Квадратурная формула Кавальери

Не путать с принципом Кавальери .

Квадратурная формула Кавальери вычисляет площадь под кубической кривой вместе с другими высшими степенями.

В исчислении , названная в честь итальянского математика 17 - квадратурная формула Кавальери го века Бонавентуры Кавальери , представляет собой интеграл.

$\int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,a^{n+1}\qquad n\geq 0,$

и их обобщения. Это определенная целая форма; неопределенная интегральная форма:

$\int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.$

Существуют дополнительные формы , перечисленные ниже. Вместе с линейностью интеграла эта формула позволяет вычислять интегралы от всех многочленов.

Термин « квадратура » является традиционным термином для обозначения площади ; интеграл геометрически интерпретируется как площадь под кривой y = x ^н . Традиционно важными случаями являются y = x ² , квадратура параболы , известная в древности, и y = 1/ x , квадратура гиперболы , значение которой является логарифмом .

Формы

Отрицательный н

Для отрицательных значений n (отрицательные степени x ) существует особенность при x = 0, и, таким образом, определенный интеграл основан на 1, а не на 0, что дает:

$\int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.$

Далее, для отрицательных дробных (нецелых) значений n степень x ^н не является четко определенным , следовательно, неопределенный интеграл определен только для положительного x. Однако для n отрицательного целого числа степень x ^н определяется для всех ненулевых x, а неопределенные и определенные интегралы определены и могут быть вычислены с помощью аргумента симметрии, заменяя x на - x и основывая отрицательно определенный интеграл на -1.

По комплексным числам определенный интеграл (для отрицательных значений n и x ) может быть определен посредством контурного интегрирования , но тогда он зависит от выбора пути, в частности от числа витков - геометрическая проблема заключается в том, что функция определяет пространство покрытия с особенностью в точке 0.

п = −1

Существует также исключительный случай n = −1, в котором x получается логарифм вместо степени :

$\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a,$

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C,\qquad x>0$

(где «ln» означает натуральный логарифм , т.е. логарифм по основанию e = 2,71828...).

Несобственный интеграл часто расширяется до отрицательных значений x посредством обычного выбора:

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C,\qquad x\neq 0.$

Обратите внимание на использование абсолютного значения в неопределенном интеграле; это необходимо для обеспечения унифицированной формы интеграла и означает, что интеграл этой нечетной функции является четной функцией, хотя логарифм определяется только для положительных входных данных, и фактически разные постоянные значения C. с обеих сторон могут быть выбраны 0, поскольку они не меняют производную. Более общая форма такова:

$\int {\frac {1}{x}}\,dx={\begin{cases}\ln |x|+C^{-}&x<0\\\ln |x|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

Для комплексных чисел не существует глобальной первообразной для 1/ x , поскольку эта функция определяет нетривиальное накрывающее пространство ; эта форма предназначена для действительных чисел.

Обратите внимание, что определенный интеграл, начиная с 1, не определен для отрицательных значений a, поскольку он проходит через особенность, хотя, поскольку 1/ x является нечетной функцией , можно положить определенный интеграл для отрицательных степеней в -1. Если кто-то желает использовать несобственные интегралы и вычислить главное значение Коши , можно получить $\int _{-c}^{c}{\frac {1}{x}}\,dx=0,$ что также можно доказать симметрией (поскольку логарифм нечетный), поэтому $\int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=0,$ поэтому не имеет значения, основан ли определенный интеграл на 1 или -1. Как и неопределенный интеграл, он присущ только действительным числам и не распространяется на комплексные числа.

Альтернативные формы

Интеграл можно записать и со сдвинутыми индексами, что упрощает результат и делает более понятной связь с n -мерным дифференцированием и n -кубом:

$\int _{0}^{a}x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}\qquad n\geq 1.$

$\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}+C\qquad n\neq 0.$

В более общем смысле эти формулы можно записать так:

$\int (ax+b)^{n}dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {1}{ax+b}}dx={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

В более общем плане:

$\int {\frac {1}{ax+b}}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{-}&x<-b/a\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{+}&x>-b/a\end{cases}}$

Доказательство

Современное доказательство состоит в использовании первообразной: производной x ^н показано как nx ^{п -1} – для неотрицательных целых чисел. Это видно из биномиальной формулы и определения производной – и, таким образом, согласно теореме исчисления первообразная фундаментальной является интегралом. Этот метод не работает для $\int {\frac {1}{x}}\,dx,$ поскольку кандидат первообразная- ${\frac {1}{0}}\cdot x^{0}$, который не определен из-за деления на ноль. Функция логарифма , которая является фактической первообразной 1/ x , должна быть введена и исследована отдельно.

Производная $(x^{n})'=nx^{n-1}$ может быть геометризировано как бесконечно малое изменение объема n -куба, который представляет собой площадь n граней, каждая из которых имеет размерность n - 1.
Интеграция этой картины – сложение граней – геометризирует фундаментальную теорему исчисления, приводя к разложению n -куба на n пирамид, что является геометрическим доказательством квадратурной формулы Кавальери.

Для натуральных чисел это доказательство можно геометризировать: если учесть величину x ^н как объём n -куба ( гиперкуба в n измерениях), то производная — это изменение объёма при изменении длины стороны — это x ^{п -1} , которую можно интерпретировать как площадь n граней, каждая из которых имеет размерность n - 1 (фиксируя одну вершину в начале координат, это n граней, не касающихся вершины), соответствующих кубу, увеличивающемуся в размерах за счет роста в направлении эти грани - в трехмерном случае добавление 3 бесконечно тонких квадратов, по одному к каждой из этих граней. И наоборот, геометризация фундаментальной теоремы исчисления, складывание этих бесконечно малых ( n - 1) кубов дает (гипер)-пирамиду, а n из этих пирамид образуют n -куб, что дает формулу. Кроме того, существует n -кратная циклическая симметрия n -куба вокруг диагонального цикла этих пирамид (для которых пирамида является фундаментальной областью ). В случае куба (3-куба) объем пирамиды изначально был строго установлен именно так: куб обладает 3-кратной симметрией, с фундаментальной областью а-пирамиды, разделяющей куб на 3 пирамиды, что соответствует факту что объем пирамиды равен одной трети произведения основания на высоту. Это геометрически иллюстрирует эквивалентность квадратуры параболы и объема пирамиды, которые классически вычислялись разными способами.

Существуют альтернативные доказательства - например, Ферма вычислил площадь с помощью алгебраического трюка, разделив область на определенные интервалы неравной длины; альтернативно это можно доказать, признав симметрию графа y = x ^н при неоднородном расширении (на d в ​​направлении x и на d ^н в направлении y , алгебраизируя n измерений направления y ), или вывести формулу для всех целых значений путем расширения результата для n = -1 и сравнения коэффициентов.

История

Архимед вычислил площади параболических сегментов в своей «Квадратуре параболы» .

Подробное обсуждение истории с оригинальными источниками дано в ( Laubenbacher & Pengelley 1998 , Глава 3, Анализ: Вычисление площадей и объемов); см. также историю исчисления и историю интеграции .

Случай параболы был доказан в древности древнегреческим математиком Архимедом в его «Квадратуре параболы» (3 век до н.э.) методом истощения . Примечательно, что Архимед вычислил площадь внутри параболы – так называемый «параболический сегмент» – а не площадь под графиком y = x. ² , что вместо этого является перспективой декартовой геометрии . Это эквивалентные вычисления, но они отражают разницу в перспективе. Древние греки, среди прочих, также вычисляли объем пирамиды или конуса , что математически эквивалентно.

В 11 веке исламский математик Ибн аль-Хайсам (известный в Европе как Альхазен ) вычислил интегралы кубик и квартик (третьей и четвертой степени) посредством математической индукции в своей «Книге оптики» .

Случай более высоких целых чисел был вычислен Кавальери для n до 9, используя его метод неделимых ( принцип Кавальери ). Он интерпретировал их как более высокие интегралы при вычислении объемов более высокой размерности, хотя и неформально, поскольку объекты более высокой размерности были еще незнакомы. Затем этот метод квадратуры был распространен итальянским математиком Евангелистой Торричелли на другие кривые, такие как циклоида , затем формула была обобщена на дробные и отрицательные степени английским математиком Джоном Уоллисом в его Arithmetica Infinitorum (1656), который также стандартизировал понятие и обозначение рациональных степеней - хотя Уоллис неправильно интерпретировал исключительный случай n = -1 (квадратура гиперболы) - прежде чем, наконец, было введено строгая основа с развитием интегрального исчисления .

До формализации Уоллисом дробных и отрицательных степеней, которая позволяла использовать явные функции $y=x^{p/q},$ эти кривые обрабатывались неявно, с помощью уравнений $x^{p}=ky^{q}$ и $x^{p}y^{q}=k$ ( p и q всегда положительные целые числа) и называются соответственно высшими параболами и высшими гиперболами (или «высшими параболами» и «высшими гиперболами»). Пьер де Ферма также вычислил эти площади (за исключением исключительного случая −1) с помощью алгебраического трюка: он вычислил квадратуру высших гипербол, разделив линию на равные интервалы, а затем вычислил квадратуру высших парабол, используя деление на неравные интервалы, предположительно путем инвертирования делений, которые он использовал для гипербол. Однако, как и в остальной части его работ, методы Ферма были скорее специальными приемами, чем систематическими методами лечения, и считается, что он не сыграл значительной роли в последующем развитии исчисления.

Примечательно, что Кавальери сравнивал только площади с площадями и объемы с объемами – они всегда имели измерения, в то время как идея рассматривать площадь как состоящую из единиц площади (относительно стандартной единицы), а, следовательно, как безразмерную, по-видимому, возникла у Уоллис; Уоллис изучал дробные и отрицательные степени, и альтернативой рассмотрению вычисленных значений как безразмерных чисел была интерпретация дробных и отрицательных размерностей.

Исключительный случай -1 (стандартная гипербола) был впервые успешно рассмотрен Грегуаром де Сен-Венсаном в его Opus геометрическом квадратуре circuli etsectionum coni (1647), хотя формальное лечение пришлось ждать до разработки натурального логарифма , который было осуществлено Николаем Меркатором в его «Логарифмотехнии» (1668).

Ссылки

История

• Кавальери (1635 г.). неделимых непрерывных Геометрия, раскрытая по-новому с помощью .
• Кавальери (1647 г.). геометрических Шесть упражнений .
  • в Струик, Дирк Ян , изд. (1986). Справочник по математике, 1200–1800 гг . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08404-1 , ISBN  0-691-02397-2 (pbk).
• Лаубенбахер, Рейнхард; Пенгелли, Дэвид (1998). «Раздел 3.4: «Кавальери вычисляет площади высших парабол» ». Математические экспедиции: хроники первооткрывателей . стр. 123–127/128.
• Уолтер Уильям Роуз Болл. «Кавальери». Краткий обзор истории математики . стр. 278–281.
• Британское руководство по анализу и исчислению . Образовательная Британника Образовательная. п. 171 - в первую очередь обсуждается Уоллес.

Доказательства

• Вильдбергер, Нью-Джерси (2002). «Новое доказательство квадратурной формулы Кавальери». Американский математический ежемесячник . 109 (9): 843–845. дои : 10.2307/3072373 . JSTOR   3072373 .
• Брэдли, Дэвид М. (май 2003 г.). «Замечание о квадратурной формуле Кавальери». Американский математический ежемесячник . 110 (5): 437. arXiv : math/0505059 . Бибкод : 2005math......5059B . Появляется в печати в конце:
  • Сондоу, Джонатан (май 2003 г.). «Нули знакопеременной дзета-функции на прямой R(S) = 1». Американский математический ежемесячник . 110 (5): 435–437. JSTOR   3647831 .
• Барт, Северная Каролина (2004). «Вычисление квадратурной формулы Кавальери по симметрии n-куба». Американский математический ежемесячник . 111 (9): 811–813. дои : 10.2307/4145193 . JSTOR   4145193 .
• Картер, Дж. Скотт; Чампанеркар, Абхиджит (2006). «Геометрический метод вычисления некоторых элементарных интегралов». arXiv : math/0608722 .
• Малик, Массачусетс (1984) «Заметка об интеграции Кавальери», Mathematics Magazine 57 (3): 154–6 дои : 10.2307/2689662
• В. Фредерик Рики (2011) «Интеграция полномочий Ферма », в «Исторических заметках для учителей математического анализа».

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратурная формула Кавальери» . Математический мир .
• Кавальери Интеграция
• Исчисление бесконечно малых , Энциклопедия математики