Натуральный логарифм
Натуральный логарифм | |
---|---|
Общая информация | |
Общее определение | |
Мотивация изобретения | Аналитические доказательства |
Области применения | Чистая и прикладная математика |
Домен, кодомен и изображение | |
Домен | |
Кодомен | |
Изображение | |
Конкретные значения | |
Значение при +∞ | +∞ |
Значение в e | 1 |
Особенности | |
Асимптота | |
Корень | 1 |
Обратный | |
Производная | |
Первообразная |
Часть серии статей о |
математическая константа е |
---|
Характеристики |
Приложения |
Определение е |
Люди |
похожие темы |
Натуральный логарифм числа — это его логарифм по основанию математической константы e , которая является иррациональным и трансцендентным числом, примерно равным 2,718 281 828 459 . [1] Натуральный логарифм x обычно записывается как ln x , log e x или иногда, если основание e неявно, просто log x . [2] [3] круглые скобки Иногда для ясности добавляются , определяющие ln( x ) , log e ( x ) или log( x ) . Это делается, в частности, когда аргумент логарифма не является одним символом, чтобы предотвратить двусмысленность.
Натуральный логарифм x — это степень , в которую e нужно возвести , чтобы оно стало равным x . Например, ln 7.5 равно 2,0149... , потому что e 2.0149... = 7,5 . Натуральный логарифм самого e , ln e , равен 1 , потому что e 1 = e , а натуральный логарифм 1 равен 0 , поскольку e 0 = 1 .
Натуральный логарифм можно определить для любого положительного действительного числа a как площадь под кривой y = 1/ x от 1 до a. [4] (при этом площадь отрицательна, когда 0 < a <1 ). Простота этого определения, которое встречается во многих других формулах, включающих натуральный логарифм, приводит к появлению термина «натуральный». Затем определение натурального логарифма можно расширить, чтобы дать значения логарифма для отрицательных чисел и для всех ненулевых комплексных чисел , хотя это приводит к многозначной функции : см. Комплексный логарифм подробнее .
Функция натурального логарифма, если ее рассматривать как вещественную функцию положительной действительной переменной, является обратной функцией , показательной функции что приводит к тождествам:
Как и все логарифмы, натуральный логарифм отображает умножение положительных чисел в сложение: [5]
Логарифмы могут быть определены для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e . Однако логарифмы в других системах счисления отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и могут быть определены через последний: .
Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестное выступает как показатель степени какой-либо другой величины. Например, логарифмы используются для определения периода полураспада , константы распада или неизвестного времени в экспоненциального распада задачах . Они важны во многих разделах математики и научных дисциплинах и используются для решения задач, связанных со сложными процентами .
История [ править ]
Понятие натурального логарифма было разработано Грегуаром де Сен-Винсентом и Альфонсом Антонио де Сараса до 1649 года. [6] Их работа включала квадратуру гиперболы путем с уравнением xy = 1 определения площади гиперболических секторов . Их решение породило необходимую « гиперболического логарифма » функцию , которая имела свойства, теперь связанные с натуральным логарифмом.
Первое упоминание о натуральном логарифме было сделано Николаем Меркатором в его работе «Логарифмотехния» , опубликованной в 1668 году. [7] хотя учитель математики Джон Спейделл уже составил таблицу натуральных логарифмов в 1619 году. [8] Было сказано, что логарифмы Спейделла были по основанию e , но это не совсем так из-за сложностей с выражением значений в виде целых чисел . [8] : 152
Условные обозначения [ править ]
Обозначения ln x и log e x однозначно относятся к натуральному логарифму x , а log x без явного основания может также относиться к натуральному логарифму. Такое использование распространено в математике, а также в некоторых научных контекстах, а также во многих языках программирования . [номер 1] Однако в некоторых других контекстах, таких как химия , log x может использоваться для обозначения обыкновенного логарифма (по основанию 10) . Это может также относиться к двоичному логарифму (по основанию 2) в контексте информатики , особенно в контексте временной сложности .
Определения [ править ]
Натуральный логарифм можно определить несколькими эквивалентными способами.
Обратная экспонента [ править ]
Наиболее общее определение — это обратная функция , так что . Потому что положителен и обратим для любого реального входного сигнала , это определение корректно определен для любого положительного x . Для чисел комплексных не является обратимым, поэтому является многозначной функцией . Для того, чтобы Это правильная функция с одним выходом , поэтому нам необходимо ограничить ее определенной основной ветвью , часто обозначаемой . Как обратная функция , можно определить, обратив обычное определение :
Интегральное определение [ править ]
Натуральный логарифм положительного действительного числа a можно определить как площадь под графиком гиперболы с уравнением y = 1/ x между x = 1 и x = a . Это интеграл [4]
Эта функция является логарифмом, поскольку она удовлетворяет фундаментальному мультипликативному свойству логарифма: [5]
Это можно продемонстрировать, разделив интеграл, определяющий ln ab , на две части, а затем сделав замену переменной x = at (т. е. dx = a dt ) во второй части следующим образом:
Проще говоря, это просто масштабирование на 1/ a в горизонтальном направлении и на a в вертикальном направлении. Площадь не меняется при этом преобразовании, но область между a и ab переконфигурируется. Поскольку функция a /( ax ) равна функции 1/ x , результирующая площадь равна точно ln b .
Тогда число e можно определить как уникальное действительное число a такое, что ln a = 1 .
Натуральный логарифм также имеет неправильное целочисленное представление: [9] который можно получить с помощью теоремы Фубини следующим образом:
Свойства [ править ]
Натуральный логарифм обладает следующими математическими свойствами:
Доказательство
|
---|
Производная [ править ]
Производная на положительных действительных натурального логарифма как вещественная функция числах определяется выражением [4]
Как установить эту производную натурального логарифма, зависит от того, как она определена из первых рук. Если натуральный логарифм определяется как интеграл
С другой стороны, если натуральный логарифм определяется как обратная (натуральная) показательная функция, то производную (при x > 0 ) можно найти, используя свойства логарифма и определение показательной функции.
Из определения числа показательную функцию можно определить как
Затем производную можно найти из первых принципов.
Также у нас есть:
поэтому, в отличие от своей обратной функции , константа в функции не меняет дифференциал.
Серия [ править ]
Поскольку натуральный логарифм не определен в точке 0, сама по себе не имеет ряда Маклорена , в отличие от многих других элементарных функций. Вместо этого ищут разложения Тейлора вокруг других точек. Например, если затем [10]
Это серия Тейлора для около 1. Замена переменных дает ряд Меркатора :
Леонард Эйлер , [11] не обращая внимания , тем не менее применил эту серию к показать, что гармонический ряд равен натуральному логарифму ; то есть логарифм бесконечности. В настоящее время, более формально, можно доказать, что гармонический ряд, усеченный при N , близок к логарифму N , когда N велико, с разницей, сходящейся к константе Эйлера-Машерони .
Рисунок представляет собой график функции ln(1 + x ) и некоторых ее полиномов Тейлора около 0. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < x ≤ 1 ; за пределами этой области полиномы Тейлора более высокой степени переходят к худшим приближениям функции.
Полезный специальный случай для положительных целых чисел n , принимая , является:
Если затем
Теперь, взяв для положительных целых чисел n мы получаем:
Если затем
Это, безусловно, самая быстрая сходимость из описанного здесь ряда.
Натуральный логарифм также можно выразить как бесконечное произведение: [12]
Два примера могут быть:
Из этого тождества мы можем легко получить следующее:
Например:
Натуральный логарифм при интегрировании [ править ]
Натуральный логарифм позволяет просто интегрировать функции вида : первообразная g ) ( x выражением определяется . Это происходит из-за правила цепочки и следующего факта:
Другими словами, при интегрировании на интервале действительной линии, не включающем , затем
Аналогично, когда интеграл находится на интервале, где ,
Например, рассмотрим интеграл от на интервале, не включающем точки, где бесконечно:
Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям :
Позволять:
Эффективные вычисления [ править ]
Для где x > 1 , чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости его ряда Тейлора с центром в 1. Для использования этого можно использовать тождества, связанные с логарифмом:
Такие методы использовались до появления калькуляторов: обращение к числовым таблицам и выполнение манипуляций, подобных описанным выше.
Натуральный логарифм 10 [ править ]
Натуральный логарифм числа 10, примерно равный 2,302 585 09 , [14] играет роль, например, в вычислении натуральных логарифмов чисел, представленных в научной записи , как мантисса, умноженная на степень 10:
Это означает, что можно эффективно вычислять логарифмы чисел с очень большой или очень маленькой величиной, используя логарифмы относительно небольшого набора десятичных знаков в диапазоне [1, 10) .
Высокая точность [ править ]
Для вычисления натурального логарифма со многими цифрами точности подход с использованием рядов Тейлора неэффективен, поскольку сходимость происходит медленно. Особенно если x близко к 1, хорошей альтернативой является использование метода Галлея или метода Ньютона для обращения показательной функции, поскольку ряд показательной функции сходится быстрее. Чтобы найти значение y , чтобы дать используя метод Галлея или, что то же самое, дать используя метод Ньютона, итерация упрощается до
Другой альтернативой для расчета с чрезвычайно высокой точностью является формула [15] [16]
где
На основе предложения Уильяма Кахана и впервые реализованного в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C в 1979 году (на дисплее упоминается только как «LN1»), некоторые калькуляторы, операционные системы (например, Berkeley UNIX 4.3BSD) [18] ), системы компьютерной алгебры и языки программирования (например, C99 [19] ) предоставляют специальный натуральный логарифм плюс 1 функцию, альтернативно называемую LNP1 , [20] [21] или log1p [19] чтобы дать более точные результаты для логарифмов, близких к нулю, передавая аргументы x , также близкие к нулю, в функцию log1p( x ) , которая возвращает значение ln(1+ x ) вместо передачи значения y , близкого к 1, в функция, возвращающая ln( y ) . [19] [20] [21] Функция log1p позволяет избежать в арифметике с плавающей запятой почти полного сокращения абсолютного члена 1 вторым членом из разложения Тейлора натурального логарифма. Это сохраняет аргумент, результат и промежуточные шаги близкими к нулю, где их можно наиболее точно представить в виде чисел с плавающей запятой. [20] [21]
В дополнение к основанию e стандарт IEEE 754-2008 определяет аналогичные логарифмические функции рядом с 1 для двоичных и десятичных логарифмов : log 2 (1 + x ) и log 10 (1 + x ) .
Подобные обратные функции с именем « expm1 », [19] "экспм" [20] [21] или «exp1m» также существуют, все имеют значение expm1( x ) = exp( x ) − 1 . [номер 2]
Тождество в терминах обратного гиперболического тангенса ,
Вычислительная сложность [ править ]
Вычислительная сложность вычисления натурального логарифма с использованием среднего арифметико-геометрического (для обоих указанных методов) составляет . Здесь n — количество цифр точности, с которой должен быть вычислен натуральный логарифм, а M ( n ) — вычислительная сложность умножения двух n -значных чисел.
Цепные дроби [ править ]
Хотя простых цепных дробей не существует, несколько обобщенных цепных дробей существует , в том числе:
Эти непрерывные дроби, особенно последняя, быстро сходятся для значений, близких к 1. Однако натуральные логарифмы гораздо больших чисел можно легко вычислить, многократно добавляя логарифмы меньших чисел, с такой же быстрой сходимостью.
Например, поскольку 2 = 1,25 3 × 1,024, натуральный логарифм 2 можно вычислить как:
Кроме того, поскольку 10 = 1,25 10 × 1.024 3 , даже натуральный логарифм 10 можно вычислить аналогично:
Например:
Комплексные логарифмы [ править ]
Показательную функцию можно расширить до функции, которая дает комплексное число как e С для любого произвольного комплексного числа z ; просто используйте бесконечный ряд с комплексом x =z. Эту показательную функцию можно инвертировать, чтобы сформировать комплексный логарифм, который проявляет большинство свойств обыкновенного логарифма. Здесь возникают две трудности: ни один x не имеет e. Икс = 0 ; и оказывается, что е 2 и.п. = 1 = и 0 . Поскольку мультипликативное свойство все еще работает для комплексной показательной функции, e С = и с +2 киπ , для всех комплексных z и целых чисел k .
Таким образом, логарифм не может быть определен для всей комплексной плоскости , и даже тогда он многозначен — любой комплексный логарифм можно превратить в «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2 iπ, по желанию. Комплексный логарифм может быть только однозначным на плоскости сечения . Например, ln i = iπ / 2 или 5 iπ / 2 или - 3 iπ / 2 и т. д.; и хотя я 4 = 1, 4 ln i можно определить как 2 iπ , 10 iπ или −6 iπ и так далее.
-
z = Re(ln( x + yi ))
-
г = | (Im(ln( x + yi ))) |
-
z знак равно | (пер ( х + уи )) |
-
Суперпозиция предыдущих трех графиков
См. также [ править ]
- Аппроксимация натуральных показателей (логарифмическая база e)
- Повторный логарифм
- Напиров логарифм
- Список логарифмических тождеств
- Логарифм матрицы
- Логарифмические координаты элемента группы Ли.
- Логарифмическое дифференцирование
- Логарифмическая интегральная функция
- Николас Меркатор - первый, кто использовал термин натуральный логарифм.
- Полилогарифм
- Функция фон Мангольдта
Примечания [ править ]
- ^ Включая C , C++ , SAS , MATLAB , Mathematica , Fortran и некоторые BASIC . диалекты
- ^ Для аналогичного подхода к уменьшению ошибок округления вычислений для определенных входных значений см. тригонометрические функции, такие как versine , vercosine , Coverine , Covercosine , Haversine , Havercosine , Hacoversine , Hacovercosine , Exsecant и excosecant .
Ссылки [ править ]
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001113 (десятичное расширение e)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Г.Х. Харди и Э.М. Райт, Введение в теорию чисел, 4-е изд., Оксфорд, 1975, сноска к параграфу 1.7: « log x - это, конечно, «наперовский» логарифм x по основанию e. «Общий» логарифмы не имеют математического интереса ».
- ^ Мортимер, Роберт Г. (2005). Математика для физической химии (3-е изд.). Академическая пресса . п. 9. ISBN 0-12-508347-5 . Выдержка со страницы 9
- ^ Перейти обратно: а б с Вайсштейн, Эрик В. «Натуральный логарифм» . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 августа 2020 г.
- ^ Перейти обратно: а б «Правила, примеры и формулы» . Логарифм. Британская энциклопедия . Проверено 29 августа 2020 г.
- ^ Берн, Р.П. (2001). Альфонс Антонио де Сараса и логарифмы история Математическая стр. 100-1 28:1–17.
- ^ О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (сентябрь 2001 г.). «Число е» . Архив MacTutor «История математики» . Проверено 2 февраля 2009 г.
- ^ Перейти обратно: а б Каджори, Флориан (1991). История математики (5-е изд.). Книжный магазин АМС. п. 152. ИСБН 0-8218-2102-4 .
- ^ Неправильное интегральное представление натурального логарифма. , получено 24 сентября 2022 г.
- ^ « Логарифмические разложения» на Math2.org» .
- ^ Леонард Эйлер , Введение в анализ бесконечностей. Томус Примус Буске, Лозанна, 1748 г. Пример 1, с. 228; также в: Opera Omnia, Первая серия, Opera Mathematica, Volume Octavum, Тойбнер, 1922 г.
- ^ РУФФА, Энтони. «ПРОЦЕДУРА ГЕНЕРАЦИИ ИДЕНТИЧНОСТИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ» (PDF) . Международный журнал математики и математических наук . Международный журнал математики и математических наук . Проверено 27 февраля 2022 г. (Страница 3654, уравнение 2.6)
- ^ Подробное доказательство см., например: Джордж Б. Томас-младший и Росс Л. Финни, Исчисление и аналитическая геометрия , 5-е издание, Аддисон-Уэсли, 1979, раздел 6-5, страницы 305-306.
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002392 (Десятичное разложение натурального логарифма 10)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Сасаки, Т.; Канада, Ю. (1982). «Практически быстрая оценка log(x) с множественной точностью» . Журнал обработки информации . 5 (4): 247–250 . Проверено 30 марта 2011 г.
- ^ Арендт, Тимм (1999). «Быстрые вычисления показательной функции». Стакс 99 . Конспекты лекций по информатике. 1564 : 302–312. дои : 10.1007/3-540-49116-3_28 . ISBN 978-3-540-65691-3 .
- ^ Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений (первое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-83138-7 . стр. 225
- ^ Биб, Нельсон ХФ (22 августа 2017 г.). «Глава 10.4. Логарифм около единицы». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . стр. 290–292. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6 . LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 .
В 1987 году в Berkeley UNIX 4.3BSD появилась функция log1p().
- ^ Перейти обратно: а б с д Биби, Нельсон ХФ (9 июля 2002 г.). «Вычисление expm1 = exp(x)−1» (PDF) . 1.00. Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Департамент математики, Центр научных вычислений, Университет Юты . Проверено 2 ноября 2015 г.
- ^ Перейти обратно: а б с д Серия HP 48G – Справочное руководство для опытных пользователей (AUR) (4-е изд.). Hewlett Packard . Декабрь 1994 г. [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 . Проверено 6 сентября 2015 г.
- ^ Перейти обратно: а б с д Расширенное справочное руководство пользователя графического калькулятора HP 50g / 49g+ / 48gII (AUR) (2-е изд.). Hewlett Packard . 14 июля 2009 г. [2005]. HP F2228-90010 . Проверено 10 октября 2015 г. PDF с возможностью поиска