Почти премьер

В теории чисел называется натуральное число k - почти простым, если оно имеет k простых множителей . ^[1]^[2]^[3] Более формально, число n является k -почти простым тогда и только тогда, когда Ω ( n ) = k , где Ω( n ) — общее количество простых чисел в простые множители на разложении числа n (его также можно рассматривать как сумму всех чисел n). показатели простых чисел):

\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{if}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.

Таким образом, натуральное число является простым тогда и только тогда, когда оно 1-почти простое, и полупростым тогда и только тогда, когда оно 2-почти простое. Множество k почти простых чисел обычно обозначается Pk _. - Наименьшее k -почти простое число равно 2. ^к. Первые несколько k -почти простых чисел:

к	k -почти простые числа	OEIS Последовательность
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …	А000040
2	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, …	А001358
3	8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, …	А014612
4	16, 24, 36, 40, 54, 56, 60, …	А014613
5	32, 48, 72, 80, 108, 112, …	А014614
6	64, 96, 144, 160, 216, 224, …	А046306
7	128, 192, 288, 320, 432, 448, …	А046308
8	256, 384, 576, 640, 864, 896, …	А046310
9	512, 768, 1152, 1280, 1728, …	А046312
10	1024, 1536, 2304, 2560, …	А046314
11	2048, 3072, 4608, 5120, …	А069272
12	4096, 6144, 9216, 10240, …	А069273
13	8192, 12288, 18432, 20480, …	А069274
14	16384, 24576, 36864, 40960, …	А069275
15	32768, 49152, 73728, 81920, …	А069276
16	65536, 98304, 147456, …	А069277
17	131072, 196608, 294912, …	А069278
18	262144, 393216, 589824, …	А069279
19	524288, 786432, 1179648, …	А069280
20	1048576, 1572864, 2359296, …	А069281

Число π _k ( n ) натуральных чисел, меньших или равных n, имеющих ровно k простых делителей (не обязательно различных), асимптотично для: ^[4]^{[ соответствующий? ]}

\pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},

результат Ландау . ^[5] См. также теорему Харди–Рамануджана . ^{[ соответствующий? ]}

Свойства [ править ]

кратное a $k_{1}$ -почти простое и $k_{2}$ -почти простое число - это $(k_{1}+k_{2})$ -почти премьер.
А $k$ -почти простое число не может иметь $n$ -почти главный фактор для всех $n>k$ .

Ссылки [ править ]

^ Шандор, Джозеф; Драгослав, Митринович С.; Крстичи, Борислав (2006). Справочник по теории чисел I. Спрингер . п. 316. дои : 10.1007/1-4020-3658-2 . ISBN 978-1-4020-4215-7 .
^ Реньи, Альфред А. (1948). «О представлении четного числа в виде суммы одного простого и одного почти простого числа» . Известия Российской академии наук. Серия Математическая (на русском языке). 12 (1): 57–78.
^ Хит-Браун, ДР (май 1978 г.). «Почти простые числа в арифметических прогрессиях и коротких интервалах». Математические труды Кембриджского философского общества . 83 (3): 357–375. Бибкод : 1978MPCPS..83..357H . дои : 10.1017/S0305004100054657 . S2CID 122691474 .
^ Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-41261-2 .
^ Ландау, Эдмунд (1953) [впервые опубликовано в 1909 году]. «§ 56, О суммах формы $\sum _{p\leq x}F(p,x)$ ". Справочник по доктрине распределения простых чисел . Том 1. Chelsea Publishing Company . стр. 211.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Почти простое» . Математический мир .

[1] Шандор, Джозеф; Драгослав, Митринович С.; Крстичи, Борислав (2006). Справочник по теории чисел I. Спрингер . п. 316. дои : 10.1007/1-4020-3658-2 . ISBN 978-1-4020-4215-7 .

[2] Реньи, Альфред А. (1948). «О представлении четного числа в виде суммы одного простого и одного почти простого числа» . Известия Российской академии наук. Серия Математическая (на русском языке). 12 (1): 57–78.

[3] Хит-Браун, ДР (май 1978 г.). «Почти простые числа в арифметических прогрессиях и коротких интервалах». Математические труды Кембриджского философского общества . 83 (3): 357–375. Бибкод : 1978MPCPS..83..357H . дои : 10.1017/S0305004100054657 . S2CID 122691474 .

[4] Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-41261-2 .

[5] Ландау, Эдмунд (1953) [впервые опубликовано в 1909 году]. «§ 56, О суммах формы $\sum _{p\leq x}F(p,x)$ ". Справочник по доктрине распределения простых чисел . Том 1. Chelsea Publishing Company . стр. 211.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers