Мультипликативный раздел

В теории чисел — мультипликативное разбиение или неупорядоченная факторизация целого числа. $n$ это способ письма $n$ как произведение целых чисел больше 1, рассматривая два произведения как эквивалентные, если они различаются только порядком множителей. Число $n$ сам по себе считается одним из этих продуктов. Мультипликативные разбиения тесно связаны с изучением многодольных разбиений . которые являются аддитивными разбиениями конечных последовательностей натуральных чисел с поточечным сложением . Хотя изучение мультипликативных разбиений продолжается по крайней мере с 1923 года, название «мультипликативное разбиение», по-видимому, было введено Хьюзом и Шаллитом (1983) . Латинское название «factorisatio numerorum» использовалось ранее. MathWorld использует термин неупорядоченная факторизация .

Примеры

• Число 20 имеет четыре мультипликативных деления: 2×2×5, 2×10, 4×5 и 20.
• 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9 и 81 — это пять мультипликативных разбиений 81 = 3. ⁴ . Поскольку это четвертая степень простого числа , 81 имеет такое же количество (пять) мультипликативных разбиений, как и 4 — аддитивных .
• Число 30 имеет пять мультипликативных делений: 2×3×5 = 2×15 = 6×5 = 3×10 = 30.
• В общем случае количество мультипликативных разбиений бесквадратного числа с $i$ Главные факторы – это $i$номер звонка , $B_{i}$.

Приложение

Хьюз и Шалит (1983) описывают применение мультипликативных разбиений для классификации целых чисел с заданным числом делителей. Например, целые числа, имеющие ровно 12 делителей, принимают вид $p^{11}$, $p\cdot q^{5}$, $p^{2}\cdot q^{3}$, и $p\cdot q\cdot r^{2}$, где $p$, $q$, и $r$ являются различными простыми числами ; эти формы соответствуют мультипликативным разбиениям $12$, $2\cdot 6$, $3\cdot 4$, и $2\cdot 2\cdot 3$ соответственно. В более общем смысле для каждого мультипликативного раздела $$k=\prod t_{i}$$целого числа $k$, соответствует класс целых чисел, имеющих ровно $k$ делители вида

$\prod p_{i}^{t_{i}-1},$

где каждый $p_{i}$ является отличным простым числом. Это соответствие следует из мультипликативного свойства функции делителя .

Ограничения на количество разделов

Оппенгейм (1926) приписывает Мак-Махону (1923) проблему подсчета числа мультипликативных разбиений $n$; эта проблема с тех пор изучалась другими под латинским названием Factorisatio numerorum . Если число мультипликативных разбиений $n$ является $a_{n}$, МакМахон и Оппенгейм заметили, что ряда Дирихле производящая функция $f(s)$ имеет представление продукта $$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{1-k^{-s}}}.$$

Последовательность чисел $a_{n}$ начинается

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, 1, 4, 1, 4, 2, 2, 1, 7, 2, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 7, 2, 2, 2, 9, 1, 2, 2, ... (последовательность A001055 в OEIS ).

Оппенгейм также заявил о верхней границе $a_{n}$, формы $$a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-2+o(1)},$$но, как показали Кэнфилд, Эрдеш и Померанс (1983) , эта граница ошибочна, а истинная граница равна $$a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-1+o(1)}.$$

Обе эти границы близки к линейным по $n$: они имеют форму $n^{1-o(1)}$.Однако типичное значение $a_{n}$ значительно меньше: среднее значение $a_{n}$, усредненное за интервал $x\leq n\leq x+N$, является $${\bar {a}}=\exp \left({\frac {4{\sqrt {\log N}}}{{\sqrt {2e}}\log \log N}}{\bigl (}1+o(1){\bigr )}\right),$$граница, имеющая вид $n^{o(1)}$.

Дополнительные результаты

Кэнфилд, Эрдеш и Померанс (1983) отмечают, а Лука, Мухопадьяй и Шринивас (2010) доказывают, что большинство чисел не могут возникнуть как число $a_{n}$ мультипликативных разбиений некоторых $n$: количество значений меньше $N$ которые возникают таким образом, $N^{O(\log \log \log N/\log \log N)}$. Кроме того, Лука и др. показывают, что большинство значений $n$ не кратны $a_{n}$: количество значений $n\leq N$ такой, что $a_{n}$ делит $n$ является $O(N/\log ^{1+o(1)}N)$.

См. также

• Раздел (теория чисел)
• Делитель

Дальнейшее чтение

• Кнопфмахер, А.; Мэйс, МЭ (2005), «Обзор счетных функций факторизации» (PDF) , Международный журнал теории чисел , 1 (4): 563–581, doi : 10.1142/S1793042105000315

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Неупорядоченная факторизация» , MathWorld