Любовная волна

В эластодинамике волны Лява , названные в честь Огастеса Эдварда Хафа Лава , представляют собой горизонтально поляризованные поверхностные волны . Волна Лява является результатом интерференции множества поперечных волн ( S-волн ), направляемых упругим слоем, который с одной стороны приварен к упругому полупространству, а с другой стороны граничит с вакуумом. В сейсмологии , волны Лява (также известные как волны Q ( Quer : по-немецки «латеральные»)) представляют собой поверхностные сейсмические волны которые вызывают горизонтальное смещение Земли во время землетрясения . Огастес Эдвард Хаф Лав математически предсказал существование волн Лява в 1911 году. Они образуют отдельный класс, отличающийся от других типов сейсмических волн , таких как P-волны и S-волны (обе объемные волны ) или волны Рэлея (другой тип сейсмических волн). поверхностная волна). Волны Любви распространяются с меньшей скоростью, чем волны P или S, но быстрее, чем волны Рэлея. Эти волны наблюдаются только тогда, когда существует низкоскоростной слой, перекрывающий высокоскоростной слой/подслои.

Описание

Движение частиц волны Лява образует горизонтальную линию, перпендикулярную направлению распространения (т.е. являются поперечными волнами ). Продвигаясь глубже в материал, движение может уменьшаться до «узла», а затем поочередно увеличиваться и уменьшаться по мере исследования более глубоких слоев частиц. Амплитуда , или максимальное движение частицы , часто быстро уменьшается с глубиной.

Поскольку волны Лява распространяются по поверхности Земли, сила (или амплитуда) волн уменьшается экспоненциально с глубиной землетрясения. Однако, учитывая их удержание на поверхности, их амплитуда затухает только по мере ${\frac {1}{\sqrt {r}}}$ , где $r$ представляет собой расстояние, которое волна прошла от землетрясения. Поэтому поверхностные волны затухают с расстоянием медленнее, чем объемные волны, которые распространяются в трех измерениях. Сильные землетрясения могут порождать волны Любви, которые несколько раз проходят вокруг Земли, прежде чем рассеяться.

Поскольку волны Любви затухают так медленно, они наиболее разрушительны за пределами непосредственной зоны очага или эпицентра землетрясения. Это то, что большинство людей чувствуют непосредственно во время землетрясения.

В прошлом часто считалось, что такие животные, как кошки и собаки, могут предсказать землетрясение еще до того, как оно произойдет. Однако они просто более чувствительны к вибрациям земли, чем люди, и способны обнаруживать более тонкие волны тела, которые предшествуют волнам Любви, такие как P-волны и S-волны. ^[1]

Основная теория

Сохранение импульса материала линейно упругого можно записать как ^[2]

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )=\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}

где $\mathbf {u}$ вектор смещения и ${\mathsf {C}}$ – тензор жесткости . Волны любви - особое решение( $\mathbf {u}$ ), удовлетворяющие этой системе уравнений. Обычно мы используем декартову систему координат ( $x,y,z$ ), чтобы описать волны Любви.

Рассмотрим изотропную линейно-упругую среду, упругие свойства которой являются функциями только $z$ координата, т. е. параметры Ламе массы, и плотность могут быть выражены как $\lambda (z),\mu (z),\rho (z)$ . Перемещения $(u,v,w)$ производимые волнами Любви как функция времени ( $t$ ) имеют вид

u(x,y,z,t)=0~,~~v(x,y,z,t)={\hat {v}}(x,z,t)~,~~w(x,y,z,t)=0\,.

Следовательно, это антиплоские поперечные волны, перпендикулярные $(x,z)$ самолет. Функция ${\hat {v}}(x,z,t)$ можно выразить как суперпозицию гармонических волн с различными волновыми числами ( $k$ ) и частоты ( $\omega$ ). Рассмотрим одну гармоническую волну, т.е.

{\hat {v}}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]

где $i$ – мнимая единица , т.е. $i^{2}=-1$ . Напряжения , вызванные этими перемещениями,

\sigma _{xx}=0~,~~\sigma _{yy}=0~,~~\sigma _{zz}=0~,~~\tau _{zx}=0~,~~\tau _{yz}=\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\,\exp[i(kx-\omega t)]~,~~\tau _{xy}=ik\mu (z)V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]\,.

Если подставить предполагаемые перемещения в уравнения сохранения импульса, то получим упрощенное уравнение

{\frac {d}{dz}}\left[\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\right]=[k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)]\,V(k,z,\omega )\,.

Граничные условия для волны Лява заключаются в том, что поверхностное сцепление на свободной поверхности $(z=0)$ должно быть равно нулю. Другое требование состоит в том, чтобы компонент напряжения $\tau _{yz}$ в слоистой среде должна быть сплошной на границах слоев. второго порядка Чтобы преобразовать дифференциальное уравнение в $V$ в два уравнения первого порядка выразим эту составляющую напряжения в виде

\tau _{yz}=T(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]

чтобы получить уравнения сохранения импульса первого порядка

{\frac {d}{dz}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1/\mu (z)\\k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}\,.

Приведенные выше уравнения описывают задачу на собственные значения решения которой , собственные функции можно найти рядом численных методов . Еще одним распространенным и мощным подходом является метод матрицы распространителя (также называемый матрицантным подходом). ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Ссылки

А.Э. Лав, «Некоторые проблемы геодинамики», впервые опубликовано в 1911 году издательством Кембриджского университета и снова опубликовано в 1967 году в Дувре, Нью-Йорк, США. (Глава 11: Теория распространения сейсмических волн)

^ «Что такое сейсмология?» . Мичиганский технологический университет. 2007 . Проверено 28 июля 2009 г.
^ Предполагается, что объемная сила равна нулю, и использовались прямые тензорные обозначения. Другие способы записи этих основных уравнений см. в разделе « Линейная эластичность» .

[1] «Что такое сейсмология?» . Мичиганский технологический университет. 2007 . Проверено 28 июля 2009 г.

[2] Предполагается, что объемная сила равна нулю, и использовались прямые тензорные обозначения. Другие способы записи этих основных уравнений см. в разделе « Линейная эластичность» .

[1]

[2]