области конвекционных частиц, расширяющая применимость метода материальной точки для решения задач, связанных с массивными деформациями» . Международные журналы по численным методам в технике . 86 (12): 1435–1456. Бибкод : 2011IJNME..86.1435S . дои : 10.1002/nme.3110 . S2CID 16715144 .
^ Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех; Берзиньш, Мартин; Галки, Джеймс (2020). «Метод точечной интерполяции наименьших квадратов конвекционных частиц» . Международные журналы по численным методам в технике . 121 (6): 1068–1100. Бибкод : 2020IJNME.121.1068T . дои : 10.1002/nme.6257 . S2CID 209961739 .
^ Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех (2017). «Временной фильтр и фильтр нулевого пространства для метода материальной точки» . Международный журнал численных методов в технике . 120 (3): 328–360. дои : 10.1002/nme.6138 .

Внешние ссылки

[1] Джонсон, Нидерланды (1996). «Наследие и будущее CFD в Лос-Аламосе». Материалы Канадской конференции CFD 1996 года . ОСТИ 244662 .

[2] Брэкбилл, Ю.; Руппель, HM (1986). «FLIP: метод адаптивно зональных расчетов потоков жидкости в двух измерениях по принципу частиц в ячейках». Журнал вычислительной физики . 65 (2): 314–343. Бибкод : 1986JCoPh..65..314B . дои : 10.1016/0021-9991(86)90211-1 . ISSN 0021-9991 .

[3] Сульский, Д.; Чен, З.; Шрайер, Х.Л. (1994). «Метод частиц для материалов, зависящих от истории» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 118 (1): 179–196. дои : 10.1016/0045-7825(94)90112-0 . ISSN 0045-7825 .

[4] Барденхаген, СГ; Брэкбилл, Ю.; Сульский, Д.Л. (1998). «Сдвиговая деформация сыпучих материалов» . дои : 10.2172/329539 . ОСТИ 329539 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[5] Венцковский, Здзислав; Юн, Сон Ки; Ён, Чон Хым (1999). «Решение проблемы разгрузки бункера по принципу частиц в ячейках». Международный журнал численных методов в технике . 45 (9): 1203–1225. Бибкод : 1999IJNME..45.1203W . doi : 10.1002/(SICI)1097-0207(19990730)45:9<1203::AID-NME626>3.0.CO;2-C . ISSN 1097-0207 .

[6] Нэрн, Дж. А. (2003). «Расчеты методом материальной точки с явными трещинами». Компьютерное моделирование в технике и науках . 4 (6): 649–664. дои : 10.3970/cmes.2003.004.649 .

[7] Кутзи, Корн Дж. (2004). Моделирование течения гранулятов методом частиц в ячейках (кандидатская диссертация). Стелленбош: Университет Стелленбоша.

[Beuth-8] Бет, Л., Кутзи, К.Дж., Боннье, П. и ван ден Берг, П. «Формулировка и проверка метода квазистатической материальной точки». На 10-м Международном симпозиуме по численным методам в геомеханике, 2007 г.

[9] Ван, Р.-Х; Джи, С.-Ю.; Шен, Хун Тао; Юэ, К.-Дж. (2005). «Модифицированный метод PIC для динамики морского льда» . Китайская океанотехника . 19 : 457–468 – через ResearchGate.

[Ionescu-10] Ионеску И., Гилки Дж., Берзиньш М., Кирби Р. и Вайс Дж. « Вычислительное моделирование проникающей травмы биологических мягких тканей с использованием MPM ».

[11] Банерджи, Бисваджит (2012). «Моделирование фрагментации цилиндров методом материальной точки» . Исследовательские ворота . arXiv : 1201.2439 . Бибкод : 2012arXiv1201.2439B . Проверено 18 июня 2019 г.

[12] Патанкар, Северная Каролина; Джозеф, Д.Д. (2001). «Лагранжево численное моделирование потоков твердых частиц». Международный журнал многофазного потока . 27 (10): 1685–1706. дои : 10.1016/S0301-9322(01)00025-8 . ISSN 0301-9322 .

[13] Лу, Х.; Дафалапуркар, Северная Каролина; Ван, Б.; Рой, С.; Командури, Р. (2006). «Многомасштабное моделирование от атомистического до континуального – сочетание молекулярной динамики (МД) с методом материальной точки (MPM)». Философский журнал . 86 (20): 2971–2994. Бибкод : 2006PMag...86.2971L . дои : 10.1080/14786430600625578 . ISSN 1478-6435 . S2CID 137383632 .

[Ma-14] Ма, Джин (2006). Многомасштабное моделирование с использованием обобщенного интерполяционного метода материальных точек, дискретных дислокаций и молекулярной динамики (кандидатская диссертация). Государственный университет Оклахомы.

[15] Йорк, Аллен Р.; Сульски, Дебора; Шрайер, Ховард Л. (2000). «Взаимодействие жидкости и мембраны на основе метода материальной точки». Международный журнал численных методов в технике . 48 (6): 901–924. Бибкод : 2000IJNME..48..901Y . doi : 10.1002/(SICI)1097-0207(20000630)48:6<901::AID-NME910>3.0.CO;2-T . ISSN 1097-0207 .

[16] Лю, Винг Кам; Ли, Шаофань (2002). «Бессеточные методы и методы частиц и их приложения». Обзоры прикладной механики . 55 (1): 1–34. Бибкод : 2002ApMRv..55....1L . дои : 10.1115/1.1431547 . ISSN 0003-6900 . S2CID 17197495 .

[ucla-17] Маркес, Летисия (27 февраля 2014 г.). «Математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе оживляют снег для диснеевского мультфильма «Холодное сердце » . Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе сегодня . Архивировано из оригинала 10 марта 2014 года . Проверено 6 марта 2014 г.

[18] Алексей Стомахин; Крейг Шредер; Лоуренс Чай; Джозеф Теран; Эндрю Селле (август 2013 г.). «Метод материальной точки для моделирования снега» (PDF) . Анимационная студия Уолта Диснея . Архивировано из оригинала (PDF) 24 марта 2014 года . Проверено 6 марта 2014 г.

[cgmeetup-19] «Создание мультфильма «Холодное сердце» Диснея: метод материальных точек для моделирования снега» . Встреча CG . 21 ноября 2013 года . Проверено 18 января 2014 г.

[Karuppiah-20] Каруппиа, Венкатеш (2004). Реализация нерегулярной сетки в MPM для моделирования смешанного режима раскрытия трещин при растяжении (магистерская диссертация). Государственный университет Оклахомы.

[21] Дафалапуркар, Нитин П.; Лу, Хунбин; Кокер, Демир; Командури, Ранга (1 января 2007 г.). «Моделирование динамического роста трещин с использованием метода обобщенной интерполяции материальной точки (GIMP)». Международный журнал переломов . 143 (1): 79–102. дои : 10.1007/s10704-007-9051-z . ISSN 1573-2673 . S2CID 20013793 .

[22] Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех; Тхакур, Викас; Карстунен, Минна (2017). «Моделирование испытания на быстроту чувствительных глин с использованием обобщенного метода интерполяции материальных точек» . Оползни в чувствительных глинах . Достижения в области исследований природных и техногенных опасностей. Том. 46. С. 323–326. дои : 10.1007/978-3-319-56487-6_29 . ISBN 978-3-319-56486-9 .

[23] Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех (2019). «Обобщенное интерполяционное моделирование проблем больших деформаций методом материальной точки, включая эффекты скорости деформации – применение к проблемам проникновения и прогрессирующего разрушения» . Компьютеры и геотехника . 106 (1): 249–265. Бибкод : 2019CGeot.106..249T . дои : 10.1016/j.compgeo.2018.10.020 .

[24] Ллано-Серна, Марсело А.; Фариас, Марсио М.; Педросо, Доривал М. (2016). «Оценка метода материальной точки для моделирования крупномасштабных процессов истощения оползней». Оползни . 13 (5): 1057–1066. дои : 10.1007/s10346-015-0664-4 . ISSN 1612-510X . S2CID 130645666 .

[25] Льяно Серна, Марсело Алехандро; Мунис-де Фариас, Марсио; Мартинес-Карвахаль, Эрнан Эдуардо (21 декабря 2015 г.). «Численное моделирование оползня Альто-Верде с использованием метода материальной точки» . ДИНА . 82 (194): 150–159. дои : 10.15446/dyna.v82n194.48179 . ISSN 2346-2183 .

[26] Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех (2019). «Обобщенное интерполяционное моделирование проблем больших деформаций методом материальной точки, включая эффекты скорости деформации – применение к проблемам проникновения и прогрессирующего разрушения» . Компьютеры и геотехника . 106 (1): 249–265. Бибкод : 2019CGeot.106..249T . дои : 10.1016/j.compgeo.2018.10.020 .

[27] Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех; Карстунен, Минна; Коркиала-Танттуа, Лина (2017). «Моделирование испытаний на падение конуса с эффектом скорости деформации» . Процедия Инжиниринг . 175 : 293–301. дои : 10.1016/j.proeng.2017.01.029 .

[28] Льяно-Серна, Массачусетс; Фариас, ММ; Педросо, DM; Уильямс, Дэвид Дж.; Шэн, Д. (2016). «Моделирование испытания падающего конуса в механике грунтов с использованием метода материальной точки». Прикладная механика и материалы . 846 : 336–341. дои : 10.4028/www.scientific.net/AMM.846.336 . ISSN 1662-7482 . S2CID 113653285 .

[29] Льяно-Серна, М; Фариас, М. (3 июня 2014 г.), Хикс, Майкл; Бринкгрев, Рональд; Роэ, Александр (ред.), «Использование обобщенного метода материальной точки (GIMP) для моделирования неглубокого проникновения клина», Численные методы в геотехнической инженерии , CRC Press, стр. 259–264, doi : 10.1201/b17017-48 , ISBN 9781138001466

[30] Льяно-Серна, Массачусетс; Фариас, ММ (2016). «Численное, теоретическое и экспериментальное обоснование метода материальной точки для решения геотехнических задач» . Международный журнал численных методов расчета и проектирования в технике (на испанском языке). 32 (2): 110–115. дои : 10.1016/j.rimni.2015.02.008 . hdl : 2117/167257 .

[31] Нэрн, Джон А. (2007). «Численное моделирование поперечного сжатия и уплотнения древесины» . Наука о дереве и волокнах . 38 (4): 576–591. ISSN 0735-6161 .

[32] «Общество науки и технологии древесины: лауреаты премии Джорджа Марры» . 2007. Архивировано из оригинала 23 сентября 2007 г. Проверено 18 июня 2019 г.

[33] Барденхаген, СГ; Кобер, Э.М. (2004). «Обобщенный метод интерполяции материальных точек» . Компьютерное моделирование в технике и науках . 5 : 477–496. дои : 10.3970/cmes.2004.005.477 .

[34] Садегирад, А.; Брэннон, РМ; Бургхардт, Дж. (2011). «Техника интерполяции области конвекционных частиц, расширяющая применимость метода материальной точки для решения задач, связанных с массивными деформациями» . Международные журналы по численным методам в технике . 86 (12): 1435–1456. Бибкод : 2011IJNME..86.1435S . дои : 10.1002/nme.3110 . S2CID 16715144 .

[35] Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех; Берзиньш, Мартин; Галки, Джеймс (2020). «Метод точечной интерполяции наименьших квадратов конвекционных частиц» . Международные журналы по численным методам в технике . 121 (6): 1068–1100. Бибкод : 2020IJNME.121.1068T . дои : 10.1002/nme.6257 . S2CID 209961739 .

[36] Тран, Куок-Ань; Соловский, Войцех (2017). «Временной фильтр и фильтр нулевого пространства для метода материальной точки» . Международный журнал численных методов в технике . 120 (3): 328–360. дои : 10.1002/nme.6138 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]