Собственная функция

Это решение задачи о вибрирующем барабане в любой момент времени является собственной функцией оператора Лапласа на диске.

В математике линейного собственная функция D оператора , определенного в некотором функциональном пространстве, — это любая ненулевая функция. $f$ в этом пространстве, которое под действием D только умножается на некоторый масштабный коэффициент, называемый собственным значением . В виде уравнения это условие можно записать как

Df=\lambda f

для некоторого скалярного собственного значения

\lambda .

^[1]^[2]^[3] На решения этого уравнения также могут распространяться граничные условия , ограничивающие допустимые собственные значения и собственные функции.

Собственная функция — это разновидность собственного вектора .

Собственные функции [ править ]

В общем, собственный вектор линейного оператора D, определенного в некотором векторном пространстве, представляет собой ненулевой вектор в области определения D , который, когда D действует на него, просто масштабируется некоторым скалярным значением, называемым собственным значением. В особом случае, когда D определен в функциональном пространстве, собственные векторы называются собственными функциями . То есть функция f является собственной функцией D , если она удовлетворяет уравнению

Df=\lambda f,

( 1 )

где λ — скаляр. ^[1]^[2]^[3] Решения уравнения ( 1 ) также могут подчиняться граничным условиям. Из-за граничных условий возможные значения λ обычно ограничиваются, например, дискретным набором λ ₁ , λ ₂ , … или непрерывным набором в некотором диапазоне. Набор всех возможных собственных значений D иногда называют его спектром , который может быть дискретным, непрерывным или комбинацией того и другого. ^[1]

Каждому значению λ соответствует одна или несколько собственных функций. Если несколько линейно независимых собственных функций имеют одно и то же собственное значение, собственное значение называется вырожденным , а максимальное количество линейно независимых собственных функций, связанных с одним и тем же собственным значением, представляет собой степень вырождения или геометрической кратности собственного значения . ^[4]^[5]

Пример производной [ править ]

Широко используемым классом линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, являются дифференциальные операторы в пространстве C. ^∞ бесконечно дифференцируемых действительных или комплексных функций вещественного или комплексного аргумента t . Например, рассмотрим оператор производной ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$ с уравнением собственных значений

{\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).

Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе части на ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$ и интегрируя. Ее решение – показательная функция

f(t)=f_{0}e^{\lambda t},

— собственная функция производного оператора, где f ₀ — параметр, зависящий от граничных условий. Обратите внимание, что в этом случае собственная функция сама по себе является функцией связанного с ней собственного значения λ, которое может принимать любое действительное или комплексное значение. В частности, отметим, что при λ = 0 собственная функция f ( t ) является константой.

Предположим, что в примере f ( t ) подчиняется граничным условиям f (0) = 1 и ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ . Затем мы находим это

f(t)=e^{2t},

где λ = 2 — единственное собственное значение дифференциального уравнения, также удовлетворяющее граничному условию.

Ссылка на собственные значения и собственные векторы матриц [ править ]

Собственные функции могут быть выражены в виде векторов-столбцов, а линейные операторы могут быть выражены в виде матриц, хотя они могут иметь бесконечные размерности. В результате многие понятия, связанные с собственными векторами матриц, переносятся и на изучение собственных функций.

Определите внутренний продукт в функциональном пространстве, в котором D определяется как

\langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt,

интегрировано в некотором интересующем диапазоне для t, называемом Ω. * комплексно - обозначает сопряженное число .

Предположим, что функциональное пространство имеет ортонормированный базис , заданный набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, un ₍ может быть t )}, где n бесконечным. Для ортонормированного базиса

\langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},

где δij _и — дельта Кронекера может рассматриваться как элементы единичной матрицы .

Функции можно записать как линейную комбинацию базисных функций:

f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),

например, посредством Фурье f разложения ( t ). Коэффициенты b _j можно сложить в n вектор-столбец на 1 b = [ b ₁ b ₂ … b _n ] ^Т. В некоторых особых случаях, таких как коэффициенты ряда Фурье синусоидальной функции, этот вектор-столбец имеет конечную размерность.

Дополнительно определим матричное представление линейного оператора D с элементами

A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.

Мы можем записать функцию Df ( t ) либо как линейную комбинацию базисных функций, либо как D, действующую на разложение f ( t ),

Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).

Взяв скалярное произведение каждой части этого уравнения с произвольной базисной функцией ui _t ( ) ,

{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}

Это матричное умножение Ab = c, записанное в виде суммирования, и является матричным эквивалентом оператора D, действующего на функцию f ( t ), выраженную в ортонормированном базисе. Если f ( t ) — собственная функция D с собственным значением λ, то Ab = λb .

операторов эрмитовых Собственные значения и собственные функции

Многие из операторов, встречающихся в физике, являются эрмитовыми . Предположим, что линейный оператор D действует в функциональном пространстве, которое является гильбертовым пространством с ортонормированным базисом, заданным набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, un ₍ n t )}, где может быть бесконечным. В этом базисе оператор D имеет матричное представление A с элементами

A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).

проинтегрировано в некотором интересующем диапазоне для t, обозначенного Ω.

По аналогии с матрицами эрмитовыми D является эрмитовым оператором, если A _ij = A _ji *, или: ^[6]

{\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{aligned}}

Рассмотрим эрмитов оператор D с собственными значениями λ ₁ , λ ₂ , … и соответствующими собственными функциями f ₁ ( t ), f ₂ ( t ), …. Этот эрмитов оператор обладает следующими свойствами:

Его собственные значения вещественны, λ _i = λ _i * ^[4]^[6]
Его собственные функции подчиняются условию ортогональности: $\langle f_{i},f_{j}\rangle =0$ если я ≠ j ^[6]^[7]^[8]

Второе условие всегда выполняется для λ _i ≠ λ _j . Для вырожденных собственных функций с одинаковым собственным значением λ _i всегда можно выбрать ортогональные собственные функции, которые охватывают собственное пространство, связанное с λ _i , например, с помощью процесса Грама-Шмидта . ^[5] В зависимости от того, является ли спектр дискретным или непрерывным, собственные функции можно нормализовать, установив скалярное произведение собственных функций равным либо дельте Кронекера, либо дельта-функции Дирака соответственно. ^[8]^[9]

Для многих эрмитовых операторов, особенно операторов Штурма – Лиувилля , третье свойство

Его собственные функции составляют основу функционального пространства, в котором определен оператор. ^[5]

Как следствие, во многих важных случаях собственные функции эрмитова оператора образуют ортонормированный базис. В этих случаях произвольная функция может быть выражена как линейная комбинация собственных функций эрмитова оператора.

Приложения [ править ]

Вибрирующие струны [ править ]

Пусть $h (x, t)$ обозначает поперечное смещение напряжённой упругой хорды, такой как колеблющаяся струна струнного инструмента , как функция положения $x$ вдоль струны и времени $t$ . Применяя законы механики к бесконечно малым частям струны, функция $h$ удовлетворяет уравнению в частных производных

{\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},

которое называется (одномерным) волновым уравнением . Здесь

с

— постоянная скорость, зависящая от натяжения и массы струны.

Эта задача поддается методу разделения переменных . Если предположить, что $h (x, t)$ можно записать как произведение вида $X (x) T (t)$ , мы можем сформировать пару обыкновенных дифференциальных уравнений:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.

Каждое из них представляет собой уравнение собственных значений с собственными значениями ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$ и $- ω 2$ , соответственно. При любых значениях $ω$ и $c$ уравнениям удовлетворяют функции

X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),

где фазовые углы

φ

и

ψ

— произвольные вещественные константы.

Если мы наложим граничные условия, например, что концы струны зафиксированы в точках $x = 0$ и $x = L$ , а именно $X (0) = X (L) = 0$ , и что $T (0) = 0$ , мы ограничим собственные значения. Для этих граничных условий $sin(φ) = 0$ и $sin(ψ) = 0$ , поэтому фазовые углы $φ = ψ = 0$ и

\sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.

Это последнее граничное условие вынуждает $ω$ принимать значение $ω n = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ncπ / L$ , где $n$ — любое целое число. Таким образом, зажатая струна поддерживает семейство стоячих волн вида

h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).

На примере струнного инструмента частота $ω n$ — это частота $n$ -й гармоники , которая называется $(n - 1)$ -м обертоном .

Уравнение Шрёдингера [ править ]

В квантовой механике уравнение Шрёдингера

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)

с гамильтоновым оператором

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)

можно решить методом разделения переменных, если гамильтониан не зависит явно от времени. ^[10] В этом случае волновая функция

Ψ(r, t) = φ (r) T (t)

приводит к двум дифференциальным уравнениям:

H\varphi (\mathbf {r} )=E\varphi (\mathbf {r} ),

( 2 )

i\hbar {\frac {\partial T(t)}{\partial t}}=ET(t).

( 3 )

Оба этих дифференциальных уравнения являются уравнениями на собственные значения с собственным значением $E$ . Как показано в предыдущем примере, решением уравнения ( 3 ) является экспоненциальная функция

T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.

Уравнение ( 2 ) представляет собой независимое от времени уравнение Шрёдингера. Собственные функции $φ k$ оператора Гамильтона представляют собой стационарные состояния квантовомеханической системы, каждое из которых имеет соответствующую энергию $E k$ . Они представляют собой допустимые энергетические состояния системы и могут быть ограничены граничными условиями.

Гамильтонов оператор $H$ является примером эрмитова оператора, собственные функции которого образуют ортонормированный базис. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, общие решения уравнения Шрёдингера представляют собой линейные комбинации стационарных состояний, умноженные на колебательное $T (t)$ , ^[11] ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$ или, для системы с непрерывным спектром,

\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.

Успех уравнения Шрёдингера в объяснении спектральных характеристик водорода считается одним из величайших триумфов физики XX века.

Сигналы и системы [ править ]

При изучении сигналов и систем собственная функция системы — это сигнал $f (t)$ , который при вводе в систему вызывает ответ $y (t) = λf (t)$ , где $λ$ — комплексное скалярное собственное значение. ^[12]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Davydov 1976 , p. 20.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Куссе и Вествиг 1998 , стр. 435.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вассерман 2016 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Davydov 1976 , p. 21.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Куссе и Вествиг 1998 , стр. 437.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Куссе и Вествиг 1998 , стр. 436.
^ Davydov 1976 , p. 24.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Davydov 1976 , p. 29.
^ Davydov 1976 , p. 25.
^ Davydov 1976 , p. 51.
^ Davydov 1976 , p. 52.
^ Жирод, Рабенштейн и Стенгер 2001 , стр. 49.

Цитируемые работы [ править ]

Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид. Методы математической физики . Том. 1. Уайли. ISBN 047150447-5 . (Том 2: ISBN 047150439-4 )
Давыдов А.С. (1976). Квантовая механика . Переведено, отредактировано и с дополнениями Д. тер Хаара (2-е изд.). Оксфорд: Пергамон Пресс. ISBN 008020438-4 .
Жирод, Бернд ; Рабенштейн, Рудольф; Стенгер, Александр (2001). Сигналы и системы (2-е изд.). Уайли. ISBN 047198800-6 .
Куссе, Брюс; Вествиг, Эрик (1998). Математическая физика . Нью-Йорк: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8 .
Вассерман, Эрик В. (2016). «Собственная функция» . Математический мир . Вольфрам Исследования . Проверено 12 апреля 2016 г.

Внешние ссылки [ править ]

Больше изображений (без лицензии GPL) на сайте Atom in a Box

[FOOTNOTEDavydov197620-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Davydov 1976 , p. 20.

[FOOTNOTEKusseWestwig1998435-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Куссе и Вествиг 1998 , стр. 435.

[FOOTNOTEWasserman2016-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вассерман 2016 .

[FOOTNOTEDavydov197621-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Davydov 1976 , p. 21.

[FOOTNOTEKusseWestwig1998437-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Куссе и Вествиг 1998 , стр. 437.

[FOOTNOTEKusseWestwig1998436-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Куссе и Вествиг 1998 , стр. 436.

[FOOTNOTEDavydov197624-7] Davydov 1976 , p. 24.

[FOOTNOTEDavydov197629-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Davydov 1976 , p. 29.

[FOOTNOTEDavydov197625-9] Davydov 1976 , p. 25.

[FOOTNOTEDavydov197651-10] Davydov 1976 , p. 51.

[FOOTNOTEDavydov197652-11] Davydov 1976 , p. 52.

[FOOTNOTEGirodRabensteinStenger200149-12] Жирод, Рабенштейн и Стенгер 2001 , стр. 49.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]