Неравенство Турана – Кубилюса
Неравенство Турана -Кубилиуса — математическая теорема вероятностной теории чисел . Это полезно для доказательства результатов о нормальном порядке арифметической функции . [ 1 ] : 305–308 Теорема была доказана в частном случае в 1934 году Палом Тураном и обобщена в 1956 и 1964 годах Йонасом Кубилюсом . [ 1 ] : 316
Формулировка теоремы
[ редактировать ]Эта формулировка принадлежит Тененбаум . [ 1 ] : 302 Другие составы находятся у Наркевича. [ 2 ] : 243 и в Кожокару и Мурти. [ 3 ] : 45–46
Предположим, f — аддитивная комплекснозначная арифметическая функция , и напишите p для произвольного простого числа и ν для произвольного положительного целого числа. Писать
и
Тогда существует функция ε( x ), которая обращается в ноль, когда x стремится к бесконечности, и такая, что для x ≥ 2 имеем
Приложения теоремы
[ редактировать ]Туран разработал неравенство, чтобы создать более простое доказательство теоремы Харди-Рамануджана о нормальном порядке числа ω( n ) различных простых делителей целого числа n . [ 1 ] : 316 Доказательство Турана изложено в книге Харди и Райта, §22.11. [ 4 ] Тененбаум [ 1 ] : 305–308 дает доказательство теоремы Харди-Рамануджана с использованием неравенства Турана-Кубилиуса и излагает без доказательства несколько других приложений.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д и Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 46. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41261-7 .
- ^ Наркевич, Владислав (1983). Теория чисел . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-9971-950-13-2 .
- ^ Кожокару, Алина Кармен ; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 66. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-61275-6 .
- ^ Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (2008) [Первое издание, 1938 г.]. Введение в теорию чисел . Отредактировано доктором Хитом-Брауном и Джозефом Х. Сильверманом (Шестое изд.). Оксфорд, Оксфордшир: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921986-5 .