Неравенство Турана – Кубилюса

Неравенство Турана -Кубилиуса — математическая теорема вероятностной теории чисел . Это полезно для доказательства результатов о нормальном порядке арифметической функции . Теорема была доказана в частном случае в 1934 году Палом Тураном и обобщена в 1956 и 1964 годах Йонасом Кубилюсом .

Формулировка теоремы

Эта формулировка принадлежит Тененбаум . Другие составы находятся у Наркевича. и в Кожокару и Мурти.

Предположим, f — аддитивная комплекснозначная арифметическая функция , и напишите p для произвольного простого числа и ν для произвольного положительного целого числа. Писать

$A(x)=\sum _{p^{\nu }\leq x}f(p^{\nu })p^{-\nu }(1-p^{-1})$

и

$B(x)^{2}=\sum _{p^{\nu }\leq x}\left|f(p^{\nu })\right|^{2}p^{-\nu }.$

Тогда существует функция ε( x ), которая обращается в ноль, когда x стремится к бесконечности, и такая, что для x ≥ 2 имеем

${\frac {1}{x}}\sum _{n\leq x}|f(n)-A(x)|^{2}\leq (2+\varepsilon (x))B(x)^{2}.$

Приложения теоремы

Туран разработал неравенство, чтобы создать более простое доказательство теоремы Харди-Рамануджана о нормальном порядке числа ω( n ) различных простых делителей целого числа n . Доказательство Турана изложено в книге Харди и Райта, §22.11. Тененбаум дает доказательство теоремы Харди-Рамануджана с использованием неравенства Турана-Кубилиуса и излагает без доказательства несколько других приложений.