Колебания круговой мембраны

Один из возможных режимов вибрации идеализированной круглой барабанной головки (режим $u_{12}$ с обозначениями ниже). Другие возможные режимы показаны внизу статьи.

Двумерная эластичная мембрана под натяжением может выдерживать поперечные вибрации . Свойства идеализированного пластика барабана можно смоделировать с помощью вибраций круглой мембраны одинаковой толщины, прикрепленной к жесткому каркасу. Благодаря явлению резонанса , на определенных частотах вибрации , своих резонансных частотах , мембрана может накапливать вибрационную энергию, поверхность движется по характерному рисунку стоячих волн . Это называется нормальный режим . Мембрана имеет бесконечное количество этих нормальных мод, начиная с самой низкой частоты, называемой основной модой .

Существует бесконечно много способов вибрации мембраны, каждый из которых зависит от формы мембраны в некоторый начальный момент времени и поперечной скорости каждой точки мембраны в этот момент. Колебания мембраны задаются решениями двумерного волнового уравнения с граничными условиями Дирихле, которые представляют собой ограничение рамы. Можно показать, что любое сколь угодно сложное колебание мембраны можно разложить на возможно бесконечный ряд нормальных мод мембраны. Это аналогично разложению временного сигнала в ряд Фурье .

Изучение вибраций барабанов побудило математиков поставить известную математическую задачу о том, можно ли услышать форму барабана , на которую ответ (невозможно) был дан в 1992 году в двумерной постановке.

Практическая значимость

Анализ проблемы вибрирующей головки барабана объясняет работу ударных инструментов, таких как барабаны и литавры . Однако существует и биологическое применение в работе барабанной перепонки . С образовательной точки зрения моды двумерного объекта — удобный способ наглядно продемонстрировать значение мод, узлов, пучностей и даже квантовых чисел . Эти понятия важны для понимания строения атома.

Проблема

Рассмотрим открытый диск $\Omega$ радиуса $a$ с центром в начале координат, что будет представлять собой «неподвижную» форму головки барабана. В любое время $t,$ высота формы головки барабана в точке $(x,y)$ в $\Omega$ измеренная от «неподвижной» формы головки барабана будет обозначаться $u(x,y,t),$ который может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Позволять $\partial \Omega$ обозначим границу ​ $\Omega ,$ то есть круг радиуса $a$ с центром в начале координат, который представляет собой жесткую раму, к которой прикреплена головка барабана.

Математическое уравнение, которое управляет вибрацией головки барабана, представляет собой волновое уравнение с нулевыми граничными условиями:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right){\text{ for }}(x,y)\in \Omega \,$

$u=0{\text{ on }}\partial \Omega .\,$

Благодаря круглой геометрии $\Omega$, будет удобно использовать полярные координаты $(r,\theta ).$ Тогда приведенные выше уравнения записываются как

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ for }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,$

$u=0{\text{ for }}r=a.\,$

Здесь, $c$ – положительная константа, определяющая скорость распространения волн поперечной вибрации в мембране. С точки зрения физических параметров скорость волны c определяется выражением

$c={\sqrt {\frac {N_{rr}^{*}}{\rho h}}}$

где $N_{rr}^{*}$, — результирующая радиальная мембрана на границе мембраны ( $r=a$), $h$, – толщина мембраны, $\rho$ – плотность мембраны. Если мембрана имеет равномерное натяжение, то равномерная сила натяжения на данном радиусе $r$ может быть написано

$F=rN_{rr}^{r}=rN_{\theta \theta }^{r}$

где $N_{\theta \theta }^{r}=N_{rr}^{r}$ – результирующая мембраны в азимутальном направлении.

Осесимметричный случай

Сначала мы изучим возможные формы вибрации круглого барабана, которые являются осесимметричными . Тогда функция $u$ не зависит от угла $\theta ,$ и волновое уравнение упрощается до

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right).$

Будем искать решения в разделенных переменных, $u(r,t)=R(r)T(t).$ Подставив это в уравнение выше и разделив обе части на $c^{2}R(r)T(t)$ урожайность

${\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {1}{R(r)}}\left(R''(r)+{\frac {1}{r}}R'(r)\right).$

Левая часть этого равенства не зависит от $r,$ и правая часть не зависит от $t,$ отсюда следует, что обе части должны быть равны некоторой постоянной $K.$ Получаем отдельные уравнения для $T(t)$ и $R(r)$:

$T''(t)=Kc^{2}T(t)\,$

$rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,$

Уравнение для $T(t)$ имеет решения, которые экспоненциально растут или затухают для $K>0,$ линейны или постоянны для $K=0$ и являются периодическими для $K<0$. Физически ожидается, что решение проблемы вибрирующей головки барабана будет колебательным во времени, и остается только третий случай: $K<0,$ поэтому мы выбираем $K=-\lambda ^{2}$ для удобства. Затем, $T(t)$ представляет собой линейную комбинацию функций синуса и косинуса,

$T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,$

Обращаясь к уравнению для $R(r),$ с наблюдением, что $K=-\lambda ^{2},$ все решения этого дифференциального уравнения второго порядка представляют собой линейную комбинацию функций Бесселя порядка 0, поскольку это частный случай дифференциального уравнения Бесселя :

$R(r)=c_{1}J_{0}(\lambda r)+c_{2}Y_{0}(\lambda r).\,$

Функция Бесселя $Y_{0}$ неограничен для $r\to 0,$ что приводит к нефизическому решению проблемы вибрирующей головки барабана, поэтому константа $c_{2}$ должно быть нулевым. Мы также будем предполагать $c_{1}=1,$ так как в противном случае эта константа может быть позже поглощена константами $A$ и $B$ исходя из $T(t).$ Отсюда следует, что

$R(r)=J_{0}(\lambda r).$

Требование, чтобы высота $u$ быть нулевым на границе головки барабана, приводит к условию

$R(a)=J_{0}(\lambda a)=0.$

Функция Бесселя $J_{0}$ имеет бесконечное число положительных корней,

$0<\alpha _{01}<\alpha _{02}<\cdots$

Мы понимаем это $\lambda a=\alpha _{0n},$ для $n=1,2,\dots ,$ так

$R(r)=J_{0}\left({\frac {\alpha _{0n}}{a}}r\right).$

Следовательно, осесимметричные решения $u$ проблемы вибрирующей головки барабана, которую можно представить в виде отдельных переменных:

$u_{0n}(r,t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right){\text{ for }}n=1,2,\dots ,\,$

где $\lambda _{0n}=\alpha _{0n}/a.$

Общий случай

Общий случай, когда $u$ также может зависеть от угла $\theta ,$ лечится аналогично. Мы предполагаем решение в разделенных переменных:

$u(r,\theta ,t)=R(r)\Theta (\theta )T(t).\,$

Подставив это в волновое уравнение и разделив переменные, получим

${\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=K$

где $K$ является константой. Как и ранее, из уравнения для $T(t)$ отсюда следует, что $K=-\lambda ^{2}$ с $\lambda >0$ и

$T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,$

Из уравнения

${\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}$

получим, умножив обе части на $r^{2}$ и разделение переменных, что

$\lambda ^{2}r^{2}+{\frac {r^{2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L$

и

$-{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=L,$

для некоторой константы $L.$ С $\Theta (\theta )$ является периодическим, с периодом $2\pi ,$ $\theta$ будучи угловой переменной, отсюда следует, что

$\Theta (\theta )=C\cos m\theta +D\sin m\theta ,\,$

где $m=0,1,\dots$ и $C$ и $D$ являются некоторыми константами. Это также подразумевает $L=m^{2}.$

Возвращаясь к уравнению для $R(r),$ его решение представляет собой линейную комбинацию функций Бесселя $J_{m}$ и $Y_{m}.$ Рассуждая аналогично предыдущему разделу, мы приходим к

$R(r)=J_{m}(\lambda _{mn}r),\,$ $m=0,1,\dots ,$ $n=1,2,\dots ,$

где $\lambda _{mn}=\alpha _{mn}/a,$ с $\alpha _{mn}$ тот $n$-й положительный корень из $J_{m}.$

Мы показали, что все решения в разделенных переменных задачи о вибрирующей головке барабана имеют вид

$u_{mn}(r,\theta ,t)=\left(A\cos c\lambda _{mn}t+B\sin c\lambda _{mn}t\right)J_{m}\left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )$

для $m=0,1,\dots ,n=1,2,\dots$

Анимации нескольких режимов вибрации

Ниже показано несколько мод вместе с их квантовыми числами. Указаны также аналогичные волновые функции атома водорода и связанные с ними угловые частоты. $\omega _{mn}=\lambda _{mn}c={\dfrac {\alpha _{mn}}{a}}c=\alpha _{mn}c/a$. Значения $\alpha _{mn}$ являются корнями функции Бесселя $J_{m}$. Это выводится из граничного условия $\forall \theta \in [0,2\pi ],\forall t,\ u_{mn}(r=a,\theta ,t)=0$ что дает $J_{m}(\lambda _{mn}a)=J_{m}(\alpha _{mn})=0$.

• 
  Режим $u_{01}$ (1с) с $\alpha _{01}=2.40483$
• 
  Режим $u_{02}$ (2с) с $\alpha _{02}=5.52008$
• 
  Режим $u_{03}$ (3 с) с $\alpha _{03}=8.65373$

• 
  Режим $u_{11}$ (2п) с $\alpha _{11}=3.83171$
• 
  Режим $u_{12}$ (3п) с $\alpha _{12}=7.01559$
• 
  Режим $u_{13}$ (4п) с $\alpha _{13}=10.1735$

• 
  Режим $u_{21}$ (3д) с $\alpha _{21}=5.13562$
• 
  Режим $u_{22}$ (4г) с $\alpha _{22}=8.41724$
• 
  Режим $u_{23}$ (5д) с $\alpha _{23}=11.6198$

Больше значений $\alpha _{mn}$ можно легко вычислить, используя следующий код Python с scipy библиотека:

from scipy import special as sc
m = 0 # order of the Bessel function (i.e. angular mode for the circular membrane)
nz = 3 # desired number of roots
alpha_mn = sc.jn_zeros(m, nz) # outputs nz zeros of Jm

См. также

• Вибрирующая струна , одномерный случай
• Узоры Хладни , раннее описание родственного явления, в частности с музыкальными инструментами; см. также киматику
• Прослушивание формы барабана , характеристика мод по форме мембраны.
• Атомная орбиталь , родственная квантово-механическая и трехмерная проблема.

Ссылки

• Х. Асмар, Нахле (2005). Уравнения в частных производных с рядами Фурье и краевые задачи . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. п. 198. ИСБН  0-13-148096-0 .