бесконечно малый

Бесконечно малые (ε) и бесконечности (ω) на гипердействительной числовой прямой (ε = 1/ω)

В математике бесконечно малое число — это ненулевая величина, которая ближе к 0 , чем любое ненулевое действительное число . Слово «бесконечно малый» происходит от современной латинской чеканки 17-го века «infinitsimus» , которая первоначально относилась к элементу « бесконечность - эт » в последовательности .

Бесконечно малые числа не существуют в стандартной системе действительных чисел, но они существуют в других системах счисления, таких как сюрреалистическая система счисления и гипердействительная система счисления , которые можно рассматривать как действительные числа, дополненные как бесконечно малыми, так и бесконечными количествами; увеличения являются обратными друг другу.

Бесконечно малые числа были введены в развитие исчисления , в котором производная впервые была задумана как отношение двух бесконечно малых величин. Это определение не было строго формализовано . По мере дальнейшего развития исчисления бесконечно малые были заменены пределами , которые можно вычислить с использованием стандартных действительных чисел.

Бесконечно малые вновь обрели популярность в 20-м веке с Абрахамом Робинсоном развитием нестандартного анализа и гипердействительных чисел , которые после столетий споров показали, что формальная трактовка исчисления бесконечно малых была возможна. После этого математики разработали сюрреалистические числа — родственную формализацию бесконечных и бесконечно малых чисел, которая включает в себя как гипердействительные кардинальные , так и порядковые числа , что является крупнейшим упорядоченным полем .

Владимир Арнольд писал в 1990 году:

Сейчас при обучении анализу не очень популярно говорить о бесконечно малых величинах. Следовательно, современные студенты не в полной мере владеют этим языком. Тем не менее владеть им все же необходимо.

Решающее понимание Для того, чтобы сделать бесконечно малые математические объекты возможными, было то, что они все еще могли сохранять определенные свойства, такие как угол или наклон , даже если эти объекты были бесконечно малы.

Бесконечно малые являются основным компонентом исчисления , разработанного Лейбницем , включая закон непрерывности и трансцендентный закон однородности . В просторечии бесконечно малый объект — это объект, который меньше любого возможного измерения, но не равен нулю по размеру или настолько мал, что его невозможно отличить от нуля любыми доступными способами. Следовательно, при использовании в качестве прилагательного в математике «бесконечно малый» означает «бесконечно маленький», меньший, чем любое стандартное действительное число. Бесконечно малые часто сравнивают с другими бесконечно малыми величинами аналогичного размера, например, при исследовании производной функции. Бесконечное количество бесконечно малых суммируется для вычисления интеграла .

Понятие бесконечно малых было первоначально введено около 1670 года Николаем Меркатором или Готфридом Вильгельмом Лейбницем . Архимед использовал то, что в конечном итоге стало известно как метод неделимых, в своей работе «Метод механических теорем» для определения площадей областей и объемов твердых тел. В своих официальных опубликованных трактатах Архимед решил ту же проблему, используя метод истощения . В 15 веке появились работы Николая Кузанского , получившие дальнейшее развитие в 17 веке Иоганна Кеплера , в частности, вычисление площади круга путем представления последнего в виде многоугольника с бесконечными сторонами. Работа Саймона Стевина по десятичному представлению всех чисел в 16 веке подготовила почву для настоящего континуума. Метод неделимых Бонавентуры Кавальери привел к расширению результатов классических авторов. Метод неделимых относится к геометрическим фигурам как состоящим из объектов коразмерности 1. Бесконечно малые числа Джона Уоллиса отличались от неделимых тем, что он разлагал геометрические фигуры на бесконечно тонкие строительные блоки того же размера, что и фигура, подготавливая почву для общих методов интегрального исчисления. Он использовал бесконечно малую величину, обозначаемую 1/∞, при расчете площади.

Использование Лейбницем бесконечно малых чисел основывалось на эвристических принципах, таких как закон непрерывности: то, что успешно для конечных чисел, успешно и для бесконечных чисел, и наоборот; и трансцендентный закон однородности, который определяет процедуры замены выражений, включающих неназначаемые величины, выражениями, включающими только назначаемые величины. , регулярно использовали бесконечно малые числа В 18 веке такие математики, как Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж . Огюстен-Луи Коши использовал бесконечно малые значения как при определении непрерывности в своем «Курсе анализа» , так и при определении ранней формы дельта-функции Дирака . Пока Кантор и Дедекинд разрабатывали более абстрактные версии континуума Стевина, Поль дю Буа-Реймон написал серию статей о бесконечно малых континуумах, основанных на скорости роста функций. Работы Дюбуа-Реймона вдохновили Эмиля Бореля и Торальфа Скулема . Борель явно связал работу Дюбуа-Реймона с работой Коши о скорости роста бесконечно малых величин. Скулем разработал первые нестандартные модели арифметики в 1934 году. Математическая реализация закона непрерывности и бесконечно малых была достигнута Абрахам Робинсон в 1961 году, который разработал нестандартный анализ на основе более ранних работ Эдвина Хьюитта в 1948 году и Ежи Лося в 1955 году. Гиперреальные реалии реализуют континуум, обогащенный бесконечно малыми величинами, а принцип переноса реализует закон непрерывности Лейбница. Функция стандартной части Ферма реализует адекватность .

История бесконечно малого

Идея бесконечно малых величин обсуждалась Элейской школой . Греческий » математик Архимед (ок. 287 г. до н. э. – ок. 212 г. до н. э.) в «Методе механических теорем первым предложил логически строгое определение бесконечно малых величин. Его архимедово свойство определяет число x как бесконечное, если оно удовлетворяет условиям | х | > 1, | х | > 1 + 1, | х | > 1 + 1 + 1, ... и бесконечно малый, если x ≠ 0 и аналогичный набор условий выполняется для x и обратных целых положительных чисел. Система счисления называется архимедовой, если она не содержит ни бесконечных, ни бесконечно малых членов.

Английский математик Джон Уоллис ввел выражение 1/∞ в своей книге 1655 года «Трактат о конических сечениях» . Символ, обозначающий обратную величину или инверсию ∞ , является символическим представлением математического понятия бесконечно малого. В своем «Трактате о конических сечениях» Уоллис также обсуждает концепцию связи между введенным им символическим представлением бесконечно малого 1/∞ и понятием бесконечности, для которого он ввел символ ∞. Концепция предполагает мысленный эксперимент по добавлению бесконечного числа параллелограммов бесконечно малой ширины для формирования конечной площади. Эта концепция была предшественником современного метода интегрирования, используемого в интегральном исчислении . Концептуальные истоки концепции бесконечно малого 1/∞ можно проследить еще у греческого философа Зенона Элейского , чей парадокс дихотомии Зенона был первой математической концепцией, рассматривающей связь между конечным интервалом и интервалом, приближающимся к интервалу бесконечно малый интервал.

Бесконечно малые были предметом политических и религиозных споров в Европе 17 века, включая запрет на бесконечно малые, изданный священнослужителями в Риме в 1632 году.

До изобретения исчисления математики могли вычислять касательные, используя Пьера де Ферма метод адекватности и Рене Декарта метод нормалей . Среди ученых ведутся споры о том, был ли этот метод бесконечно малым или алгебраическим по своей природе. Когда Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление , они использовали бесконечно малые, флюксии Лейбница Ньютона и дифференциал . Использование бесконечно малых было подвергнуто критике как неправильное епископом Беркли в его работе «Аналитик» . Математики, ученые и инженеры продолжали использовать бесконечно малые величины для получения правильных результатов. Во второй половине девятнадцатого века исчисление было переформулировано Огюстеном-Луи Коши , Бернаром Больцано , Карлом Вейерштрассом , Кантором , Дедекиндом и другими с использованием (ε, δ)-определения предела и теории множеств . В то время как последователи Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса стремились избавить анализ бесконечно малых величин, а их философские союзники, такие как Бертран Рассел и Рудольф Карнап что бесконечно малые величины являются псевдоконцепциями , Герман Коэн и его марбургская школа неокантианства , заявляли , стремились разработать рабочую логику бесконечно малые. Математическое исследование систем, содержащих бесконечно малые, продолжалось в работах Леви-Чивита , Джузеппе Веронезе , Поля дю Буа-Реймона и других на протяжении конца девятнадцатого и двадцатого веков, как документально подтверждено Филипом Эрлихом (2006). В 20 веке было обнаружено, что бесконечно малые числа могут служить основой для исчисления и анализа (см. гипердействительные числа ).

Свойства первого порядка

Расширяя действительные числа, включив в них бесконечные и бесконечно малые величины, обычно хочется быть как можно более консервативными и не изменять ни одно из их элементарных свойств. Это гарантирует, что как можно больше знакомых результатов по-прежнему доступны. Обычно элементарность что нет количественной оценки множеств означает , , а только элементы. Это ограничение допускает утверждения вида «для любого числа x...». Например, аксиома, гласящая «для любого числа x , x + 0 = x », все равно будет применяться. То же самое справедливо и для количественной оценки нескольких чисел, например: «Для любых чисел и y xy = x yx » . Однако утверждения вида «для любого набора   S чисел…» переноситься не могут. Логика с этим ограничением количественной оценки называется логикой первого порядка .

Полученная в результате расширенная система счисления не может согласовываться с действительными числами по всем свойствам, которые могут быть выражены путем количественной оценки множеств, поскольку цель состоит в том, чтобы построить неархимедову систему, а принцип Архимеда может быть выражен путем количественной оценки множеств. Любую теорию, включая вещественные числа, включая теорию множеств, можно консервативно расширить, включив в нее бесконечно малые числа, просто добавив счетный бесконечный список аксиом, которые утверждают, что число меньше 1/2, 1/3, 1/4 и так далее. Точно так же нельзя ожидать, что свойство полноты сохранится, потому что действительные числа являются уникальным полным упорядоченным полем с точностью до изоморфизма.

Мы можем выделить три уровня, на которых неархимедова система счисления может иметь свойства первого порядка, совместимые со свойствами вещественных чисел:

1. Упорядоченное поле подчиняется всем обычным аксиомам действительной системы счисления, которые можно сформулировать в логике первого порядка. Например, коммутативности справедлива аксиома x + y = y + x .
2. Реальное замкнутое поле обладает всеми свойствами первого порядка действительной системы счисления, независимо от того, считаются ли они обычно аксиоматическими, для утверждений, включающих основные отношения упорядоченного поля +, × и ≤. Это более сильное условие, чем соблюдение аксиом упорядоченного поля. Более конкретно, один из них включает дополнительные свойства первого порядка, такие как существование корня для каждого многочлена нечетной степени. Например, каждое число должно иметь кубический корень .
3. Система может обладать всеми свойствами первого порядка системы действительных чисел для утверждений, включающих любые отношения (независимо от того, могут ли эти отношения быть выражены с помощью +, × и ≤). Например, должна быть функция синуса , которая четко определена для бесконечных входных данных; то же самое верно для каждой реальной функции.

Системы категории 1, находящиеся на слабом конце спектра, относительно легко построить, но не позволяют полностью провести классический анализ с использованием бесконечно малых в духе Ньютона и Лейбница. Например, трансцендентные функции определяются в терминах бесконечных предельных процессов, и поэтому обычно нет способа определить их в логике первого порядка. Повышая аналитическую силу системы путем перехода к категориям 2 и 3, мы обнаруживаем, что трактовка имеет тенденцию становиться менее конструктивной и становится труднее сказать что-либо конкретное об иерархической структуре бесконечностей и бесконечно малых.

Системы счисления, включающие бесконечно малые числа

Официальная

Лорановский сериал

Примером из категории 1 выше является поле рядов Лорана с конечным числом членов отрицательной степени. Например, ряд Лорана, состоящий только из постоянного члена 1, отождествляется с действительным числом 1, а ряд, содержащий только линейный член x , считается простейшим бесконечно малым, из которого строятся другие бесконечно малые числа. Используется словарный порядок, что эквивалентно рассмотрению более высоких степеней x как незначительных по сравнению с более низкими степенями. Дэвид О. Талл называет эту систему сверхдействительной, не путать со сверхдействительной системой счисления Дейлса и Вудина. Поскольку ряд Тейлора , вычисленный с помощью ряда Лорана в качестве аргумента, по-прежнему является рядом Лорана, систему можно использовать для расчета трансцендентных функций, если они аналитичны. Эти бесконечно малые числа обладают свойствами первого порядка, отличными от вещественных чисел, потому что, например, базовый бесконечно малый x не имеет квадратного корня.

Поле Леви-Чивита

Поле Леви-Чивита аналогично ряду Лорана, но алгебраически замкнуто. Например, базовый бесконечно малый x имеет квадратный корень. Это поле достаточно богато, чтобы можно было провести значительный объем анализа, но его элементы по-прежнему могут быть представлены на компьютере в том же смысле, в каком действительные числа могут быть представлены в формате с плавающей запятой.

Транссерии

Поле транссерий больше поля Леви-Чивита. Пример транссерии:

$e^{\sqrt {\ln \ln x}}+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},$

где для целей упорядочивания x считается бесконечным.

Сюрреалистические цифры

Конвея Сюрреалистические числа попадают во вторую категорию, за исключением того, что сюрреалистические числа образуют собственный класс , а не множество. Это система, разработанная так, чтобы максимально разнообразить числа разного размера, но не обязательно для удобства проведения анализа, в том смысле, что каждое упорядоченное поле является подполем сюрреалистических чисел. Существует естественное расширение показательной функции на сюрреалистические числа.

Гиперреальность

Основная статья: Гиперреальное число

Самый распространенный метод работы с бесконечно малыми числами — это гиперреальность, разработанная Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах. Они попадают в категорию 3, указанную выше, поскольку были разработаны таким образом, чтобы весь классический анализ можно было перенести из реальных событий. Это свойство способности переносить все отношения естественным образом известно как принцип переноса , доказанный Ежи Лосью в 1955 году. Например, трансцендентная функция sin имеет естественный аналог *sin, который принимает гиперреальные входные данные и дает гиперреальное значение. вывод, и аналогично набор натуральных чисел $\mathbb {N}$ имеет естественный аналог $^{*}\mathbb {N}$, который содержит как конечные, так и бесконечные целые числа. Такое предложение, как $\forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0$ переносится в гиперреализм как $\forall n\in {}^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin n\pi =0$ .

Суперреальный

Основная статья: Сверхдействительное число

Сверхреальная система счисления Дейлса и Вудина является обобщением гиперреальности. Она отличается от сверхреальной системы, определенной Дэвидом Таллом .

Двойные числа

Основная статья: Двойной номер

В линейной алгебре двойственные числа расширяют действительные числа, присоединяя один бесконечно малый, новый элемент ε со свойством ε ² = 0 (т. е. ε нильпотентно ). Каждое двойственное число имеет вид z = a + bε , где a и b — однозначно определенные действительные числа.

Одним из применений двойных чисел является автоматическое дифференцирование . Это приложение можно обобщить на полиномы от n переменных, используя внешнюю алгебру n-мерного векторного пространства.

Гладкий

Основная статья: Гладкий бесконечно малый анализ

Синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий бесконечно малый анализ имеют корни в теории категорий . Этот подход отходит от классической логики, используемой в традиционной математике, отрицая общую применимость закона исключенного третьего – т.е. не ( a ≠ b ) не обязательно означает a = b . нильквадрат нильпотентную или бесконечно малую Затем можно определить величину. Это число x , где x ² = 0 истинно, но x = 0 в то же время не обязательно должно быть истинным. Поскольку базовой логикой является интуиционистская логика , не сразу ясно, как классифицировать эту систему по отношению к классам 1, 2 и 3. Сначала необходимо разработать интуиционистские аналоги этих классов.

Бесконечно малые дельта-функции

Коши использовал бесконечно малую $\alpha$ записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака $\delta _{\alpha }$ удовлетворяющий $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$в ряде статей 1827 г. см. Лаугвиц (1989). Коши определил бесконечно малую величину в 1821 году (Кур д'Анализ) как последовательность, стремящуюся к нулю. Коши и Лазара Карно А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой в терминологии .

Современные теоретико-множественные подходы позволяют определять бесконечно малые числа с помощью сверхстепенной конструкции, при которой нулевая последовательность становится бесконечно малой в смысле класса эквивалентности по модулю отношения, определенного в терминах подходящего ультрафильтра . Статья Ямаситы (2007) содержит библиографию современных дельта-функций Дирака в контексте бесконечно малого континуума, обеспечиваемого гиперреальными объектами .

Логические свойства

Метод построения бесконечно малых, используемый в нестандартном анализе, зависит от модели и набора аксиом , которые используются. Здесь мы рассматриваем системы, в которых можно доказать существование бесконечно малых величин.

В 1936 году Мальцев доказал теорему компактности . Эта теорема является фундаментальной для существования бесконечно малых чисел, поскольку она доказывает возможность их формализовать. Следствием этой теоремы является то, что если существует система счисления, в которой верно, что для любого положительного целого числа n существует положительное число x такое, что 0 < x < 1/ n , то существует расширение этой системы счисления в верно, что существует такое положительное число x , что для любого положительного целого числа n имеем 0 < x < 1/ n . Возможность переключения «на любой» и «существует» имеет решающее значение. Первое утверждение верно для действительных чисел, как указано в ZFC теории множеств : для любого положительного целого числа n можно найти действительное число между 1/ n и нулем, но это действительное число зависит от n . Здесь сначала выбирают n , затем находят соответствующий x . Во втором выражении утверждение говорит, что существует x (по крайней мере один), выбранный первым, который находится между 0 и 1/ n для любого n . В этом случае x бесконечно мало. В реальных числах это не так ( R ), предоставленный ZFC. Тем не менее теорема доказывает, что существует модель (система счисления), в которой это верно. Вопрос: что это за модель? Каковы его свойства? Есть только одна такая модель?

На самом деле существует много способов построить такой одномерный линейно упорядоченный набор чисел, но по сути существует два разных подхода:

1. Расширьте систему счисления так, чтобы она содержала больше чисел, чем действительных чисел.
2. Расширьте аксиомы (или расширьте язык) так, чтобы различие между бесконечно малыми и небесконечно малыми числами можно было проводить в самих действительных числах.

В 1960 году Абрахам Робинсон дал ответ, основанный на первом подходе. Расширенный набор называется гипердействительными числами и содержит числа, меньшие по абсолютной величине, чем любое положительное действительное число. Этот метод можно считать относительно сложным, но он доказывает, что бесконечно малые существуют во вселенной теории множеств ZFC. Действительные числа называются стандартными числами, а новые невещественные гипердействительные числа называются нестандартными .

В 1977 году Эдвард Нельсон дал ответ, основанный на втором подходе. Расширенные аксиомы — это IST, что означает либо внутреннюю теорию множеств , либо инициалы трех дополнительных аксиом: идеализация, стандартизация, перенос. Мы считаем, что в этой системе язык расширен таким образом, что мы можем выражать факты о бесконечно малых величинах. Действительные числа бывают стандартными или нестандартными. Бесконечно малое — это нестандартное действительное число, которое по абсолютной величине меньше любого положительного стандартного действительного числа.

В 2006 году Карел Хрбачек разработал расширение подхода Нельсона, в котором реальные числа расслояются на (бесконечное) множество уровней; т. е. на самом грубом уровне нет ни бесконечно малых, ни неограниченных чисел. Бесконечно малые находятся на более тонком уровне, существуют также бесконечно малые относительно этого нового уровня и так далее.

Бесконечно малые в обучении

Учебники по математическому анализу, основанные на бесконечно малых величинах, включают классический учебник «Легкое исчисление » Сильвануса П. Томпсона (с девизом «То, что может сделать один дурак, может сделать другой»). ) и немецкий текст Математика для средних технических училищ машиностроения» . Р. Нойендорфа « Новаторские работы, основанные на бесконечно малых величинах Абрахама Робинсона, включают тексты Строяна (датированные 1972 годом) и Говарда Джерома Кейслера ( «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход »). Учащиеся легко понимают интуитивное понятие бесконечно малой разности 1-" 0,999... ", где "0,999..." отличается от своего стандартного значения, как действительного числа 1, и переинтерпретируется как бесконечная завершающая расширенная десятичная дробь, которая строго меньше 1.

Другой учебник по элементарному исчислению, в котором используется теория бесконечно малых, разработанная Робинсоном, — это «Исчисление бесконечно малых» Генле и Кляйнберга, первоначально опубликованное в 1979 году. Авторы знакомят с языком логики первого порядка и демонстрируют построение модели гипердействительных чисел первого порядка. Текст представляет собой введение в основы интегрального и дифференциального исчисления в одном измерении, включая последовательности и ряды функций. В Приложении они также рассматривают расширение своей модели на гипергиперреальные реальности и демонстрируют некоторые применения расширенной модели.

Текст по элементарному исчислению, основанный на гладком анализе бесконечно малых, — Bell, John L. (2008). Учебник бесконечно малого анализа, 2-е издание. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521887182.

Более поздний текст по исчислению с использованием бесконечно малых - Доусон, К. Брайан (2022), Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue, Oxford University Press. ISBN 9780192895608.

Функции, стремящиеся к нулю

В родственном, но несколько ином смысле, который произошел от первоначального определения «бесконечно малой» как бесконечно малой величины, этот термин также использовался для обозначения функции, стремящейся к нулю. Точнее, « Продвинутое исчисление» Лумиса и Штернберга определяет класс функций бесконечно малых величин: ${\mathfrak {I}}$, как подмножество функций $f:V\to W$ между нормированными векторными пространствами

${\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}$,

а также два связанных класса ${\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}$ (см. обозначение Big-O )

${\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}$, и

${\mathfrak {o}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}||f(\xi )||/||\xi ||=0\}$.

Набор включений ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$в общем держу. Правильность включений демонстрируют вещественные функции действительной переменной $f:x\mapsto |x|^{1/2}$, $g:x\mapsto x$, и $h:x\mapsto x^{2}$:

$f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ но $f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ и $f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.

В качестве применения этих определений отображение $F:V\to W$ между нормированными векторными пространствами определяется как дифференцируемый в $\alpha \in V$ если есть $T\in \mathrm {Hom} (V,W)$ [т.е. ограниченное линейное отображение $V\to W$] такой, что

$[F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)$

в районе $\alpha$. Если такое отображение существует, оно уникально; это отображение называется дифференциалом и обозначается $dF_{\alpha }$, совпадающее с традиционными обозначениями классического (хотя и логически ошибочного) представления о дифференциале как о бесконечно малом «куске» F . Это определение представляет собой обобщение обычного определения дифференцируемости вектор-функций (открытых подмножеств) евклидовых пространств.

Массив случайных величин

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — вероятностное пространство и пусть $n\in \mathbb {N}$. Массив $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$ случайных величин называется бесконечно малым, если для любого $\epsilon >0$, у нас есть:

$\max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty$

Понятие бесконечно малого массива существенно в некоторых центральных предельных теоремах, и по монотонности оператора ожидания легко увидеть, что любой массив, удовлетворяющий условию Линдеберга, является бесконечно малым, что играет важную роль в центральной предельной теореме Линдеберга (обобщении центральной предельной теоремы). ).

См. также

• Функция Кантора
• Дифференциал (бесконечно малый)
• Неопределенная форма
• Бесконечно-малое исчисление
• Бесконечно малое преобразование
• Мгновенный
• Нестандартное исчисление
• Теория моделей

Ссылки

• Б. Кроуэлл, «Исчисление» (2003)
• Доусон, К. Брайан, «Освобождение исчисления: бесконечно малые на помощь» (2022) Oxford University Press
• Эрлих, П. (2006) Возникновение неархимедовой математики и корни заблуждения. I. Появление неархимедовых систем величин. Арх. Хист. Точная наука. 60, нет. 1, 1–121.
• Малет, Антони . «Бэрроу, Уоллис и переделка неделимого семнадцатого века». Центавр 39 (1997), вып. 1, 67–92.
• Дж. Кейслер, «Элементарное исчисление» (2000) Университет Висконсина.
• К. Строян "Основы бесконечно малого исчисления" (1993)
• Строян, КД ; Люксембург, В.А.Ж. Введение в теорию бесконечно малых. Чистая и прикладная математика, № 72. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк-Лондон, 1976.
• Роберт Голдблатт (1998) «Лекции о гиперреальности» Спрингер.
• Катленд и др. «Нестандартные методы и приложения в математике» (2007), Конспект лекций по логике 25, Ассоциация символической логики.
• «Сила нестандартного анализа» (2007) Спрингер.
• Лаугвиц, Д. (1989). «Определенные значения бесконечных сумм: аспекты основ анализа бесконечно малых около 1820 года». Архив истории точных наук . 39 (3): 195–245. дои : 10.1007/BF00329867 . S2CID   120890300 .
• Ямасита, Х.: Комментарий к: «Поточечный анализ скалярных полей: нестандартный подход» [Дж. Математика. Физ. 47 (2006), вып. 9, 092301; 16 с.]. Дж. Математика. Физ. 48 (2007), вып. 8, 084101, 1 стр.