Определяющее уравнение

В физике и технике или материальное уравнение материальное соотношение — это отношение между двумя или более физическими величинами (особенно кинетическими величинами, связанными с кинематическими величинами), которое специфично для материала, вещества или поля и аппроксимирует его реакцию на внешние стимулы, обычно как приложенные поля или силы . Они комбинируются с другими уравнениями, управляющими физическими законами, для решения физических проблем; например, в механике жидкости — поток жидкости в трубе , в твердого тела — кристалла на электрическое поле, или в структурном анализе — связь между приложенными напряжениями или нагрузками и деформациями реакция физике .

Некоторые определяющие уравнения являются просто феноменологическими ; другие вытекают из первых принципов . Общее приближенное материальное уравнение часто выражается в виде простой пропорциональности с использованием параметра, принимаемого за свойство материала, такого как электропроводность или жесткость пружины . Однако часто необходимо учитывать зависимость материала от направления, и скалярный параметр обобщается до тензора . Определяющие соотношения также изменяются для учета скорости реакции материалов и их нелинейного поведения. См. статью Функция линейного отклика .

Механические свойства материи

Первое материальное уравнение (определяющий закон) было разработано Робертом Гуком и известно как закон Гука . Рассматривается случай линейно-упругих материалов . После этого открытия широко использовался этот тип уравнения, часто называемый в этом примере «соотношением напряжения-деформации», но также называемый «определяющим предположением» или «уравнением состояния». Уолтер Нолл продвинул использование определяющих уравнений, уточнив их классификацию и роль требований инвариантности, ограничений и определений терминов.типа «материал», «изотропный», «эолотропный» и т. д. Класс «определяющих отношений» формы: скорость напряжения = f (градиент скорости, напряжение, плотность) был предметом Уолтера Нолла диссертации в 1954 году под руководством Клиффорда. Трусделл .

В современной физике конденсированного состояния основное уравнение играет важную роль. См. Линейные определяющие уравнения и Нелинейные корреляционные функции .

Определения

Количество (общее название/я)	(Общий) символ/ы	Определение уравнения	единицы СИ	Измерение
Общий стресс , давление	П , п	$\sigma =F/A$ F — перпендикулярная составляющая силы, приложенной к области A.	Па = Н⋅м −2	[М][Л] −1 [Т] −2
Общая нагрузка	е	$\varepsilon =\Delta D/D$ D , размерность (длина, площадь, объем) Δ D , изменение размеров материала	1	Безразмерный
Общий модуль упругости	Это мод	$E_{\text{mod}}=\sigma /\varepsilon$	Па = Н⋅м −2	[М][Л] −1 [Т] −2
Модуль Юнга	E, ЭЙ	$Y=\sigma /(\Delta L/L)$	Па = Н⋅м −2	[М][Л] −1 [Т] −2
Модуль сдвига	Г	$G=(F/A)/(\Delta x/L)$	Па = Н⋅м −2	[М][Л] −1 [Т] −2
Объемный модуль	К , Б	$B=P/(\Delta V/V)$	Па = Н⋅м −2	[М][Л] −1 [Т] −2
Сжимаемость	С	$C=1/B$	Хорошо −1 = м 2 ⋅N −1	[М] −1 [Л][Т] 2

Деформация твердых тел

Трение

Трение – сложное явление. Макроскопически трения силу F между границей раздела двух материалов можно смоделировать как пропорциональную силе реакции R в точке контакта двух поверхностей через безразмерный коэффициент трения μ _f , который зависит от пары материалов:

$F=\mu _{\text{f}}R.$

Это может быть применено к статическому трению (трению, предотвращающему скольжение двух неподвижных объектов самостоятельно), кинетическому трению (трению между двумя объектами, скользящим друг по другу) или качению (сила трения, которая предотвращает скольжение, но вызывает возникновение крутящего момента на круглый предмет).

Стресс и напряжение

Определяющее соотношение напряжения и деформации для линейных материалов широко известно как закон Гука . В своей простейшей форме закон определяет константу пружины (или константу упругости) k в скалярном уравнении, утверждая, что сила растяжения/сжатия пропорциональна расширенному (или сжатому) смещению x :

$F_{i}=-kx_{i}$

это означает, что материал реагирует линейно. Эквивалентно, через напряжение σ , модуль Юнга E и деформацию ε (безразмерный):

$\sigma =E\,\varepsilon$

В общем, силы, деформирующие твердые тела, могут быть нормальными к поверхности материала (нормальные силы) или тангенциальными (силы сдвига). Это можно описать математически с помощью тензора напряжений :

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}$

где C — тензор упругости , а S — тензор податливости .

Твердотельные деформации

Несколько классов деформаций в упругих материалах следующие:

Пластик

Приложенная сила вызывает невосстановимые деформации материала, когда напряжение (или упругая деформация) достигает критической величины, называемой пределом текучести.

Эластичный

После деформации материал восстанавливает свою первоначальную форму.

вязкоупругий

Если зависящие от времени резистивные вклады велики, ими нельзя пренебрегать. Каучуки и пластмассы обладают этим свойством и, конечно, не удовлетворяют закону Гука. Фактически возникает упругий гистерезис.

Анэластик

Если материал близок к упругому, но приложенная сила вызывает дополнительные зависящие от времени силы сопротивления (т.е. зависят от скорости изменения растяжения/сжатия, помимо растяжения/сжатия). Этой характеристикой обладают металлы и керамика, но она обычно незначительна, хотя и не так велика, когда происходит нагрев из-за трения (например, при вибрации или сдвиговых напряжениях в машинах).

Гиперэластичный

Приложенная сила вызывает смещения в материале в соответствии с функцией плотности энергии деформации .

Столкновения

Относительная скорость отделения v _{отделения} объекта A после столкновения с другим объектом B связана с относительной скоростью сближения v _{сближения} коэффициентом восстановления , определяемым экспериментальным законом удара Ньютона :

$e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{separation}}}{|\mathbf {v} |_{\text{approach}}}}$

который зависит от материалов, из которых сделаны A и B, поскольку при столкновении участвуют взаимодействия на поверхностях A и B. Обычно 0 ≤ e ≤ 1 , в котором e = 1 для полностью упругих столкновений и e = 0 для полностью неупругих столкновений. . Возможно e ≥ 1 возникновение – при сверхупругих (или взрывных) столкновениях.

Деформация жидкостей

Уравнение сопротивления дает силу сопротивления D объекта площади поперечного сечения A, движущегося через жидкость плотностью ρ со скоростью v (относительно жидкости).

$D={\frac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}$

где коэффициент сопротивления (безразмерный) c _d зависит от геометрии объекта и сил сопротивления на границе раздела жидкости и объекта.

Для ньютоновской жидкости вязкости µ τ напряжение сдвига с линейно связано со скоростью деформации ( поперечной скорости потока градиент ) ∂ u ∂ y (единицы / ⁻¹ ). В однородном сдвиговом потоке :

$\tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},$

где u ( y ) изменение скорости потока u в поперечном (поперечном) направлении y . В общем, для ньютоновской жидкости связь между элементами τij _{тензора} сдвиговых напряжений и деформацией жидкости определяется выражением

$\tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)$   с   $e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$   и   $\Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,$

где v _i — компоненты вектора скорости потока в соответствующих x _i направлениях координат , e _ij — компоненты тензора скорости деформации, Δ — объемная скорость деформации (или скорость дилатации) и δ _ij — дельта Кронекера .

Закон идеального газа является определяющим соотношением в том смысле, что давление p и объем V связаны с температурой T через количество молей n газа:

$pV=nRT$

где R — газовая постоянная (Дж⋅К ⁻¹ ⋅mol ⁻¹ ).

Электромагнетизм

Определяющие уравнения электромагнетизма и смежных областей

См. также: Диэлектрическая проницаемость , Проницаемость (электромагнетизм) и Электропроводность.

И в классической , и в квантовой физике точная динамика системы образует набор связанных дифференциальных уравнений , которые почти всегда слишком сложны, чтобы их можно было точно решить, даже на уровне статистической механики . В контексте электромагнетизма это замечание относится не только к динамике свободных зарядов и токов (входящих непосредственно в уравнения Максвелла), но и к динамике связанных зарядов и токов (входящих в уравнения Максвелла через определяющие соотношения). В результате обычно используются различные аппроксимационные схемы.

Например, в реальных материалах для определения временного и пространственного отклика зарядов необходимо решать сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана , уравнение Фоккера-Планка или уравнения Навье-Стокса . Например, см. Магнитогидродинамика , гидродинамика , электрогидродинамика , сверхпроводимость , моделирование плазмы . Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., например, теорию линейного отклика , отношения Грина-Кубо и функцию Грина (теория многих тел) .

Эти сложные теории предоставляют подробные формулы для определяющих соотношений, описывающих электрический отклик различных материалов, таких как диэлектрическая проницаемость , проницаемость , проводимость и так далее.

необходимо указать взаимосвязи между полями смещения D и E и магнитными H-полями H и B. Прежде чем проводить расчеты по электромагнетизму (т. е. применять макроскопические уравнения Максвелла), Эти уравнения определяют реакцию связанного заряда и тока на приложенные поля и называются определяющими соотношениями.

Определение определяющей связи между вспомогательными полями D и H и полями E и B начинается с определения самих вспомогательных полей:

${\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}$

где P — поле поляризации , а M — поле намагничивания , которые определяются через микроскопические связанные заряды и связанный ток соответственно. Прежде чем перейти к расчету M и P, полезно рассмотреть следующие частные случаи.

Без магнитных или диэлектрических материалов

В отсутствие магнитных или диэлектрических материалов определяющие соотношения просты:

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}$

где ε ₀ и µ ₀ — две универсальные константы, называемые проницаемостью диэлектрической свободного пространства и проницаемостью свободного пространства соответственно.

Изотропные линейные материалы

В ( изотропном ) линейного материала, где P пропорциональна E , а M пропорциональна B , определяющие соотношения также просты. С точки зрения поляризации P и намагниченности M они таковы:

$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,$

где χ _e и χ _m — электрическая и магнитная восприимчивости данного материала соответственно. С точки зрения D и H определяющие отношения таковы:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,$

где ε и µ — константы (зависящие от материала), называемые диэлектрической проницаемостью и проницаемостью материала соответственно. Они связаны с восприимчивостью следующим образом:

$\varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=\chi _{m}+1$

Общий случай

Для реальных материалов определяющие отношения не являются линейными, за исключением приближенных. Вычисление определяющих отношений на основе первых принципов включает в себя определение того, как и M создаются из данных E и B. P Эти отношения могут быть эмпирическими (основанными непосредственно на измерениях) или теоретическими (основанными на статистической механике , теории переноса или других инструментах физики конденсированного состояния ). Используемые детали могут быть макроскопическими или микроскопическими , в зависимости от уровня, необходимого для исследуемой проблемы.

В общем, определяющие соотношения обычно еще можно записать:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B}$

но ε и µ , как правило, не являются простыми константами, а скорее являются функциями E , B , положения и времени и имеют тензорный характер. Примеры:

• Дисперсия и поглощение , где ε и μ являются функциями частоты. (Причинность не позволяет материалам быть недисперсионными; см., например, соотношения Крамерса-Кронига .) Поля также не должны быть синфазными, что приводит к тому, что ε и μ являются комплексными . Это также приводит к поглощению.
• Нелинейность где ε и µ являются функциями E и B. ,
• Анизотропия (например, двойное лучепреломление или дихроизм ), которая возникает, когда ε и μ второго ранга являются тензорами , $$D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j},\quad B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.$$
• Зависимость P и M от E и B в других местах и ​​времени. Это могло быть связано с пространственной неоднородностью ; например, в доменной структуре , гетероструктуре или жидком кристалле , или чаще всего в ситуации, когда просто несколько материалов занимают разные области пространства. Или это может быть связано с изменяющейся во времени средой или гистерезисом . В таких случаях P и M можно рассчитать как: $${\begin{aligned}\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{e}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} \right)\,\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',t'\right)\\\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{m}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} \right)\,\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ',t'\right),\end{aligned}}$$в котором функции диэлектрической и магнитной проницаемостей заменены интегралами по более общим электрическим и магнитным восприимчивостям. В однородных материалах зависимость от других мест известна как пространственная дисперсия .

В качестве вариации этих примеров, в целом материалы являются бианизотропными , где D и B зависят как от E , так и от H через дополнительные константы связи ξ и ζ :

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .$

На практике некоторые свойства материалов оказывают незначительное влияние в определенных обстоятельствах, что позволяет пренебречь небольшими эффектами. Например: оптическими нелинейностями можно пренебречь при низкой напряженности поля; дисперсия материала не имеет значения, когда частота ограничена узкой полосой пропускания ; поглощением материала можно пренебречь для длин волн, для которых материал прозрачен; а металлы с конечной проводимостью часто аппроксимируются в микроволновом или более длинноволновом диапазоне как идеальные металлы с бесконечной проводимостью (образующие жесткие барьеры с нулевой глубиной проникновения поля).

Некоторые искусственные материалы, такие как метаматериалы и фотонные кристаллы, имеют индивидуальную диэлектрическую проницаемость и проницаемость.

Расчет определяющих соотношений

Смотрите также: Вычислительная электромагнетика

Теоретический расчет материальных уравнений — распространенная, важная, а иногда и трудная задача в теоретической физике конденсированного состояния и материаловедении . В общем, материальные уравнения теоретически определяются путем расчета того, как молекула реагирует на локальные поля посредством силы Лоренца . Возможно, потребуется смоделировать и другие силы, такие как колебания решетки в кристаллах или силы связи. Учет всех сил приводит к изменениям в молекуле, которые используются для расчета P и M как функции локальных полей.

Локальные поля отличаются от приложенных полей из-за полей, создаваемых поляризацией и намагниченностью близлежащего материала; эффект, который также необходимо смоделировать. Более того, реальные материалы не являются непрерывными носителями информации ; локальные поля реальных материалов сильно различаются в атомном масштабе. Поля необходимо усреднить по подходящему объему, чтобы сформировать континуальное приближение.

Эти приближения континуума часто требуют определенного типа квантово-механического анализа, такого как квантовая теория поля в применении к физике конденсированного состояния . См., например, теорию функционала плотности , отношения Грина–Кубо и функцию Грина .

Другой набор методов гомогенизации (развившийся из традиции обработки таких материалов, как конгломераты и ламинаты ) основан на аппроксимации неоднородного материала однородной эффективной средой. (справедливо для возбуждений с длинами волн, много превышающими масштаб неоднородности).

Теоретическое моделирование свойств многих реальных материалов в континуальном приближении часто также опирается на экспериментальные измерения. Например, ε изолятора на низких частотах можно измерить, превратив его в конденсатор с параллельными пластинами , а ε на частотах оптического света часто измеряют с помощью эллипсометрии .

Термоэлектрические и электромагнитные свойства вещества

Эти определяющие уравнения часто используются в кристаллографии , области физики твердого тела .

Электромагнитные свойства твердых тел

Свойство/эффект	Параметры стимулов/ответов системы	Конститутивный тензор системы	Уравнение
Эффект Холла	E , напряженность электрического поля (N⋅C −1 ) J , плотность электрического тока (А⋅м −2 ) H , напряженность магнитного поля (А⋅м −1 )	ρ , удельное электрическое сопротивление (Ом⋅м)	$E_{k}=\rho _{kij}J_{i}H_{j}$
Прямой пьезоэлектрический эффект	σ , Напряжение (Па) P , (диэлектрическая) поляризация (C⋅m −2 )	d , прямой пьезоэлектрический коэффициент (C⋅N −1 )	$P_{i}=d_{ijk}\sigma _{jk}$
Обратный пьезоэлектрический эффект	ε , Деформация (безразмерная) E , напряженность электрического поля (N⋅C −1 )	d , прямой пьезоэлектрический коэффициент (C⋅N −1 )	$\varepsilon _{ij}=d_{ijk}E_{k}$
Пьезомагнитный эффект	σ , Напряжение (Па) M , намагниченность (А⋅м −1 )	q , пьезомагнитный коэффициент (A⋅N −1 ⋅m)	$M_{i}=q_{ijk}\sigma _{jk}$

Термоэлектрические свойства твердых тел.

Свойство/эффект	Параметры стимулов/ответов системы	Конститутивный тензор системы	Уравнение
Пироэлектричество	P , (диэлектрическая) поляризация (C⋅m −2 ) Т , температура (К)	p , пироэлектрический коэффициент (C⋅m −2 ⋅K −1 )	$\Delta P_{j}=p_{j}\Delta T$
Электрокалорический эффект	S , энтропия (Дж⋅К −1 ) E , напряженность электрического поля (N⋅C −1 )	p , пироэлектрический коэффициент (C⋅m −2 ⋅K −1 )	$\Delta S=p_{i}\Delta E_{i}$
Эффект Зеебека	E , напряженность электрического поля (N⋅C −1 = V⋅m −1 ) Т , температура (К) x , перемещение (м)	β , термоЭДС (В⋅К −1 )	$E_{i}=-\beta _{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}$
Эффект Пельтье	E , напряженность электрического поля (N⋅C −1 ) J , плотность электрического тока (А⋅м −2 ) q , тепловой поток (Вт⋅м −2 )	Π, коэффициент Пельтье (W⋅A −1 )	$q_{j}=\Pi _{ji}J_{i}$

Фотоника

Показатель преломления

(Абсолютный) показатель преломления среды n (безразмерный) является существенно важным свойством геометрической и физической оптики, определяемым как отношение скорости света в вакууме c ₀ к скорости света в среде c :

$n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}$

где ε - диэлектрическая проницаемость, а ε _{r -} относительная диэлектрическая проницаемость среды, аналогично µ - проницаемость, а µ _r - относительная проницаемость среды. Диэлектрическая проницаемость вакуума равна ε ₀ , а проницаемость вакуума равна μ ₀ . В общем, ( также εr _n ) являются комплексными числами .

Относительный показатель преломления определяется как соотношение двух показателей преломления. Абсолютное относится к одному материалу, относительное применяется ко всем возможным парам интерфейсов;

$n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}$

Скорость света в материи

Как следствие определения, скорость света в веществе равна

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}$

для особого случая вакуума; ε = ε ₀ и µ = µ ₀ ,

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$

Пьезооптический эффект

Пьезооптический эффект связывает напряжения в твердых телах σ с диэлектрической проницаемостью a , которые связаны тензором четвертого ранга, называемым пьезооптическим коэффициентом Π (единицы K ⁻¹ ):

$a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}$

Транспортные явления

Определения

Определения (тепловые свойства вещества)

Количество (общее название/я)	(Общий) символ/ы	Определение уравнения	единицы СИ	Измерение
Общая теплоемкость	C , теплоемкость вещества	$q=CT$	J⋅K −1	[М][Л] 2 [Т] −2 [Т] −1
линейного теплового расширения коэффициент	L , длина материала (м) α , коэффициент линейного теплового расширения (безразмерный) ε , тензор деформаций (безразмерный)	${\frac {\partial L}{\partial T}}=\alpha L$ $\varepsilon _{ij}=\alpha _{ij}\Delta T$	К −1	[Т] −1
Коэффициент объемного теплового расширения	б , в V , объем объекта (м 3 ) p , постоянное давление окружающей среды	$\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=\gamma V$	К −1	[Т] −1
Теплопроводность	к , К , λ , q , тепловой поток через материал (Вт/м 2 ) ∇ T , градиент температуры в материале (К⋅м −1 )	$\lambda =-{\frac {\mathbf {q} }{\nabla T}}$	W⋅m −1 ⋅K −1	[М][Л][Т] −3 [Т] −1
Теплопроводность	В	$U={\frac {\lambda }{\delta x}}$	W⋅m −2 ⋅K −1	[М][Т] −3 [Т] −1
Термическое сопротивление	Р Δ x , перемещение теплопередачи (м)	$R={\frac {1}{U}}={\frac {\Delta x}{\lambda }}$	м 2 ⋅K⋅W −1	[М] −1 [Л][Т] 3 [Т]

Определения (электрические/магнитные свойства материи)

Количество (общее название/я)	(Общий) символ/ы	Определение уравнения	единицы СИ	Измерение
Электрическое сопротивление	Р	$R={\frac {V}{I}}$	Ох, В⋅А −1 = J⋅s⋅C −2	[М][Л] 2 [Т] −3 [Я] −2
Удельное сопротивление	р	$\rho ={\frac {RA}{l}}$	Ω⋅m	[М] 2 [Л] 2 [Т] −3 [Я] −2
сопротивления Температурный коэффициент , линейная зависимость от температуры	а	$\rho -\rho _{0}=\rho _{0}\alpha (T-T_{0})$	К −1	[Т] −1
Электрическая проводимость	Г	$G={\frac {1}{R}}$	S = Ом −1	[М] −1 [Л] −2 [Т] 3 [Я] 2
Электропроводность	п	$\sigma ={\frac {1}{\rho }}$	Ой −1 ⋅m −1	[М] −2 [Л] −2 [Т] 3 [Я] 2
Магнитное сопротивление	Р , Р м , ${\mathcal {R}}$	$R_{\text{m}}={\frac {\mathcal {M}}{\Phi _{B}}}$	A⋅Wb −1 = Ч −1	[М] −1 [Л] −2 [Т] 2
Магнитная проницаемость	П , П м , Λ, ${\mathcal {P}}$	$\Lambda ={\frac {1}{R_{\text{m}}}}$	Wb⋅A −1 = Ч	[М][Л] 2 [Т] −2

законы

Существует несколько законов, которые почти одинаково описывают перенос материи или ее свойства. В каждом случае прописью читают:

Поток (плотность) пропорционален градиенту , константа пропорциональности является характеристикой материала.

В общем случае константу необходимо заменить тензором 2-го ранга, чтобы учесть зависимость материала от направления.

Свойство/эффект	Номенклатура	Уравнение
определяет Фика Закон диффузии коэффициент диффузии D.	D массы , коэффициент диффузии (м 2 ⋅s −1 ) J , диффузионный поток вещества (моль⋅м −2 ⋅s −1 ) ∂ C /∂ x , (1г) градиент концентрации вещества (моль⋅дм −4 )	$J_{i}=-D_{ij}{\frac {\partial C}{\partial x_{j}}}$
Закон Дарси для течения жидкости в пористых средах определяет проницаемость κ.	κ , проницаемость среды (м 2 ) μ жидкости , вязкость (Па⋅с) q , поток истечения вещества (м⋅с −1 ) ∂ P /∂ x , (1г) градиент давления в системе (Па⋅м −1 )	$q_{j}=-{\frac {\kappa }{\mu }}{\frac {\partial P}{\partial x_{j}}}$
Ома Закон электропроводности определяет электропроводность (и, следовательно, удельное сопротивление и сопротивление).	V , разность потенциалов в материале (В) I , электрический ток через материал (А) R , сопротивление материала (Ом) ∂ V /∂ x , градиент потенциала ( электрическое поле ) через материал (В⋅м −1 ) J , плотность электрического тока через материал (А⋅м −2 ) σ , электропроводность материала (Ом −1 ⋅m −1 ) ρ , удельное электросопротивление материала (Ом⋅м)	Самая простая форма: $V=IR$ Более общие формы: ${\frac {\partial V}{\partial x_{j}}}=\rho _{ji}J_{i}\,\rightleftharpoons \,J_{i}=\sigma _{ij}{\frac {\partial V}{\partial x_{j}}}$
Фурье Закон теплопроводности определяет теплопроводность λ.	λ , теплопроводность материала (Вт⋅м −1 ⋅K −1 ) q , тепловой поток через материал (Вт⋅м −2 ) ∂ T /∂ x , градиент температуры в материале (К⋅м −1 )	$q_{i}=-\lambda _{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}$
Закон Стефана – Больцмана излучения черного тела , определяет излучательную способность ε	I , сила излучения (Вт⋅м −2 ) σ , постоянная Стефана–Больцмана (Вт⋅м −2 ⋅K −4 ) T sys , температура излучающей системы (К) T ext , температура внешней среды (K) ε , излучательная способность (безразмерная)	Для одного радиатора: $I=\varepsilon \sigma T^{4}$ По разнице температур $I=\varepsilon \sigma \left(T_{\text{ext}}^{4}-T_{\text{sys}}^{4}\right)$ 0 ≤ ε ≤ 1; 0 для идеального отражателя, 1 для идеального поглотителя (настоящее черное тело)

См. также

• Определяющее уравнение (физическая химия)
• Основное уравнение
• Принцип материальной объективности
• Реология