Список представлений e

Математическая константа e может быть представлена ​​различными способами в виде действительного числа . Поскольку е — иррациональное число (см. доказательство того, что е иррационально ), его нельзя представить как частное двух целых чисел , но можно представить как непрерывную дробь . Используя исчисление , e можно также представить как бесконечную серию , бесконечное произведение или другие типы пределов последовательности .

Как непрерывная дробь

Эйлер доказал, что число e представляется в виде бесконечной простой цепной дроби. (последовательность A003417 в OEIS ):

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].$

Сходимость можно утроить разрешив только одно дробное число:

$e=[1;1/2,12,5,28,9,44,13,60,17,\ldots ,4(4n-1),4n+1,\ldots ].$

Вот некоторые бесконечные обобщенные разложения e в цепную дробь . Второй генерируется из первого посредством простого преобразования эквивалентности .

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+\ddots }}}}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}$

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}$

Это последнее эквивалентно [1; 0,5, 12, 5, 28, 9, ...], является частным случаем общей формулы показательной функции :

$e^{x/y}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}$

Как бесконечный ряд

Число е можно выразить как сумму следующего бесконечного ряда :

$e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$ для любого действительного числа x .

В частном случае , когда x = 1 или −1, мы имеем:

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$, и

$e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$

Другие серии включают в себя следующее:

$e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}$

$e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}$

$e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}$

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}$

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k+1)^{2}+1}{(3k+1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k+2)^{2}+1}{(3k+2)!}}$

$e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}$

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}$ где $B_{n}$ — это n- е число Белла .

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2k+3}{(k+2)!}}$

Рассмотрение того, как поставить верхние границы e, приводит к этому нисходящему ряду:

$e=3-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k!(k-1)k}}=3-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{36}}-{\frac {1}{288}}-{\frac {1}{2400}}-{\frac {1}{21600}}-{\frac {1}{211680}}-{\frac {1}{2257920}}-\cdots$

что дает хотя бы одну правильную (или округленную) цифру за термин. То есть, если 1 ≤ n , то

$e<3-\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k!(k-1)k}}<e+0.6\cdot 10^{1-n}\,.$

В более общем смысле, если x не находится в {2, 3, 4, 5, ...}, то

$e^{x}={\frac {2+x}{2-x}}+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {-x^{k+1}}{k!(k-x)(k+1-x)}}\,.$

Как рекурсивная функция

Серийное представление ​ $e$, заданный как

$$e={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}\cdots$$

также может быть выражено с использованием формы рекурсии. Когда ${\frac {1}{n}}$ итеративно вычитается из исходного ряда, результатом является вложенный ряд

$$e=1+{\frac {1}{1}}(1+{\frac {1}{2}}(1+{\frac {1}{3}}(1+\cdots )))$$

что соответствует

$$e=1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{3}}}{2}}}{1}}$$

Эта дробь имеет вид $f(n)=1+{\frac {f(n+1)}{n}}$, где $f(1)$ вычисляет сумму членов из $1$ к $\infty$.

Как бесконечный продукт

Число e также задается несколькими формами бесконечного произведения, включая . произведение Пиппенджера

$e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots$

и продукт Гильеры

$e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,$

где n- й множитель — это n- й корень произведения

$\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},$

а также бесконечное произведение

$e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.$

В более общем смысле, если 1 < B < e ² (включая B = 2, 3, 4, 5, 6 или 7), тогда

$e={\frac {B\cdot B^{(\ln(B)-1)^{2}}\cdots }{B^{\ln(B)-1}\cdot B^{(\ln(B)-1)^{3}}\cdots }}.$

Также

$e=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2/{((n+\alpha )(n+\beta ))}}\ \forall \alpha ,\beta \in {\mathbb {R}}$

Как предел последовательности

Число e равно пределу нескольких бесконечных последовательностей :

$e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}$ и

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}$ (оба по формуле Стирлинга ).

Симметричный предел,

$e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]$

может быть получено путем манипуляции определением основного предела e .

Следующие два определения являются прямыми следствиями теоремы о простых числах.

$e=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}$

где $p_{n}$ является n-м простым числом и $p_{n}\#$ является первоначальным числом го n- простого числа.

$e=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}$

где $\pi (n)$ — функция подсчета простых чисел .

Также:

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

В частном случае, когда $x=1$, результатом является знаменитое утверждение:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

Отношение факториала $n!$, который подсчитывает все перестановки упорядоченного множества S мощности $n$и субфакториал (он же функция расстройства ) $!n$, который подсчитывает количество перестановок, при которых ни один элемент не появляется в исходном положении, имеет тенденцию $e$ как $n$ растет.

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}}.$

Как соотношение отношений

Уникальное представление e можно найти в структуре треугольника Паскаля , открытой братьями Харлан . Треугольник Паскаля состоит из биномиальных коэффициентов , которые традиционно суммируются для получения полиномиальных разложений. Однако Brothers выявила взаимосвязь между этими коэффициентами, основанную на продукте, которая связана с e . В частности, отношение произведений биномиальных коэффициентов в соседних строках треугольника Паскаля стремится к e по мере увеличения номера строки. Это соотношение и его доказательство изложены в обсуждении свойств строк Треугольника Паскаля .

В тригонометрии

Тригонометрически e можно записать как сумму двух гиперболических функций :

$e^{x}=\sinh(x)+\cosh(x),$

в х = 1 .

См. также

• Список формул, включающих π