Собственная функция

Это решение задачи о вибрирующем барабане в любой момент времени является собственной функцией оператора Лапласа на диске.

В математике собственная функция линейного оператора D , определенного в некотором функциональном пространстве , — это любая ненулевая функция. $f$в этом пространстве, которое под действием D только умножается на некоторый масштабный коэффициент, называемый собственным значением . В виде уравнения это условие можно записать как

$$Df=\lambda f$$

для некоторого скалярного собственного значения $\lambda .$ На решения этого уравнения также могут распространяться граничные условия , ограничивающие допустимые собственные значения и собственные функции.

Собственная функция — это разновидность собственного вектора .

Собственные функции

В общем, собственный вектор линейного оператора D , определенного в некотором векторном пространстве, представляет собой ненулевой вектор в области определения D , который, когда D действует на него, просто масштабируется некоторым скалярным значением, называемым собственным значением. В особом случае, когда D определен в функциональном пространстве, собственные векторы называются собственными функциями . То есть функция f является собственной функцией D , если она удовлетворяет уравнению

$$Df=\lambda f,$$

( 1 )

где λ — скаляр. Решения уравнения ( 1 ) также могут подчиняться граничным условиям. Из-за граничных условий возможные значения λ обычно ограничиваются, например, дискретным набором λ ₁ , λ ₂ , … или непрерывным набором в некотором диапазоне. Набор всех возможных собственных значений D иногда называют его спектром , который может быть дискретным, непрерывным или комбинацией того и другого.

Каждому значению λ соответствует одна или несколько собственных функций. Если несколько линейно независимых собственных функций имеют одно и то же собственное значение, собственное значение называется вырожденным , собственного значения а максимальное количество линейно независимых собственных функций, связанных с одним и тем же собственным значением, представляет собой степень вырождения или геометрической кратности .

Пример производной

Широко используемым классом линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, являются дифференциальные операторы в пространстве C. ^∞ бесконечно дифференцируемых действительных или комплексных функций вещественного или комплексного аргумента t . Например, рассмотрим оператор производной ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$ с уравнением собственных значений

$${\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).$$

Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе части на ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$и интегрируя. Ее решение – показательная функция

$$f(t)=f_{0}e^{\lambda t},$$

— собственная функция производного оператора, где f ₀ — параметр, зависящий от граничных условий. Обратите внимание, что в этом случае собственная функция сама по себе является функцией связанного с ней собственного значения λ, которое может принимать любое действительное или комплексное значение. В частности, отметим, что при λ = 0 собственная функция f ( t ) является константой.

Предположим, что в примере f ( t ) подчиняется граничным условиям f (0) = 1 и ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$. Затем мы находим это

$$f(t)=e^{2t},$$

где λ = 2 — единственное собственное значение дифференциального уравнения, также удовлетворяющее граничному условию.

Ссылка на собственные значения и собственные векторы матриц

Собственные функции могут быть выражены в виде векторов-столбцов, а линейные операторы могут быть выражены в виде матриц, хотя они могут иметь бесконечные размерности. В результате многие понятия, связанные с собственными векторами матриц, переносятся и на изучение собственных функций.

Определите внутренний продукт в функциональном пространстве, в котором D определяется как

$$\langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt,$$

интегрировано в некотором интересующем диапазоне для t , называемом Ω. * комплексно - обозначает сопряженное число .

Предположим, что функциональное пространство имеет ортонормированный базис , заданный набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, un _t ( ) }, где n может быть бесконечным. Для ортонормированного базиса

$$\langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},$$

где δij _— дельта Кронекера и может рассматриваться как элементы единичной матрицы .

Функции можно записать как линейную комбинацию базисных функций:

$$f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),$$

например, посредством Фурье f разложения ( t ). Коэффициенты b _j можно сложить в n вектор-столбец на 1 b = [ b ₁ b ₂ … b _n ] ^Т . В некоторых особых случаях, таких как коэффициенты ряда Фурье синусоидальной функции, этот вектор-столбец имеет конечную размерность.

Дополнительно определим матричное представление линейного оператора D с элементами

$$A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.$$

Мы можем записать функцию Df ( t ) либо как линейную комбинацию базисных функций, либо как D , действующую на разложение f ( t ),

$$Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).$$

Взяв скалярное произведение каждой части этого уравнения с произвольной базисной функцией ( _ui t ) ,

$${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}$$

Это матричное умножение Ab = c , записанное в виде суммирования, и является матричным эквивалентом оператора D , действующего на функцию f ( t ), выраженную в ортонормированном базисе. Если f ( t ) — собственная функция D с собственным значением λ, то Ab = λb .

собственные функции эрмитовых

Многие из операторов, встречающихся в физике, являются эрмитовыми . Предположим, что линейный оператор D действует в функциональном пространстве, которое является гильбертовым пространством с ортонормированным базисом, заданным набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, un _t ( ) }, где n может быть бесконечным. В этом базисе оператор D имеет матричное представление A с элементами

$$A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).$$

проинтегрировано в некотором интересующем диапазоне для t , обозначенного Ω.

По аналогии с эрмитовыми матрицами A D является эрмитовым оператором, если ij ₌ A ji _* , или:

$${\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{aligned}}$$

Рассмотрим эрмитов оператор D с собственными значениями λ ₁ , λ ₂ , … и соответствующими собственными функциями f ₁ ( t ), f ₂ ( t ), …. Этот эрмитовский оператор обладает следующими свойствами:

• Его собственные значения вещественны, λ _i = λ _i *
• Его собственные функции подчиняются условию ортогональности: $\langle f_{i},f_{j}\rangle =0$ если я ≠ j

Второе условие всегда выполняется для λ _i ≠ λ _j . Для вырожденных собственных функций с одинаковым собственным значением λ _i всегда можно выбрать ортогональные собственные функции, которые охватывают собственное пространство, связанное с λ _i , например, с помощью процесса Грама-Шмидта . В зависимости от того, является ли спектр дискретным или непрерывным, собственные функции можно нормализовать, установив скалярное произведение собственных функций равным либо дельте Кронекера, либо дельта-функции Дирака соответственно.

Для многих эрмитовых операторов, особенно операторов Штурма – Лиувилля , третье свойство

• Его собственные функции составляют основу функционального пространства, в котором определен оператор.

Как следствие, во многих важных случаях собственные функции эрмитова оператора образуют ортонормированный базис. В этих случаях произвольная функция может быть выражена как линейная комбинация собственных функций эрмитова оператора.

Приложения

Вибрирующие струны

Форма стоячей волны в закрепленной на ее границах струне является примером собственной функции дифференциального оператора. Допустимые собственные значения зависят от длины струны и определяют частоту колебаний.

Пусть h ( x , t ) обозначает поперечное смещение напряжённой упругой хорды, такой как колеблющаяся струна струнного инструмента , как функция положения x вдоль струны и времени t . Применяя законы механики к бесконечно малым частям струны, функция h удовлетворяет уравнению в частных производных

$${\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},$$

которое называется (одномерным) волновым уравнением . Здесь с — постоянная скорость, зависящая от натяжения и массы струны.

Эта задача поддается методу разделения переменных . Если предположить, что h ( x , t ) можно записать как произведение вида X ( x ) T ( t ) , мы можем сформировать пару обыкновенных дифференциальных уравнений:

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.$$

Каждое из них представляет собой уравнение собственных значений с собственными значениями ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$ и − ω ² , соответственно. При любых значениях ω и c уравнениям удовлетворяют функции

$$X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),$$

где фазовые углы φ и ψ — произвольные вещественные константы.

Если мы наложим граничные условия, например, что концы струны зафиксированы в точках x = 0 и x = L , а именно X (0) = X ( L ) = 0 , и что T (0) = 0 , мы ограничим собственные значения. Для этих граничных условий sin( φ ) = 0 и sin( ψ ) = 0 , поэтому фазовые углы φ = ψ = 0 и

$$\sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.$$

Это последнее граничное условие вынуждает ω принимать значение ω _n = ncπ / L , где n — любое целое число. Таким образом, зажатая струна поддерживает семейство стоячих волн вида

$$h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).$$

На примере струнного инструмента частота ω _n — это частота n -й гармоники , которая называется ( n − 1) -м обертоном .

Уравнение Шрёдингера

В квантовой механике Шрёдингера уравнение

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

с гамильтоновым оператором

$$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)$$

можно решить методом разделения переменных, если гамильтониан не зависит явно от времени. В этом случае волновая функция Ψ( r , t ) = φ ( r ) T ( t ) приводит к двум дифференциальным уравнениям:

$$H\varphi (\mathbf {r} )=E\varphi (\mathbf {r} ),$$

( 2 )

$$i\hbar {\frac {\partial T(t)}{\partial t}}=ET(t).$$

( 3 )

Оба этих дифференциальных уравнения являются уравнениями на собственные значения с собственным значением E . Как показано в предыдущем примере, решением уравнения ( 3 ) является экспоненциальная функция

$$T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.$$

Уравнение ( 2 ) представляет собой независимое от времени уравнение Шрёдингера. Собственные функции φ _k оператора Гамильтона представляют собой стационарные состояния квантовомеханической системы, каждое из которых имеет соответствующую энергию E _k . Они представляют собой допустимые энергетические состояния системы и могут быть ограничены граничными условиями.

Гамильтонов оператор H является примером эрмитова оператора, собственные функции которого образуют ортонормированный базис. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, общие решения уравнения Шрёдингера представляют собой линейные комбинации стационарных состояний, умноженные на колебательное T ( t ) , ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$ или, для системы с непрерывным спектром,

$$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.$$

Успех уравнения Шрёдингера в объяснении спектральных характеристик водорода считается одним из величайших триумфов физики XX века.

Сигналы и системы

При изучении сигналов и систем собственная функция системы — это сигнал f ( t ) , который при вводе в систему вызывает ответ y ( t ) = λf ( t ) , где λ — комплексное скалярное собственное значение.

См. также

• Собственные значения и собственные векторы
• Теорема Гильберта – Шмидта
• Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
• Комбинатор с фиксированной точкой
• Собственные функции преобразования Фурье

Цитируемые работы

• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид. Методы математической физики . Том. 1. Уайли. ISBN  047150447-5 . (Том 2: ISBN   047150439-4 )
• Давыдов А.С. (1976). Квантовая механика . Переведено, отредактировано и с дополнениями Д. тер Хаара (2-е изд.). Оксфорд: Пергамон Пресс. ISBN  008020438-4 .
• Жирод, Бернд ; Рабенштейн, Рудольф; Стенгер, Александр (2001). Сигналы и системы (2-е изд.). Уайли. ISBN  047198800-6 .
• Куссе, Брюс; Вествиг, Эрик (1998). Математическая физика . Нью-Йорк: Wiley Interscience. ISBN  047115431-8 .
• Вассерман, Эрик В. (2016). «Собственная функция» . Математический мир . Вольфрам Исследования . Проверено 12 апреля 2016 г.

Внешние ссылки

• Больше изображений (без лицензии GPL) на сайте Atom in a Box