Нормальный режим

Нормальный режим динамической системы — это модель движения, при которой все части системы движутся синусоидально с одинаковой частотой и с фиксированным фазовым соотношением. Свободное движение, описываемое нормальными режимами, происходит при фиксированных частотах. Эти фиксированные частоты нормальных режимов системы известны как ее собственные частоты или резонансные частоты . Физический объект, такой как здание, мост или молекула, имеет набор нормальных мод и их собственных частот, которые зависят от его структуры, материалов и граничных условий.

Наиболее общее движение линейной системы представляет собой суперпозицию ее нормальных режимов. Моды нормальны в том смысле, что они могут двигаться независимо, то есть возбуждение одной моды никогда не вызовет движения другой моды. С математической точки зрения нормальные моды ортогональны друг другу.

Колебания одной нормальной моды круглого диска с закрепленным граничным условием по всей внешней кромке. Посмотрите другие режимы .

Флэш-фото чашки черного кофе, вибрирующей в обычных режимах.

Продолжительность: 1 минута 19 секунд. 1:19

Возбуждение нормальных мод в капле воды при эффекте Лейденфроста

Общие определения

Режим

В волновой теории физики и техники режим в динамической системе представляет собой состояние возбуждения стоячей волны , в котором все компоненты системы будут подвергаться синусоидальному воздействию с фиксированной частотой, связанной с этим режимом.

Поскольку ни одна реальная система не может идеально вписаться в структуру стоячей волны, концепция режима рассматривается как общая характеристика конкретных состояний колебаний, таким образом рассматривая динамическую систему линейным образом , при котором может быть выполнена линейная суперпозиция состояний.

Типичные примеры включают в себя:

• В механодинамической системе наиболее ярким примером режима является колеблющийся канат, в котором веревка является средой, напряжение на канате — возбуждением, а смещение каната относительно статического состояния — модальным. переменная.
• В акустико-динамической системе одиночный тон звука представляет собой моду, в которой воздух является средой, звуковое давление в воздухе — возбуждением, а смещение молекул воздуха — модальной переменной.
• В структурной динамической системе высокое здание, колеблющееся под самой изгибаемой осью, представляет собой режим, в котором весь материал здания - при соответствующих числовых упрощениях - является средой, а воздействия сейсмики, ветра и окружающей среды являются возбуждениями и воздействиями окружающей среды. смещения являются модальной переменной.
• В электрической динамической системе резонансная полость, состоящая из тонких металлических стенок и заключающая в себе полое пространство, для ускорителя частиц представляет собой чистую систему стоячих волн и, таким образом, является примером режима, в котором полое пространство полости является средой. , источник РЧ (клистрон или другой источник РЧ) является возбуждением, а электромагнитное поле является модальной переменной.
• Применительно к музыке нормальные режимы вибрации инструментов (струнных, воздушных трубок, барабанов и т. д.) называются « обертонами ».

Концепция нормальных режимов находит применение также в других динамических системах, таких как оптика , квантовая механика , динамика атмосферы и молекулярная динамика .

Большинство динамических систем могут возбуждаться в нескольких режимах, возможно одновременно. Каждая мода характеризуется одной или несколькими частотами, в соответствии с полем модальной переменной. Например, вибрирующая веревка в 2D-пространстве определяется одной частотой (1D-осевое смещение), а вибрирующая веревка в 3D-пространстве определяется двумя частотами (2D-осевое смещение).

Для заданной амплитуды модальной переменной каждая мода будет хранить определенное количество энергии из-за синусоидального возбуждения.

Нормальным режимом системы с несколькими режимами будет режим , или доминирующим сохраняющий минимальное количество энергии для данной амплитуды модальной переменной, или, что то же самое, для данного запасенного количества энергии доминирующим режимом будет режим, налагающий максимальная амплитуда модальной переменной.

Номера режимов

Режим вибрации характеризуется модальной частотой и формой моды. Его нумерация соответствует числу полуволн вибрации. Например, если вибрирующая балка с обоими закрепленными концами имеет форму половины синусоидальной волны (один пик на вибрирующей балке), она будет вибрировать в режиме 1. Если бы она имела полную синусоидальную волну (один пик и одна впадина). ) в режиме 2 будет вибрация.

В системе с двумя или более измерениями, такой как изображенный на рисунке диск, каждому измерению присваивается номер режима. Используя полярные координаты , мы имеем радиальную координату и угловую координату. Если измерять от центра наружу по радиальной координате, можно встретить полную волну, поэтому число мод в радиальном направлении равно 2. Другое направление сложнее, потому что из-за антисимметричности учитывается только половина диска ( также называемая кососимметрией ) характер вибрации диска в угловом направлении. Таким образом, при измерении 180° в угловом направлении вы встретите полуволну, поэтому номер моды в угловом направлении равен 1. Таким образом, номер моды системы равен 2–1 или 1–2, в зависимости от того, какая координата считается «первая» и которая считается «второй» координатой (поэтому важно всегда указывать, какой номер режима соответствует каждому направлению координат).

В линейных системах каждая мода совершенно независима от всех других мод. В общем, все моды имеют разные частоты (более низкие моды имеют более низкие частоты) и разные формы мод.

Узлы

Форма моды мембраны барабана с узловыми линиями, показанными бледно-зеленым цветом.

В одномерной системе при заданном режиме вибрация будет иметь узлы или места, где смещение всегда равно нулю. Эти узлы соответствуют точкам формы моды, где форма моды равна нулю. Поскольку вибрация системы определяется формой моды, умноженной на функцию времени, смещение узловых точек всегда остается нулевым.

При расширении до двумерной системы эти узлы становятся линиями, где смещение всегда равно нулю. Если вы посмотрите анимацию выше, вы увидите два круга (один примерно на полпути между краем и центром, а другой на самом краю) и прямую линию, делящую диск пополам, где смещение близко к нулю. В идеализированной системе эти линии точно равны нулю, как показано справа.

В механических системах

генераторы

Рассмотрим два равных тела (не подверженных действию силы тяжести), каждое массой m , прикрепленное к трем пружинам, каждая с жесткостью пружины k . Они присоединяются следующим образом, образуя физически симметричную систему:

где краевые точки фиксированы и не могут перемещаться. Мы будем использовать x ₁ ( t ) для обозначения горизонтального смещения левой массы и x ₂ ( t ) для обозначения смещения правой массы.

Если обозначить ускорение (вторую производную x ) ( t по времени) как $\scriptstyle {\ddot {x}}$, уравнения движения :

${\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{aligned}}$

Поскольку мы ожидаем колебательного движения нормального режима (где ω одинакова для обеих масс), пробуем:

${\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}$

Подставив их в уравнения движения, получим:

${\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}$

Поскольку показательный множитель является общим для всех членов, мы его опускаем и упрощаем:

${\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}$

И в матричном представлении:

${\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0$

Если матрица слева обратима, единственным решением является тривиальное решение ( A ₁ , A ₂ ) = ( x ₁ , x ₂ ) = (0,0). Нетривиальные решения необходимо найти для тех значений ω, при которых матрица слева является сингулярной , т. е. необратимой. Отсюда следует, что определитель матрицы должен быть равен 0, поэтому:

$(\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0$

Решение для $\omega$, мы имеем два положительных решения:

${\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}$

Если мы подставим ω ₁ в матрицу и найдем ( A ₁ , A ₂ ), мы получим (1, 1). Если мы подставим ω ₂ , получим (1, −1). (Эти векторы являются собственными векторами , а частоты являются собственными значениями .)

Первый нормальный режим:

${\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}$

Это соответствует обеим массам, движущимся в одном направлении одновременно. Этот режим называется антисимметричным.

Второй нормальный режим:

${\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}$

Это соответствует тому, что массы движутся в противоположных направлениях, при этом центр масс остается неподвижным. Этот режим называется симметричным.

Общее решение представляет собой суперпозицию нормальных режимов , где c ₁ , c ₂ , φ ₁ и φ ₂ определяются начальными условиями задачи.

Демонстрируемый здесь процесс можно обобщить и сформулировать, используя формализм механики Лагранжа или механики Гамильтона .

Стоячие волны

представляет Стоячая волна собой непрерывную форму нормального режима. В стоячей волне все элементы пространства (т.е. координаты ( x , y , z )) колеблются с одной и той же частотой и в фазе (вместе достигая точки равновесия ), но каждый имеет разную амплитуду.

Общая форма стоячей волны:

$\Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))$

где ƒ ( x , y , z ) представляет собой зависимость амплитуды от местоположения, а косинус\синус — колебания во времени.

Физически стоячие волны образуются в результате интерференции (суперпозиции) волн и их отражений (хотя можно сказать и обратное: что движущаяся волна представляет собой суперпозицию стоячих волн). Геометрическая форма среды определяет, какой будет интерференционная картина, и, таким образом, определяет форму ƒ ( x , y , z ) стоячей волны. Эта пространственная зависимость называется нормальным режимом .

Обычно для задач с непрерывной зависимостью от ( x , y , z ) не существует одной или конечного числа нормальных мод, но существует бесконечно много нормальных мод. Если задача ограничена (т. е. она определена на конечном участке пространства), существует счетное число нормальных мод (обычно пронумерованных n = 1, 2, 3, ...). Если задача не ограничена, существует непрерывный спектр нормальных мод.

Упругие тела

Основные статьи: твердое тело Эйнштейна и модель Дебая

В любом твердом теле при любой температуре первичные частицы (например, атомы или молекулы) не стационарны, а скорее колеблются вокруг средних положений. В изоляторах способность твердого тела сохранять тепловую энергию почти полностью обусловлена ​​этими вибрациями. Многие физические свойства твердого тела (например, модуль упругости) можно предсказать, зная частоты, с которыми колеблются частицы. Простейшее предположение (Эйнштейна) состоит в том, что все частицы колеблются вокруг своих средних положений с одной и той же собственной частотой ν . Это эквивалентно предположению, что все атомы колеблются независимо с частотой ν . Эйнштейн также предположил, что разрешенные энергетические состояния этих колебаний являются гармониками или целыми кратными hν . Спектр сигналов можно описать математически, используя ряд Фурье синусоидальных флуктуаций плотности (или тепловых фононов ).

Основной и первые шесть обертонов колеблющейся струны. Математика распространения волн в кристаллических твердых телах состоит в рассмотрении гармоник как идеального ряда Фурье синусоидальных флуктуаций плотности (или волн смещения атомов).

Впоследствии Дебай осознал, что каждый осциллятор всегда тесно связан с соседними осцилляторами. Так, заменив одинаковые несвязанные осцилляторы Эйнштейна таким же количеством связанных осцилляторов, Дебай соотнес упругие колебания одномерного твердого тела с числом математически особых форм колебаний натянутой струны (см. рисунок). Чистый тон самой низкой высоты или частоты называется основным, а кратные этой частоте называются гармоническими обертонами. Он назначил одному из осцилляторов частоту основной вибрации всего блока твердого тела. Оставшимся осцилляторам он назначил частоты гармоник этой основной гармоники, причем высшая из всех этих частот ограничивалась движением наименьшей первичной единицы.

Нормальные моды вибрации кристалла, как правило, представляют собой суперпозицию многих обертонов, каждый из которых имеет соответствующую амплитуду и фазу. Более длинноволновые (низкочастотные) фононы — это именно те акустические колебания, которые рассматриваются в теории звука. В твердом теле могут распространяться как продольные, так и поперечные волны, тогда как в жидкостях поддерживаются, как правило, только продольные волны.

В продольном режиме смещение частиц из положений равновесия совпадает с направлением распространения волны. Механические продольные волны также называют волнами сжатия . Для поперечных мод отдельные частицы движутся перпендикулярно распространению волны.

Согласно квантовой теории, средняя энергия нормальной моды колебаний кристаллического твердого тела с характеристической частотой ν равна:

$E(\nu )={\frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}$

Член (1/2) hν представляет собой «энергию нулевой точки» или энергию, которую осциллятор будет иметь при абсолютном нуле. E ( ν ) стремится к классическому значению kT при высоких температурах

$E(\nu )=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]$

Зная термодинамическую формулу,

$\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}$

энтропия в нормальном режиме равна:

${\begin{aligned}S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(\nu \right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)\end{aligned}}$

Свободная энергия – это:

$F(\nu )=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)$

который при kT >> hν стремится к:

$F(\nu )=kT\log \left({\frac {h\nu }{kT}}\right)$

Чтобы вычислить внутреннюю энергию и теплоемкость, мы должны знать количество нормальных колебательных мод и частоту между значениями ν и ν + dν . Пусть это число будет f ( ν )d ν . Поскольку общее количество нормальных мод равно 3 N , функция f ( ν ) определяется выражением:

$\int f(\nu )\,d\nu =3N$

Интегрирование производится по всем частотам кристалла. Тогда внутренняя энергия U будет равна:

$U=\int f(\nu )E(\nu )\,d\nu$

В квантовой механике

В квантовой механике состояние $\ |\psi \rangle$ системы описывается волновой функцией $\ \psi (x,t)$которое решает уравнение Шрёдингера . Квадрат абсолютного значения $\ \psi$, то есть

$\ P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$

— плотность вероятности измерения частицы в месте x в момент времени   t .

Обычно, когда задействован какой-либо потенциал , волновая функция разлагается на суперпозицию энергии собственных состояний , каждое из которых колеблется с частотой $\omega =E_{n}/\hbar$. Таким образом, можно написать

$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}|n\rangle \left\langle n|\psi (t=0)\right\rangle e^{-iE_{n}t/\hbar }$

Собственные состояния имеют физический смысл, выходящий за пределы ортонормированного базиса . энергия системы Когда измеряется , волновая функция схлопывается в одно из своих собственных состояний, и поэтому волновая функция частицы описывается чистым собственным состоянием, соответствующим измеренной энергии .

В сейсмологии

Нормальные моды генерируются на Земле из-за длинноволновых сейсмических волн от сильных землетрясений, которые мешают формировать стоячие волны.

Для упругой, изотропной, однородной сферы возникают сфероидальная, тороидальная и радиальная (или дышащая) моды. Сфероидальные моды включают только волны P и SV (например, волны Рэлея ) и зависят от номера обертона n и углового порядка l, но имеют вырождение азимутального порядка m . Увеличение l концентрирует фундаментальную ветвь ближе к поверхности и при больших l тяготеет к волнам Рэлея. Тороидальные моды включают только волны SH (например, волны Лява ) и не существуют во внешнем ядре жидкости. Радиальные моды — это всего лишь подмножество сфероидальных мод с l=0 . На Земле не существует вырождения, поскольку оно нарушается вращением, эллиптичностью и трехмерной неоднородной структурой скорости и плотности.

Можно предположить, что каждая мода может быть изолирована (приближение самосвязи) или что многие моды, близкие по частоте , резонируют (приближение перекрестной связи). Самосвязь изменит только фазовую скорость, а не количество волн вокруг большого круга, что приведет к растяжению или сжатию структуры стоячей волны. Модальная перекрестная связь возникает из-за вращения Земли, из-за асферической упругой структуры или из-за эллиптичности Земли и приводит к смешиванию фундаментальных сфероидальных и тороидальных мод.

См. также

• Антирезонанс
• Критическая скорость
• Гармонический осциллятор
• Гармонический сериал (музыка)
• ИК-спектроскопия
• Утечочный режим
• Механический резонанс
• Модальный анализ
• Режим (электромагнетизм)
• Квазинормальная мода
• Теория Штурма – Лиувилля
• Крутильная вибрация
• Колебания круговой мембраны

Источники

• Блевинс, Роберт Д. (2001). Формулы для собственной частоты и формы моды (Переиздание). Малабар, Флорида: Паб Krieger. ISBN  978-1575241845 .
• Цзоу, HS; Бергман, Лос-Анджелес, ред. (2008). Динамика и управление распределенными системами . Кембридж [Англия]: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0521033749 .
• Ширер, Питер М. (2009). Введение в сейсмологию (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 231–237. ISBN  9780521882101 .

Внешние ссылки

• Конспекты лекций Гарварда о нормальных режимах