Антиплоскостной сдвиг

Антиплоский сдвиг или антиплоская деформация – это особое состояние напряжения в организме. Это состояние деформации достигается, когда смещения в теле равны нулю в интересующей плоскости, но отличны от нуля в направлении, перпендикулярном плоскости. Для малых деформаций тензор деформаций при антиплоском сдвиге можно записать как

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}0&0&\epsilon _{13}\\0&0&\epsilon _{23}\\\epsilon _{13}&\epsilon _{23}&0\end{bmatrix}}$

где $12\,$ плоскость — это плоскость интереса, а $3\,$ направление перпендикулярно этой плоскости.

Перемещения

Поле смещений, приводящее к состоянию антиплоского сдвига, равно (в прямоугольных декартовых координатах)

$u_{1}=u_{2}=0~;~~u_{3}={\hat {u}}_{3}(x_{1},x_{2})$

где $u_{i},~i=1,2,3$ это перемещения в $x_{1},x_{2},x_{3}\,$ направления.

Стрессы

Для изотропного , линейно упругого материала тензор напряжений возникающий в результате состояния антиплоского сдвига, может быть выражен как

${\boldsymbol {\sigma }}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\\0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\\\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}&0\end{bmatrix}}$

где $\mu \,$ – модуль сдвига материала.

Уравнение равновесия для антиплоского сдвига

Сохранение импульса в отсутствие сил инерции принимает форму уравнения равновесия . Для общих напряженных состояний существуют три уравнения равновесия. Однако для антиплоского сдвига, если предположить, что объемные силы в направлениях 1 и 2 равны 0, они сводятся к одному уравнению равновесия, которое выражается как

$\mu ~\nabla ^{2}u_{3}+b_{3}(x_{1},x_{2})=0$

где $b_{3}$ это объемная сила в $x_{3}$ направление и $\nabla ^{2}u_{3}={\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{2}^{2}}}$. Обратите внимание, что это уравнение справедливо только для бесконечно малых деформаций.

Приложения

Предположение об антиплоском сдвиге используется для определения напряжений и смещений, вызванных винтовой дислокацией .

См. также

• Теория бесконечно малых деформаций
• Деформация (механика)