Пространственная дисперсия

В физике пространственная сплошных сред диэлектрическая дисперсия обычно описывается как явление, при котором параметры материала, такие как проницаемость или проводимость, зависят от волнового вектора . Обычно для простоты предполагается, что такая зависимость отсутствует, однако пространственная дисперсия в разной степени существует во всех материалах.

Основная физическая причина зависимости волнового вектора часто заключается в том, что материал имеет некоторую пространственную структуру, меньшую, чем длина волны любых рассматриваемых сигналов (таких как свет или звук). Поскольку эти небольшие пространственные структуры не могут быть разрешены волнами, остаются обнаруживаемыми только косвенные эффекты (например, зависимость от волнового вектора). Примером пространственной дисперсии является распространение видимого света через кристалл, такой как кальцит , где показатель преломления зависит от направления движения (ориентации волнового вектора) относительно кристаллической структуры . В таком случае, хотя свет не может разделить отдельные атомы, они, тем не менее, в совокупности могут влиять на распространение света. Другой распространенный механизм заключается в том, что (например) свет связан с возбуждением материала, такого как плазмон .

Пространственную дисперсию можно сравнить с временной дисперсией, последнюю часто называют просто дисперсией . Временная дисперсия представляет собой эффекты памяти в системах, обычно наблюдаемые в оптике и электронике. С другой стороны, пространственная дисперсия представляет собой эффект распространения и обычно имеет значение только на микроскопических масштабах длины. Пространственная дисперсия вносит относительно небольшие возмущения в оптику, вызывая слабые эффекты, такие как оптическая активность . Пространственная дисперсия и временная дисперсия могут возникать в одной и той же системе.

Происхождение: нелокальный ответ

Происхождение пространственной дисперсии можно смоделировать как нелокальную реакцию, при которой реакция на силовое поле возникает во многих местах и ​​может появляться даже в тех местах, где сила равна нулю. Обычно это возникает из-за распространения эффектов по скрытым микроскопическим степеням свободы.

В качестве примера рассмотрим нынешнюю $J(x,t)$ который приводится в движение в ответ на электрическое поле $E(x,t)$, которое меняется в пространстве (x) и времени (t). Упрощенные законы, такие как закон Ома, гласят, что они прямо пропорциональны друг другу. $J=\sigma E$, но это не работает, если в системе есть память (временная дисперсия) или распространение (пространственная дисперсия). Наиболее общий линейный отклик определяется следующим образом:

$J(x,t)=\int _{-\infty }^{-\infty }dx'\int _{-\infty }^{-\infty }dt'\,\sigma (x,x',t,t')E(x',t'),$

где $\sigma (x,x',t,t')dx'\,dt'$ – нелокальная функция проводимости.

Если система инвариантна во времени ( симметрия перемещения во времени ) и инвариантна в пространстве (симметрия перемещения во времени), то мы можем упростить, потому что $\sigma (x,x',t,t')=\sigma _{\rm {sym}}(x-x',t-t')$ для некоторого ядра свертки $\sigma _{\rm {sym}}$. Мы также можем рассмотреть решения в виде плоских волн для $E$ и $J$ вот так:

$J(x,t)=\operatorname {Re} (J_{0}e^{ikx-i\omega t})$

$E(x,t)=\operatorname {Re} (E_{0}e^{ikx-i\omega t})$

что дает удивительно простую связь между комплексными амплитудами двух плоских волн:

$J_{0}={\tilde {\sigma }}(k,\omega )E_{0}.$

где функция ${\tilde {\sigma }}(k,\omega )$ задается преобразованием Фурье функции отклика пространства-времени:

${\tilde {\sigma }}(k,\omega )=\int _{-\infty }^{-\infty }dx''\int _{-\infty }^{-\infty }dt''\,e^{-ikx''+i\omega t''}\sigma _{\rm {sym}}(x'',t'').$

Функция проводимости ${\tilde {\sigma }}(k,\omega )$ имеет пространственную дисперсию, если она зависит от волнового вектора k . Это происходит, если пространственная функция $\sigma _{\rm {sym}}(x-x',t-t')$ не является точечным ( дельта-функция ) ответом в xx' .

Пространственная дисперсия в электромагнетизме

В электромагнетизме пространственная дисперсия играет роль в некоторых материальных эффектах, таких как оптическая активность и доплеровское уширение . Пространственная дисперсия также играет важную роль в понимании электромагнитных метаматериалов . пространственная дисперсия диэлектрической проницаемости ε Чаще всего интерес представляет .

Кристаллическая оптика

Внутри кристаллов может существовать сочетание пространственной дисперсии, временной дисперсии и анизотропии. Определяющее соотношение для вектора поляризации можно записать как:

$P_{i}({\vec {k}},\omega )=\sum _{j}(\epsilon _{ij}({\vec {k}},\omega )-\epsilon _{0}\delta _{ij})E_{j}({\vec {k}},\omega ),$

, зависящий от волнового вектора и частоты т. е. диэлектрическая проницаемость представляет собой тензор .

Учитывая уравнения Максвелла , внутри таких кристаллов можно найти нормальные моды плоских волн . Это происходит, когда для ненулевого вектора электрического поля выполняется следующее соотношение: ${\vec {E}}$:

$\omega ^{2}\mu _{0}\epsilon ({\vec {k}},\omega ){\vec {E}}-({\vec {k}}\cdot {\vec {k}}){\vec {E}}+({\vec {k}}\cdot {\vec {E}}){\vec {k}}=0.$

Пространственная дисперсия в $\epsilon ({\vec {k}},\omega )$ может привести к странным явлениям, таким как существование нескольких мод с одинаковой частотой и направлением волнового вектора, но с разными величинами волнового вектора.

Вблизи кристаллических поверхностей и границ уже невозможно описывать реакцию системы в терминах волновых векторов. Для полного описания необходимо вернуться к полной нелокальной функции отклика (без трансляционной симметрии), однако конечный эффект иногда можно описать «дополнительными граничными условиями» (АВС).

В изотропных средах

В материалах, которые не имеют соответствующей кристаллической структуры, пространственная дисперсия может иметь важное значение.

Хотя симметрия требует, чтобы диэлектрическая проницаемость была изотропной для нулевого волнового вектора, это ограничение не применяется для ненулевого волнового вектора. Неизотропная диэлектрическая проницаемость для ненулевого волнового вектора приводит к таким эффектам, как оптическая активность в растворах хиральных молекул. В изотропных материалах без оптической активности тензор диэлектрической проницаемости можно разбить на поперечную и продольную составляющие, имея в виду реакцию на электрические поля, перпендикулярные или параллельные волновому вектору.

Для частот вблизи линии поглощения (например, экситона ) важную роль может играть пространственная дисперсия.

демпфирование Ландау

Основная статья: демпфирование Ландау

В физике плазмы волна может затухать без столкновений частицами плазмы, скорость которых соответствует фазовой скорости волны. Обычно это представляют как пространственно-дисперсионную потерю диэлектрической проницаемости плазмы.

Неоднозначность диэлектрической проницаемости-проницаемости на ненулевой частоте

можно представить На ненулевых частотах все намагниченности как изменяющиеся во времени поляризации . Более того, поскольку электрическое и магнитное поля напрямую связаны между собой $\nabla \times E=-\partial B/\partial t$ , Вместо этого намагниченность индуцированную магнитным полем, можно представить как поляризацию, индуцированную электрическим полем, хотя и с очень дисперсионной зависимостью.

Это означает, что на ненулевой частоте любой вклад в проницаемость μ вместо этого может быть альтернативно представлен вкладом с пространственной дисперсией в диэлектрическую проницаемость ε . Значения проницаемости и диэлектрической проницаемости в этом альтернативном представлении различны, однако это не приводит к наблюдаемым различиям в реальных величинах, таких как электрическое поле, плотность магнитного потока, магнитные моменты и ток.

В результате на оптических частотах чаще всего задают µ равной проницаемости вакуума µ ₀ и рассматривают только дисперсионную диэлектрическую проницаемость ε . Ведутся дискуссии о том, уместно ли это в метаматериалах , где используются приближения эффективной среды для μ , а также споры о реальности «отрицательной проницаемости», наблюдаемой в метаматериалах с отрицательным индексом .

Пространственная дисперсия в акустике

В акустике , особенно в твердых телах, пространственная дисперсия может быть значительной для длин волн, сравнимых с шагом решетки, что обычно происходит на очень высоких частотах ( гигагерца и выше).

В твердых телах разница в распространении поперечных акустических мод и продольных акустических мод обусловлена ​​пространственной дисперсией тензора упругости , который связывает напряжение и деформацию. Для полярных колебаний ( оптических фононов ) различие между продольными и поперечными модами можно рассматривать как пространственную дисперсию восстанавливающих сил из «скрытой» немеханической степени свободы, которой является электромагнитное поле.

Многие эффекты электромагнитных волн , обусловленные пространственной дисперсией, находят аналог в акустических волнах . существует акустическая активность — вращение плоскости поляризации поперечных звуковых волн Например, в хиральных материалах . аналог оптической активности.