Бонавентура Кавальери

«Кавалерий» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о лунном кратере, см. Кавалерий (кратер) .

Бонавентура Кавальери
Рожденный	Бонавентура Франческо Кавальери 1598 Милан , Миланское герцогство , Габсбургская Испания
Умер	30 ноября 1647 г. (48–49 лет) ( 1647-11-30 ) Болонья , Папская область
Национальность	итальянский
Другие имена	Бонавентура Кавалерий
Альма-матер	Пизанский университет
Известный	Принцип Кавальери Квадратурная формула Кавальери Метод неделимых Полярная система координат
Научная карьера
Поля	Математика

Бонавентура Франческо Кавальери ( лат . Bonaventura Cavalerius ; 1598 — 30 ноября 1647) — итальянский математик и иезуат . Он известен своими работами по проблемам оптики и движения , работами о неделимых , предшественниками исчисления бесконечно малых и введением логарифмов в Италию. Принцип Кавальери в геометрии частично предвосхитил интегральное исчисление .

Жизнь

Рожденный в Милане , Кавальери вступил в орден иезуатов (не путать с иезуитами). ) в возрасте пятнадцати лет, взяв имя Бонавентура, став послушником ордена, и оставался его членом до самой смерти. Он принял обет полноправного члена ордена в 1615 году, в возрасте семнадцати лет, и вскоре после этого присоединился к дому иезуатов в Пизе. К 1616 году он был студентом геометрии в Пизанском университете . Там он попал под опеку Бенедетто Кастелли , который, вероятно, познакомил его с Галилео Галилеем . В 1617 году он ненадолго присоединился к двору Медичи во Флоренции под патронажем кардинала Федерико Борромео , но в следующем году вернулся в Пизу и начал преподавать математику вместо Кастелли. Он подал заявку на кафедру математики в Болонском университете , но получил отказ.

В 1620 году он вернулся в дом иезуатов в Милане, где жил послушником, и стал дьяконом при кардинале Борромео. Он изучал богословие в монастыре Сан-Джероламо в Милане и был назначен настоятелем монастыря Святого Петра в Лоди . В 1623 году он был назначен настоятелем монастыря Св. Бенедикта в Парме, но все еще претендовал на должности математического специалиста. Он снова подал заявку в Болонью, а затем, в 1626 году, в Сапиенцу , но каждый раз получал отказ, несмотря на то, что взял шестимесячный отпуск для поддержки своего дела в Сапиенце в Риме. В 1626 году он начал страдать от подагры, которая ограничила его движения на всю оставшуюся жизнь. Ему также отказали в должности в Пармском университете , что, по его мнению, произошло из-за его членства в ордене иезуатов, поскольку в то время Пармой управлял орден иезуитов. В 1629 году он был назначен заведующим кафедрой математики в Болонском университете, что объясняется поддержкой его Галилеем в сенате Болоньи.

Он опубликовал большую часть своих работ, находясь в Болонье, хотя некоторые из них были написаны ранее; его «Geometria Indivisibilibus» , где он изложил то, что позже станет методом неделимых находясь в Парме, и представлена ​​как часть его заявления в Болонью, но не была опубликована до 1635 года. , была написана в 1627 году , («Шесть упражнений по геометрии») было опубликовано в 1647 году, отчасти как ответ на критику. Также в Болонье он опубликовал таблицы логарифмов и информацию об их использовании, пропагандируя их использование в Италии.

Галилей оказал сильное влияние на Кавальери, и Кавальери написал Галилею не менее 112 писем. Галилей сказал о нем: «Мало кто, если вообще кто-либо, после Архимеда , углубился так глубоко в науку геометрии». Он широко переписывался; среди его известных корреспондентов - Марин Мерсенн , Евангелиста Торричелли и Винченцо Вивиани . Торричелли, в частности, сыграл важную роль в совершенствовании и продвижении метода неделимых. Он также пользовался покровительством Чезаре Марсили .

К концу жизни его здоровье значительно ухудшилось. Артрит не позволял ему писать, и большая часть его корреспонденции была продиктована и написана Стефано дельи Анджели , соратником-иезуатом и учеником Кавальери. Анджели продолжил развитие метода Кавальери.

В 1647 году он умер, вероятно, от подагры.

Наука, Математика Работа

С 1632 по 1646 год Кавальери опубликовал одиннадцать книг, посвященных проблемам астрономии, оптики, движения и геометрии.

Работа в оптике

Первой книгой Кавальери, впервые опубликованной в 1632 году и один раз переизданной в 1650 году, была Lo Specchio Ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche , или « Горящее зеркало , или Трактат о конических сечениях» . Целью Ло Спеккио Усторио было ответить на вопрос о том, как Архимед мог использовать зеркала, чтобы сжечь римский флот, когда они приближались к Сиракузам , вопрос, который все еще обсуждается. Книга вышла за рамки этой цели и также исследовала конические сечения, отражения света и свойства парабол. В этой книге он разработал теорию зеркал, имеющих форму парабол , гипербол и эллипсов , а также различные комбинации этих зеркал. Он продемонстрировал, что если, как было позже показано, свет имеет конечную и определенную скорость, то интерференция в изображении в фокусе параболического, гиперболического или эллиптического зеркала минимальна, хотя это было теоретически, поскольку необходимые зеркала не могли быть построены с использованием современные технологии. Это позволило бы получать более качественные изображения, чем телескопы, существовавшие в то время.

Геометрические фигуры из Lo Speccio Ustorio , используемые в доказательстве свойств параболических отражающих поверхностей.

Он также продемонстрировал некоторые свойства кривых. Во-первых, для светового луча, параллельного оси параболы и отраженного так, чтобы пройти через фокус, сумма углов падения и его отражения равна сумме угла любого другого аналогичного луча. Затем он продемонстрировал аналогичные результаты для гипербол и эллипсов. Второй результат, полезный при проектировании телескопов-рефлекторов, состоит в том, что если от точки вне параболы до фокуса продлить линию, то отражение этой линии на внешней поверхности параболы будет параллельно оси. Другие результаты включают свойство, заключающееся в том, что если линия проходит через гиперболу и ее внешний фокус, то ее отражение внутри гиперболы пройдет через внутренний фокус; обратное предыдущему: луч, направленный через параболу к внутреннему фокусу, отражается от внешней поверхности к внешнему фокусу; и свойство, заключающееся в том, что если линия проходит через один внутренний фокус эллипса, ее отражение на внутренней поверхности эллипса пройдет через другой внутренний фокус. Хотя некоторые из этих свойств были отмечены ранее, Кавальери дал первое доказательство многих.

Lo Specchio Ustorio также включил таблицу отражающих поверхностей и режимов отражения для практического использования.

Работа Кавальери также содержала теоретические разработки нового типа телескопа с использованием зеркал, телескопа-рефлектора , первоначально разработанного для ответа на вопрос о зеркале Архимеда, а затем примененного в гораздо меньшем масштабе в качестве телескопов. Он проиллюстрировал три различные концепции включения отражающих зеркал в свою модель телескопа. Первый план состоял из большого вогнутого зеркала, направленного к солнцу, чтобы отражать свет во второе, меньшее, выпуклое зеркало. Вторая концепция Кавальери состояла из главного усеченного параболоидного зеркала и второго выпуклого зеркала. Его третий вариант продемонстрировал сильное сходство с его предыдущей концепцией, заменив выпуклую вторичную линзу вогнутой.

Работы по геометрии и методу неделимых

Фронтиспис «Geometria indivisibilibus» .

Вдохновленный более ранними работами Галилея, Кавальери разработал новый геометрический подход, названный методом неделимых для исчисления, и опубликовал трактат на эту тему Geometria indivisibilibus continuorum novaquadamratione promota , или Геометрия, разработанная новым методом через неделимые континуумы. . Это было написано в 1627 году, но не было опубликовано до 1635 года. В этой работе Кавальери рассматривает сущность, упомянутую в тексте, как «все линии» или «все плоскости» фигуры, неопределенное количество параллельных линий или плоскостей. в пределах фигуры, соизмеримых соответственно с площадью и объемом фигуры. Позднее математики, совершенствуя его метод, стали рассматривать «все линии» и «все плоскости» как эквиваленты или равные площади и объему, но Кавальери, пытаясь избежать вопроса о составе континуума, настаивал на том, что эти два показателя были сопоставимы, но не равны.

Эти параллельные элементы называются неделимыми соответственно площади и объема и составляют строительные блоки метода Кавальери, а также являются фундаментальными особенностями интегрального исчисления . Он также использовал метод неделимых для вычисления результата, который теперь записан $\int _{0}^{1}x^{2}dx=1/3$, в процессе вычисления площади, заключенной в спирали Архимеда , которую он позже обобщил на другие фигуры, показав, например, что объем конуса составляет одну треть объема описанного в нем цилиндра.

Непосредственным применением метода неделимых является принцип Кавальери , который гласит, что объёмы двух предметов равны, если площади соответствующих им поперечных сечений во всех случаях равны. Два сечения соответствуют, если они являются пересечениями тела плоскостями, равноудаленными от выбранной базовой плоскости. (Тот же принцип ранее использовал Цзу Гэнчжи (480–525) из Китая в конкретном случае расчета объема сферы. )

Метод неделимых, предложенный Кавальери, был мощным, но его полезность была ограничена в двух отношениях. Во-первых, хотя доказательства Кавальери были интуитивными и позже показали свою правильность, они не были строгими; во-вторых, его почерк был плотным и непрозрачным. Хотя многие современные математики продвигали метод неделимых, критическая реакция Geometria indivisibilibus была суровой. Андре Таке и Поль Гулдин опубликовали ответы на Geometria indivisibilibus. Особенно глубокая критика Гульдина предполагает, что метод Кавальери был заимствован из работ Иоганна Кеплера и Бартоломео Соверо , критикует его метод за недостаточную строгость, а затем утверждает, что не может быть осмысленного соотношения между двумя бесконечностями, и поэтому он бессмысленен. сравнивать одно с другим.

Книга Кавальери Exercitationes геометрические секс или Шесть геометрических упражнений (1647) была написана как прямой ответ на критику Гульдина. Первоначально он был задуман как диалог в духе Галилея, но корреспонденты советовали не использовать этот формат как излишне подстрекательский. Обвинения в плагиате были безосновательны, но большая часть Exercitationes касалась математической сути аргументов Гульдина. Он неискренне утверждал, что его работа рассматривала «все линии» как нечто отдельное от площади фигуры, а затем утверждал, что «все линии» и «все плоскости» имеют дело не с абсолютной, а с относительной бесконечностью, и поэтому можно сравнивать. Эти доводы не были убедительными для современников. Тем не менее Exercitationes представляли собой значительное улучшение метода неделимых. Применив преобразования к своим переменным, он обобщил свой предыдущий интегральный результат, показав, что $\int _{0}^{1}x^{n}dx=1/(n+1)$ для n=3 до n=9, которая теперь известна как квадратурная формула Кавальери .

Работа в астрономии

К концу жизни Кавальери опубликовал две книги по астрономии . Хотя они используют язык астрологии , в тексте он утверждает, что не верил в астрологию и не практиковал ее . Этими книгами были « Новая практика астрологии» (1639 г.) и « Траттато делла руота планетария вечная» (1646 г.).

Другая работа

Он опубликовал таблицы логарифмов , подчеркнув их практическое использование в области астрономии и географии .

Кавальери также построил гидравлический насос для монастыря, которым он управлял. Герцог Мантуи приобрел такой же.

Наследие

Памятник Кавальери работы Джованни Антонио Лабуса, Палаццо ди Брера , Милан , 1844 г.

По мнению Жиля-Гастона Грейнджера , Кавальери принадлежит наряду с Ньютоном , Лейбницем , Паскалем , Уоллисом и МакЛорином как один из тех, кто в 17 и 18 веках «переопределил[d] математический объект».

Лунный кратер Кавалериус назван в честь Кавальери.

См. также

• Евангелиста Торричелли
• Стефан из ангелов
• Квадратурная формула Кавальери

Ссылки

• Проект Галилео: Кавальери

Дальнейшее чтение

• Элоги Галилео Галилея и Бонавентуры Кавальери Джузеппе Галеацци, Милан, 1778 г.
• Бонавентура Кавальери Антонио Фаваро, том. 31 Друзья и корреспонденты Галилео Галилея , К. Феррари, 1915 год.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с Бонавентурой Кавальери, на Викискладе?

• Интернет-тексты Кавальери:
  • (на итальянском языке) Горящее зеркало: оверо, Трактат о конических сечениях... (1632)
  • (на латыни) Общий уранометрический справочник (1632 г.)
  • (на латыни) Геометрия неделимых (1653 г.)
  • (на итальянском языке) Астрономическая сфера (1690 г.)
• Биографии:
  • О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Бонавентура Кавальери» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
  • Краткая биография на bookrags.com
  • Фаброни, Анджело (1778). «Бонавентура Кавалер» . Жизнеописания выдающихся итальянских учений 17 века. И 18 Они процветали (на латыни). Я. Пиза: 262–301.
• Современные математические или исторические исследования:
  • Бесконечно-малое исчисление. О его историческом развитии, в Энциклопедии математики , изд. Михила Хазевинкеля .
  • (на немецком языке) Дополнительная информация о методе Кавальери.
  • Кавальери Интеграция