Номер звонка

Не путать с числом Пелла .

В комбинаторной математике числа Белла подсчитывают возможные разделы множества . Эти числа изучаются математиками с XIX века, а их корни уходят в средневековую Японию. В качестве примера закона эпонимии Стиглера они названы в честь Эрика Темпла Белла , который писал о них в 1930-х годах.

Числа Белла обозначаются $B_{n}$, где $n$ целое число, большее или равное нулю . Начиная с $B_{0}=B_{1}=1$, первые несколько чисел Белла

$1,1,2,5,15,52,203,877,4140,\dots$ (последовательность A000110 в OEIS ).

Номер Белла $B_{n}$ подсчитывает различные способы разбиения множества, имеющего ровно $n$ элементы или, что то же самое, отношения эквивалентности на нем. $B_{n}$ также подсчитывает различные схемы рифм для $n$-строчные стихи.

Эти числа не только появляются в задачах подсчета, но и имеют другую интерпретацию как моменты вероятностных распределений . В частности, $B_{n}$ это $n$-й момент распределения Пуассона со средним значением 1.

Подсчет

Установить разделы

Основная статья: Раздел набора

Разделы наборов можно расположить в частичном порядке, показывая, что каждый раздел набора размера n «использует» один из разделов набора размера n - 1.

52 раздела набора из 5 элементов.

В общем, $B_{n}$ количество разделов набора размером $n$. Раздел набора $S$ определяется как семейство непустых попарно непересекающихся подмножеств $S$ чей союз $S$. Например, $B_{3}=5$ потому что набор из трех элементов $\{a,b,c\}$ можно разделить на 5 различных способов:

$\{\{a\},\{b\},\{c\}\},$

$\{\{a\},\{b,c\}\},$

$\{\{b\},\{a,c\}\},$

$\{\{c\},\{a,b\}\},$

$\{\{a,b,c\}\}.$

Как следует из приведенного выше обозначения множества, порядок подмножеств внутри семейства не учитывается; упорядоченные разделы подсчитываются по другой последовательности чисел — упорядоченным числам Белла . $B_{0}$ равно 1, поскольку существует ровно один раздел пустого множества . Этот раздел сам по себе является пустым набором; его можно интерпретировать как семейство подмножеств пустого множества, состоящее из нулевых подмножеств. Совершенно неверно , что все подмножества в этом семействе являются непустыми подмножествами пустого множества и что они являются попарно непересекающимися подмножествами пустого множества, потому что не существует подмножеств, обладающих этими маловероятными свойствами.

Разбиения множества взаимно однозначно соответствуют его отношениям эквивалентности . Это бинарные отношения , которые являются рефлексивными , симметричными и транзитивными . Отношение эквивалентности, соответствующее разделу, определяет два элемента как эквивалентные, если они принадлежат к одному и тому же подмножеству раздела, что и друг друга. И наоборот, каждое отношение эквивалентности соответствует разбиению на классы эквивалентности . Следовательно, числа Белла также учитывают отношения эквивалентности.

Факторизации

Если число $N$ — без квадратов положительное целое число , что означает, что оно является произведением некоторого числа $n$ различных простых чисел , то $B_{n}$ дает количество различных мультипликативных разбиений $N$. Это факторизации ​ $N$ на числа больше единицы, рассматривая две факторизации как одинаковые, если они имеют одни и те же факторы в разном порядке. Например, 30 является произведением трёх простых чисел 2, 3 и 5 и имеет $B_{3}$ = 5 факторизаций:

$30=2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5$

Схемы рифм

Числа Белла также учитывают схемы рифм стихотворения n - строчного или строфы . Схема рифм описывает, какие строки рифмуются друг с другом, и поэтому ее можно интерпретировать как разделение набора строк на рифмующиеся подмножества. Схемы рифм обычно записываются как последовательность латинских букв, по одной в строке, причем строки рифмования имеют одинаковые буквы, а первые строки в каждом наборе рифм помечены в алфавитном порядке. Таким образом, 15 возможных схем четырехстрочных рифм — это AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC и ABCD.

Перестановки

Числа Белла возникают в задаче о перетасовке карт , упомянутой в приложении к Гарднеру (1978) . Если колоду из n карт перетасовать путем многократного удаления верхней карты и повторной вставки ее в любое место колоды (в том числе в исходное положение наверху колоды), ровно n повторений этой операции, то существует n ^н различные перетасовки, которые можно выполнить. Из них число, которое возвращает колоду в исходный отсортированный порядок, равно B _n . Таким образом, вероятность того, что колода после такого перетасовывания окажется в исходном порядке, равна B _n / n. ^н , что значительно больше, чем 1/ n ! вероятность, которая описывала бы равномерно случайную перестановку колоды.

С перетасовкой карт связано несколько других проблем подсчета особых видов перестановок , на которые также можно ответить с помощью чисел Белла. Например, n- е число Белла равно количеству перестановок n элементов, в которых никакие три значения, отсортированные в порядке, не имеют последних двух из этих трех последовательных значений. В обозначениях обобщенных шаблонов перестановок , где значения, которые должны быть последовательными, пишутся рядом друг с другом, а значения, которые могут появляться непоследовательно, разделяются тире, эти перестановки можно описать как перестановки, избегающие шаблона 1–23. Перестановки, избегающие обобщенных шаблонов 12-3, 32-1, 3-21, 1-32, 3-12, 21-3 и 23-1, также учитываются числами Белла. Перестановки, в которых каждый шаблон 321 (без ограничения на последовательные значения) может быть расширен до шаблона 3241, также учитываются числами Белла. Однако числа Белла растут слишком быстро, чтобы подсчитать перестановки, которые избегают закономерности, которая не была обобщена таким образом: согласно (теперь доказанной) гипотезе Стэнли – Уилфа число таких перестановок является одноэкспоненциальным, а числа Белла имеют более высокая асимптотическая скорость роста, чем эта.

Схема треугольника для расчетов

Основная статья: Треугольник Белла

Треугольный массив, правая диагональная последовательность которого состоит из чисел Белла.

Числа Белла можно легко вычислить, создав так называемый треугольник Белла , также называемый массивом Эйткена или треугольником Пирса в честь Александра Эйткена и Чарльза Сандерса Пирса .

1. Начните с номера один. Поместите это отдельно в ряд. ( $x_{0,1}=1$)
2. Начните новую строку с самого правого элемента предыдущей строки как самого левого числа ( $x_{i,1}\leftarrow x_{i-1,r}$ где r — последний элемент ( i -1)-й строки)
3. Определите числа, отсутствующие в левом столбце, взяв сумму числа слева и числа над числом слева, то есть числа по диагонали вверх и слева от числа, которое мы вычисляем. $(x_{i,j}\leftarrow x_{i,j-1}+x_{i-1,j-1})$
4. Повторяйте шаг 3, пока не появится новая строка, в которой на одно число больше, чем в предыдущей строке (выполняйте шаг 3, пока $j=r+1$)
5. Число в левой части данной строки — это номер Белла для этой строки. ( $B_{i}\leftarrow x_{i,1}$)

Вот первые пять рядов треугольника, построенного по этим правилам:

${\begin{array}{l}1\\1&2\\2&3&5\\5&7&10&15\\15&20&27&37&52\end{array}}$

Числа Белла появляются как на левой, так и на правой сторонах треугольника.

Свойства

Формулы суммирования

Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению, включающему биномиальные коэффициенты :

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.$

Это можно объяснить, заметив, что из произвольного раздела из n + 1 элементов удаление набора, содержащего первый элемент, оставляет раздел меньшего набора из k элементов для некоторого числа k , которое может находиться в диапазоне от 0 до n . Есть ${\tbinom {n}{k}}$ выбор k элементов, которые остаются после удаления одного набора, и B _k вариантов их разделения.

Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму чисел Стирлинга второго рода.

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}.$

Число Стирлинга $\left\{{n \atop k}\right\}$ — это количество способов разбить множество мощности n ровно на k непустые подмножества. Таким образом, в уравнении, связывающем числа Белла с числами Стирлинга, каждое разбиение, подсчитанное в левой части уравнения, учитывается ровно в одном из членов суммы в правой части, том, для которого k является числом наборов в разделе.

Спиви (2008) дал формулу, объединяющую оба этих суммирования:

$B_{n+m}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}\left\{{m \atop j}\right\}{n \choose k}j^{n-k}B_{k}.$

Применяя формулу обращения Паскаля к рекуррентному соотношению, получаем

$$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}B_{k+1},$$

которые можно обобщить следующим образом:

$$\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{k+j}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}(-1)^{k-i}B_{n+i+1}.$$

Другие формулы конечных сумм, использующие числа Стирлинга первого рода, включают

$$\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j}B_{j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right](-1)^{k-i}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}(b-ak)^{n-j}B_{j+i},$$

что упрощается с $k=1$ к

$$\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j}B_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}(b-a)^{n-j}B_{j+1}$$

и с $a=1$, $b=k$ к

$$\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}k^{n-j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right]B_{n+i}(-1)^{k-i}$$

которую можно рассматривать как формулу обращения чисел Стирлинга, примененную к формуле Спайви.

Генерирующая функция

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла равна

$B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.$

В этой формуле суммирование в середине — это общая форма, используемая для определения экспоненциальной производящей функции для любой последовательности чисел, а формула справа — это результат суммирования в конкретном случае чисел Белла.

Один из способов получения этого результата использует аналитическую комбинаторику — стиль математических рассуждений, в котором наборы математических объектов описываются формулами, объясняющими их конструкцию из более простых объектов, а затем этими формулами манипулируют для получения комбинаторных свойств объектов. На языке аналитической комбинаторики разбиение множества можно описать как множество непустых урн, в которых элементы, помеченные от 1 до n распределены , а комбинаторный класс всех разбиений (для всех n ) можно выразить обозначением

$\mathrm {S\scriptstyle ET} (\mathrm {S\scriptstyle ET} _{\geq 1}({\mathcal {Z}})).$

Здесь, ${\mathcal {Z}}$ — это комбинаторный класс, содержащий только один элемент размера один, элемент, который можно поместить в урну. Внутренний $\mathrm {S\scriptstyle ET} _{\geq 1}$ Оператор описывает набор или урну, содержащую один или несколько помеченных элементов, а внешний $\mathrm {S\scriptstyle ET}$ описывает общий раздел как набор этих урн. Затем экспоненциальную производящую функцию можно прочитать из этого обозначения, переведя $\mathrm {S\scriptstyle ET}$ оператор в показательную функцию, а ограничение непустоты ≥1 в вычитание на единицу.

Альтернативный метод получения той же производящей функции использует рекуррентное соотношение для чисел Белла в терминах биномиальных коэффициентов, чтобы показать, что экспоненциальная производящая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению $B'(x)=e^{x}B(x)$. Саму функцию можно найти, решив это уравнение.

Моменты

Числа Белла удовлетворяют формуле Добински.

$B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.$

Эту формулу можно вывести путем расширения экспоненциальной производящей функции с использованием ряда Тейлора для экспоненциальной функции, а затем сбора членов с тем же показателем степени. Это позволяет B _n интерпретировать как n- й момент с распределения Пуассона ожидаемым значением 1.

е n- число Белла также является суммой коэффициентов n -го полного полинома Белла , который выражает n -й момент любого распределения вероятностей как функцию первых n кумулянтов .

Модульная арифметика

Числа Белла подчиняются сравнению Тушара : если p — любое простое число , то

$B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}$

или, обобщая

$B_{p^{m}+n}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.$

Из-за сравнения Тушара числа Белла являются периодическими по модулю p для каждого простого числа p ; например, для p = 2 числа Белла повторяют закономерность нечет-нечет-чет с периодом три. Период этого повторения для произвольного простого числа p должен быть делителем

${\frac {p^{p}-1}{p-1}}$

и для всех премьер $p\leq 101$ и $p=113,163,167$, или $173$ это именно этот номер (последовательность A001039 в OEIS ).

Период чисел Белла по модулю n равен

1, 3, 13, 12, 781, 39, 137257, 24, 39, 2343, 28531167061, 156, 25239592216021, 411771, 10153, 48, 51702516367896047761, 39 , 109912203092239643840221, 9372, 1784341, 85593501183, 949112181811268728834319677753, 312, 3905, 75718776648063, 117, 1647084, 91703076898614683377208150526107718802981, 30459, 568972471024107865287021434301977158534824 481, 96, 370905171793, 155107549103688143283, 107197717, 156, ... (последовательность A054767 в OEIS )

Интегральное представление

Применение интегральной формулы Коши к экспоненциальной производящей функции дает комплексное интегральное представление

$B_{n}={\frac {n!}{2\pi ie}}\int _{\gamma }{\frac {e^{e^{z}}}{z^{n+1}}}\,dz.$

Некоторые асимптотические представления затем могут быть получены стандартным применением метода наискорейшего спуска .

Бревно-вогнутость

Числа Белла образуют логарифмически выпуклую последовательность . Разделив их на факториалы B _n / n !, получим логарифмически вогнутую последовательность.

Темпы роста

несколько асимптотических Известно формул для чисел Белла. В Berend & Tassa (2010) были установлены следующие границы:

$B_{n}<\left({\frac {0.792n}{\ln(n+1)}}\right)^{n}$ для всех положительных целых чисел $n$;

более того, если $\varepsilon >0$ тогда для всех $n>n_{0}(\varepsilon )$,

$B_{n}<\left({\frac {e^{-0.6+\varepsilon }n}{\ln(n+1)}}\right)^{n}$

где $~n_{0}(\varepsilon )=\max \left\{e^{4},d^{-1}(\varepsilon )\right\}~$ и $~d(x):=\ln \ln(x+1)-\ln \ln x+{\frac {1+e^{-1}}{\ln x}}\,.$Числа Белла также можно аппроксимировать с помощью функции Ламберта W , функции с той же скоростью роста, что и логарифм, как

$B_{n}\sim {\frac {1}{\sqrt {n}}}\left({\frac {n}{W(n)}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}\exp \left({\frac {n}{W(n)}}-n-1\right).$

Мозер и Вайман (1955) установили расширение

$B_{n+h}={\frac {(n+h)!}{W(n)^{n+h}}}\times {\frac {\exp(e^{W(n)}-1)}{(2\pi B)^{1/2}}}\times \left(1+{\frac {P_{0}+hP_{1}+h^{2}P_{2}}{e^{W(n)}}}+{\frac {Q_{0}+hQ_{1}+h^{2}Q_{2}+h^{3}Q_{3}+h^{4}Q_{4}}{e^{2W(n)}}}+O(e^{-3W(n)})\right)$

равномерно для $h=O(\ln(n))$ как $n\rightarrow \infty$, где $B$ и каждый $P_{i}$ и $Q_{i}$ являются известными выражениями в $W(n)$.

Асимптотическое выражение

${\begin{aligned}{\frac {\ln B_{n}}{n}}&=\ln n-\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n}{\ln n}}+{\frac {1}{\ln n}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln \ln n}{\ln n}}\right)^{2}+O\left({\frac {\ln \ln n}{(\ln n)^{2}}}\right)\\&{}\qquad {\text{as }}n\to \infty \end{aligned}}$

была основана де Брюйном (1981) .

Простые числа Белла

Гарднер (1978) поднял вопрос о том, являются ли бесконечно многие числа Белла простыми числами . Они называются простыми числами Белла . Первые несколько простых чисел Белла:

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837 (последовательность A05 1131 в ОЭИС )

соответствующие индексам 2, 3, 7, 13, 42 и 55 (последовательность A051130 в OEIS ). Следующее простое число Белла — B ₂₈₄₁ , что примерно равно 9,30740105 × 10. ⁶⁵³⁸ .

История

Числа Белла названы в честь Эрика Темпла Белла , который написал о них в 1938 году, в продолжение статьи 1934 года, в которой он изучал полиномы Белла . Белл не утверждал, что открыл эти числа; в своей статье 1938 года он написал, что числа Белла «часто исследовались» и «много раз открывались заново». Белл цитирует несколько более ранних публикаций об этих числах, начиная с Добиньского (1877) , в котором приводится формула Добиньского для чисел Белла. Белл назвал эти числа «экспоненциальными числами»; название «числа Белла» и обозначение B _n для этих чисел были даны им Беккером и Риорданом (1948) .

Первое исчерпывающее перечисление наборов, по-видимому, произошло в средневековой Японии, где (вдохновленная популярностью книги «Сказка о Гэндзи салонная игра под названием «Гэндзи-ко» ») возникла .в котором гостям давали понюхать пять пачек благовоний и просили угадать, какие из них похожи друг на друга, а какие отличаются. 52 возможных решения, подсчитанные по числу колокола B ₅ , были записаны с помощью 52 различных диаграмм, которые были напечатаны над заголовками глав в некоторых изданиях «Повести о Гэндзи».

Во Шриниваса Рамануджан исследовал как полиномы Белла, так и числа Белла. второй тетради Ранние упоминания о треугольнике Белла , на обеих сторонах которого есть числа Белла, включают Пирса (1880) и Эйткена (1933) .

См. также

• Полиномы
• Каталонский номер
• Число Стирлинга
• Числа Стирлинга первого рода

Ссылки

• Асаи, Нобухиро; Кубо, Изуми; Куо, Хуэй-Сюн (2000). «Числа колоколов, логарифмическая вогнутость и логарифмическая выпуклость». Acta Applicandae Mathematicae . 63 (1–3): 79–87. arXiv : math/0104137 . дои : 10.1023/A:1010738827855 . МР   1831247 . S2CID   16533831 .
• Эйткен, AC (1933). «Проблема в комбинациях» . Математические заметки . 28 : 18–23. дои : 10.1017/S1757748900002334 .
• Беккер, Х.В.; Риордан, Джон (1948). «Арифметика чисел Белла и Стирлинга». Американский журнал математики . 70 (2): 385–394. дои : 10.2307/2372336 . JSTOR   2372336 . .
• Белл, ET (1934). «Экспоненциальные полиномы». Анналы математики . 35 (2): 258–277. дои : 10.2307/1968431 . JSTOR   1968431 . .
• Белл, ET (1938). «Итерированные экспоненциальные целые числа». Анналы математики . 39 (3): 539–557. дои : 10.2307/1968633 . JSTOR   1968633 . .
• Бендер, Эдвард А.; Уильямсон, С. Гилл (2006). «Пример 11.7, Установка разделов». Основы комбинаторики с приложениями (PDF) . Дувр. стр. 319–320. ISBN  0-486-44603-4 .
• Беренд, Д.; Тасса, Т. (2010). «Улучшенные оценки чисел Белла и моментов сумм случайных величин». Вероятность и математическая статистика . 30 (2): 185–205.
• Берндт, Брюс К. (2011). «Рамануджан протягивает руку из могилы, чтобы вырвать у вас ваши теоремы» (PDF) . Информационный бюллетень по математике в Азиатско-Тихоокеанском регионе . 1 (2): 8–13.
• де Брейн, Н.Г. (1981). Асимптотические методы анализа (3-е изд.). Дувр. п. 108.
• Каллан, Дэвид (2006). «Комбинаторная интерпретация собственной последовательности композиции» . Журнал целочисленных последовательностей . 9 (1): 06.1.4. arXiv : math/0507169 . Бибкод : 2005math......7169C . МР   2193154 .
• Кэнфилд, Э. Родни (1995). «Неравенство Энгеля для чисел Белла» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 72 (1): 184–187. дои : 10.1016/0097-3165(95)90033-0 . МР   1354972 .
• Классон, Андерс (2001). «Обобщенное избегание шаблонов». Европейский журнал комбинаторики . 22 (7): 961–971. arXiv : math/0011235 . дои : 10.1006/eujc.2001.0515 . МР   1857258 .
• Конвей, Джон Хортон ; Гай, Ричард К. (1996). «Знаменитые семейства чисел: числа Белла и числа Стирлинга». Книга чисел . Серия «Коперник». Спрингер. стр. 91–94 . ISBN  9780387979939 .
• Добинский, Г. (1877). «Итогирование ряда $\textstyle \sum {\frac {n^{m}}{n!}}$ для m = 1, 2, 3, 4, 5, ...» . Архив Грюнерта . 61 : 333–336.
• Энгель, Конрад (1994). «О среднем ранге элемента в фильтре решетки разделов». Журнал комбинаторной теории . Серия А. 65 (1): 67–78. дои : 10.1016/0097-3165(94)90038-8 . МР   1255264 .
• Флажоле, Филипп ; Седжвик, Роберт (2009). «II.3 Сюръекции, разбиения множеств и слова». Аналитическая комбинаторика . Издательство Кембриджского университета. стр. 106–119 .
• Гарднер, Мартин (1978). «Колокола: универсальные числа, которые могут считать части множества, простые числа и даже рифмы». Научный американец . 238 (5): 24–30. Бибкод : 1978SciAm.238e..24G . doi : 10.1038/scientificamerican0578-24 . Перепечатано с приложением под названием «Звенящие храмовые колокола», глава 2 книги « Фрактальная музыка, гиперкарты и многое другое… Математические развлечения из журнала Scientific American» , WH Freeman, 1992, стр. 24–38.
• «Колокольные номера» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• Херст, Грег; Шульц, Эндрю (2009). «Элементарное (теория чисел) доказательство сравнения Тушара». arXiv : 0906.0696 [ math.CO ].
• Кнут, Дональд Э. (2013). «Две тысячи лет комбинаторики». В Уилсоне, Робин; Уоткинс, Джон Дж. (ред.). Комбинаторика: древняя и современная . Издательство Оксфордского университета. стр. 7–37.
• Ловас, Л. (1993). «Раздел 1.14, Задача 9». Комбинаторные задачи и упражнения (2-е изд.). Амстердам, Нидерланды: Северная Голландия. п. 17. ISBN  9780821869475 . Збл   0785.05001 .
• Мозер, Лео ; Вайман, Макс (1955). «Асимптотическая формула для чисел Белла». Труды Королевского общества Канады, Раздел III . 49 : 49–54. МР   0078489 .
• Пирс, CS (1880). «Об алгебре логики». Американский журнал математики . 3 (1): 15–57. дои : 10.2307/2369442 . JSTOR   2369442 . .
• Рота, Джан-Карло (1964). «Количество разделов набора». Американский математический ежемесячник . 71 (5): 498–504. дои : 10.2307/2312585 . JSTOR   2312585 . МР   0161805 .
• Спайви, Майкл З. (2008). «Обобщенная рекуррентность чисел Белла» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 11 (2): Статья 08.2.5, 3. Бибкод : 2008JIntS..11...25S . МР   2420912 .
• Вагстафф, Сэмюэл С. (1996). «Факторизации Орифейля и период чисел Белла по простому модулю» . Математика вычислений . 65 (213): 383–391. Бибкод : 1996MaCom..65..383W . дои : 10.1090/S0025-5718-96-00683-7 . МР   1325876 .
• Уилф, Герберт С. (1994). Генерирующая функционалология (PDF) (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Академическая пресса. ISBN  0-12-751956-4 . Збл   0831.05001 .
• Уильямс, GT (1945). «Числа, генерируемые функцией e ^{и х  − 1} ". American Mathematical Monthly . 52 : 323–327. doi : /2305292 . JSTOR   2305292. . MR   0012612 10.2307

Внешние ссылки

• Роберт Дикау. «Диаграммы чисел Белла» .
• Вайсштейн, Эрик В. «Номер звонка» . Математический мир .
• Готфрид Хелмс. «Дополнительные свойства и обобщение номеров звонков» (PDF) .