Теорема Харди – Рамануджана

В математике теорема Харди –Рамануджана , доказанная Рамануджаном и проверенная Харди. ^{[ 1 ]} утверждает, что нормальный порядок чисел $\omega (n)$ различных простых делителей числа $n$ является $\log \log n$ .

Грубо говоря, это означает, что большинство чисел имеют примерно такое же количество различных простых делителей.

Точное утверждение

Более точная версия ^{[ 2 ]} утверждает, что для каждой действительной функции $\psi (n)$ который стремится к бесконечности, так как $n$ стремится к бесконечности $|\omega (n)-\log \log n|<\psi (n){\sqrt {\log \log n}}$ или более традиционно $|\omega (n)-\log \log n|<{(\log \log n)}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }$ для почти всех (всех, кроме бесконечно малой части) целых чисел. То есть пусть $g(x)$ быть числом положительных целых чисел $n$ меньше, чем $x$ для которого приведенное выше неравенство не выполняется: тогда $g(x)/x$ сходится к нулю, так как $x$ уходит в бесконечность.

История

Простое доказательство этого результата было дано Палом Тураном , который использовал сито Турана, чтобы доказать, что ^{[ 3 ]}

$\sum _{n\leq x}|\omega (n)-\log \log x|^{2}\ll x\log \log x.$

Обобщения

Те же результаты справедливы и для $\Omega (n)$ , количество простых делителей $n$ считается с кратностью . Эта теорема обобщается теоремой Эрдеша–Каца , которая показывает, что $\omega (n)$ по существу нормально распределен . Существует множество доказательств этого, в том числе метод моментов (Гранвиль и Саундарараджан). ^{[ 4 ]} и метод Штейна (Харпер). ^{[ 5 ]} Дуркан показал, что модифицированная версия результата Турана позволяет доказать теорему Харди – Рамануджана с любым четным моментом. ^{[ 6 ]}

См. также

Неравенство Турана – Кубилюса

Ссылки

^ Харди, штат Джорджия ; Рамануджан, С. (1917), «Нормальное количество простых делителей числа n » , Quarterly Journal of Mathematics , 48 : 76–92, JFM 46.0262.03
^ Хит-Браун, доктор медицинских наук (2007), «Числа Кармайкла с тремя простыми множителями», Hardy-Ramanujan Journal , 30 : 6–12, doi : 10.46298/hrj.2007.156 , MR 2440316
^ Туран, Пал (1934), «К теореме Харди и Раманухана», Журнал Лондонского математического общества , 9 (4): 274–276, doi : 10.1112/jlms/s1-9.4.274 , ISSN 0024-6107 , Збл 0010.10401
^ Гранвилл, Эндрю; Саундарараджан, К. (2007), «Просеивание и теорема Эрдеша-Каца», в Гранвилле, Эндрю; Рудник, Зеев (ред.), Равнораспределение в теории чисел, введение: Труды Института перспективных исследований НАТО (44-я семинария по высшей математике (SMS)) в Университете Монреаля, Монреаль, Квебек, 11–22 июля, 2005 г. , Серия научных исследований НАТО II: Математика, физика и химия, том. 237, Дордрехт: Springer, стр. 15–27, arXiv : math/0606039 , doi : 10.1007/978-1-4020-5404-4_2 , ISBN 978-1-4020-5403-7 , МР 2290492
^ Харпер, Адам Дж. (2009), «Два новых доказательства теоремы Эрдеша-Каца с оценкой скорости сходимости методом Стейна для распределенных аппроксимаций», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 147 (1): 95 –114, doi : 10.1017/S0305004109002412 , МР 2507311
^ Дуркан, Бенджамин (23 октября 2023 г.), «О теореме Харди – Рамануджана», arXiv : 2310.14760 [ math.NT ]

Дальнейшее чтение

Го, Вэньтан; Лю, Ю-Ру (2008), «Теорема Эрдеша – Каца и ее обобщения», в Де Конинке, Жан-Мари ; Гранвилл, Эндрю ; Лука, Флориан (ред.), Анатомия целых чисел. По материалам семинара по CRM, Монреаль, Канада, 13–17 марта 2006 г. , CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 46, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 209–216, ISBN. 978-0-8218-4406-9 , Збл 1187.11024
Хильдебранд, А. (2001) [1994], «Теорема Харди-Рамануджана» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Харди, штат Джорджия ; Рамануджан, С. (1917), «Нормальное количество простых делителей числа n » , Quarterly Journal of Mathematics , 48 : 76–92, JFM 46.0262.03

[2] Хит-Браун, доктор медицинских наук (2007), «Числа Кармайкла с тремя простыми множителями», Hardy-Ramanujan Journal , 30 : 6–12, doi : 10.46298/hrj.2007.156 , MR 2440316

[3] Туран, Пал (1934), «К теореме Харди и Раманухана», Журнал Лондонского математического общества , 9 (4): 274–276, doi : 10.1112/jlms/s1-9.4.274 , ISSN 0024-6107 , Збл 0010.10401

[4] Гранвилл, Эндрю; Саундарараджан, К. (2007), «Просеивание и теорема Эрдеша-Каца», в Гранвилле, Эндрю; Рудник, Зеев (ред.), Равнораспределение в теории чисел, введение: Труды Института перспективных исследований НАТО (44-я семинария по высшей математике (SMS)) в Университете Монреаля, Монреаль, Квебек, 11–22 июля, 2005 г. , Серия научных исследований НАТО II: Математика, физика и химия, том. 237, Дордрехт: Springer, стр. 15–27, arXiv : math/0606039 , doi : 10.1007/978-1-4020-5404-4_2 , ISBN 978-1-4020-5403-7 , МР 2290492

[5] Харпер, Адам Дж. (2009), «Два новых доказательства теоремы Эрдеша-Каца с оценкой скорости сходимости методом Стейна для распределенных аппроксимаций», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 147 (1): 95 –114, doi : 10.1017/S0305004109002412 , МР 2507311

[6] Дуркан, Бенджамин (23 октября 2023 г.), «О теореме Харди – Рамануджана», arXiv : 2310.14760 [ math.NT ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]